книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

Действительно, каково бы ни было число М >0, можно ука­ зать точку л'о, для которой |f(,Y0)|> A f (в качестве такой точки можно взять любую точку Хо, удовлетворяющую нера­

венству 0< х0< — ; тогда f(x0) = — >М).
•И	.ѵ0
Эта функция, однако,	не является бесконечно большой в

точке х = 0,.так как каково бы ни было число Af>0, не най­

дется ни одной 6-окрестности точки

х = 0,

Для

Всех х

кото­

рой

(кроме х = 0)

было бы справедливо неравенство | [(х)

(>

>М. Действительно, для х<0 f ( x ) —0<^M.

Пример 8. Фѵнкция f(x) = — sin— является

неограничен-

пой в любой

X

X

беско­

окрестности точки х = 0, но не является

нечно большой в точке х = 0.

Докажем

это. Пусть

(—6,

6) — произвольная

б-окрест-

ность точки

х = 0. Каково

бы

ни

было число

М>0,

можно

указать

точку х0

£ (—б,

б)

и такую,

что |f(x0)|> M .

Денствптёльно,

целое

число

т >0

можно подобрать

так,

, ,

точка

9

попала

в

окрестность

чтооы

х0 = ------ :------

( 2 т - 1). л

(—6,

б) (для этого т выбирается таким, чтобы----------- <Гб,

— 1)•

гс

(2/;г

2

то

есть

т Д> .я6+ 2 „

чтобы | /(х ц) | "> М (для

этого

т вы-

2лб

>

м ,

(2т — 1)-я

бпрается

так,

чтобы

Sin -

X

(2т -

1) я

Хп

А'о

X

sin

>

М,

(2т — 1)- л >

2М,

то

есть

т >

>

2М -f я .

Таким

образом,

взяв

любое

целое

т,

боль-

2л

яб + 2

2/И -і- я

шее

каждого из

чисел

, мы удовлетво-

------!—

и ------:—

2яб

2я

1

рнм двум требованиям: 1) точка х0 будет принадлежать окрестности (—б, б); 2) /г(х„)>М . Отсюда следует неогра­ ниченность функции /(х) в любой окрестности точки X=0.

Данная функция не является бесконечно большой в точке х= 0 потому, что какой бы ни была 6-окрестность точки 0, в ней существует бесконечно много точек, в которых

f(x)= 0	(действительно, в точках вида =		(п=* 1, 2, 3,...),
которых	бесконечно	много в любой окрестности точки х=0,
f (xn)=nn-sinnn = 0)		и поэтому неравенство | f(x) | >М не мо-

60

жет быть справедливым для всех х из любой окрестности точки х = 0.

Сделанное утверждение становится вполне понятным, ес­ ли представить себе трафик данной функции. Он представ­ ляет собой кривую, совершающую бесконечно много колеба­

ний между линиями у = — и у =	------и бесконечно много
•V	X

•раз пересекающую ось х-ов. Причем, по мере приближения х к нулю, частота этих колебаний неограниченно увеличива­ ется (изобразить эту кривую на чертеже практически не­ возможно).

Вопросы для самоконтроля	1
1. Какая функция называется бесконечно	малой в точ­
ке *0?

2.Как будет-звучать определение бесконечно малой в ;гочке х0 функции на языке е—б?

3.Дана точка х0. Нарисуйте график какой-либо беско­

нечно малой в точке х0 функции. Кац обосновать чертеж?

4. Как	геометрически	для	бесконечно малой в точке Хо
функции	по заданному	е>0	найти 6>0 так, чтобы из
\х—х0|< 6	(х Д-'о) следовало		|/(х )|< е ?

5.Какая функция называется бесконечно большой в точ­

ке Хо?

6.Какая функция называется отрицательной бесконечно большой в точке х0?

7.Какова геометрическая иллюстрация бесконечно боль­ шой в точке Хо функции? Что характерно для поведения графика?

8.Что означают равенства а) 1іт/(.ѵ)=0, б) Пт /(л-)= оо,

в) Пт/( х) = + ос, г)					х-*3		а'—*—5
		lim In | х | = — оо?
а:-»0		лг-»0
9. Функция f(x)		бесконечно мала в точке х0. Возможно
ли равенство /(х0) =3?
10. Функция f(x)		является бесконечно большой в						точке
х0. Возможны ли равенства f(x0) =300, /(х0) =0?
1L Если	прямые	у —± М		не	пересекают	графика		функ­
ции y=f(x)	бесконечно		большой		в точке х0,	то как геомет­
рически по заданному числу				М > 0 найти б>0			такое,	чтобы
из |х —Хо I <б(х=^хо)			следовало |/(х)|>Л 1?				Рассмотреть
различные случаи.

61

12. Зависит ли число Ö, упомянутое в определении беско­ нечно большой функции, от М? Каким образом? Всегда ли функция б= ф(Л4) монотонна?

13. Единственным ли образом по заданному числу М >0 можно найти соответствующее ему б, упомянутое в опреде­ лении бесконечно большой функции? .

14. Перечислите	различные виды неопределенностей.
Что они означают?	Что значит раскрыть неопределенность?

15.Какая функция называется а) ограниченной, б) неог­ раниченной в окрестности точки х0?

16.Если функция является неограниченной в любой ок­ рестности точки х0, то можно ли утверждать, что она будет бесконечно большой в точке х0? Приведите примеры, иллю­ стрирующие ответы.

17.Какими свойствами обладают бесконечно малые и бесконечно большие функции?

18.Если функция f(x) имеет в точке х0 предел, то будет

ли она ограничена в окрестности точки Хо?

19.Функция f(x) бесконечно большая в точке х0 умно­ жается на ограниченную в окрестности точки х0 функцию ср(х). Может ли функция f(x)-cp(x): 1) быть бесконечно боль­ шой в точке х0? 2) быть ограниченной в окрестности точки ха? 3) быть бесконечно малой в точке х0? Привести примеры, иллюстрирующие ответы.

20.Функция / (х), бесконечно большая в точке Хо, умно­ жается на бесконечно малую в точке Хо функцию ср(х). Мо­ жет ли функция [(х)-ф(х): а) быть бесконечно большой в точке Хо? б) быть бесконечно малой в точке х0; в) иметь ко­ нечный и отличный от нуля предел в точке х0. Привести при­ меры.

	Примеры для упражнений
Б е р м а н	№№ 198, 199, 201,	210(1), 270, 276,	278, 294,
298, 386.	и ч №№ 402, 405	(а, б, в), 410, 411	(а, б ).
Д е м и д о в

5. Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Для каждой функции /(х) и любой точки х0 возможны случаи.

■ 1. Функция не определена в точке х0; 1іт/(х) не сѵщест-

-Г—,ѵ„

вует ^например, f(x) = — , х0 = o j . »

62

2.	Функция не определена в точке лу				lim /'(л-)		существует
	„	•			л-м-о
^например, f (х) — -		, .ѵ„ —2j .
3.	Функция определена		в точке лу	ІіітіДя)		не существует
I например, /(.V) —II				X —	п
		- -*- I -V	, ,ѵ0 =0 \ .			1	1,
V	Функция f(x)	-V— О		J
4.		определена в		точке		лу,	1іт/(х) су1-
	,						^ 2 _jj.
ществует, но lim / (х) Фф (х0) (например,					/ {х) — ------ , если
х ф 2	* -* Л о						л — 2
	и /(2) =5; х 0=2).		в точке лу		lim /(.у) существует
5.	Функция определена

х-*х0

и, кроме того, lim f(x) = / (д0) (например, J(x) = xl, л-0 =2).

А‘—»Л'о

В этом последнем случае функцию / (т) называют непре­ рывной в точке х0.

Итак, функция 1(х) называется непрерывной в точке Хо, если ее предел в этой точке равен значению функции в точке

лу т. е. lim f (x)=f (x0). >■

I о

Заметим, что непрерывность функции в точке Хо озна­ чает совпадение трех обстоятельств, а именно: 1) функция должна быть определена в точке х0, 2) она должна иметь предел в этой точке, 3) предел функции в точке х0 должен быть равен значению функции в точке лу Совпадение столь «благоприятных» обстоятельств позволяет ожидать от непре­ рывных функций многих замечательных свойств по сравне­ нию с прочими функциями. Некоторые из этих свойств мы в дальнейшем отметим.

Поскольку определение непрерывности функции в точке дано с помощью понятия предела, то возможно и другое, равносильное первому, определение непрерывности функции в точке, а именно: функция f(x) называется непрерывной в точке Хо, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если для любого е>0 существует число 6>0 такое, что для всех X, удовлетворяющих неравенству \х—Л'0|< б , справедливо неравенство \f(x)—f(x0) | <е.

, Рассмотрим примеры.

Пример 1. Доказать непрерывность а) степенной у*=хп и б) целой рациональной у = Рп(х) функций в любой точке х0.

63

Доказательство, а)				Пусть		х0 — любая			точка		числовой
оси. Вычислим предел				функции у = хп в точке д-o.							На осно­
вании	следствия		1 из теоремы			4	(предел		степени	равен сте­
пени предела) и теоремы 2					(lim		Л'=Л'0;	§	3, стр.	44), имеем
			lim хп =		(lim ,ѵ)н = xQnt
*	В примере		Х'+Хо		х-+х0		что, какова бы				ни была
б)			1 § 3	доказано,
точка	.ѵ'о,	всегда	имеет	место		равенство			lim Р„(х)=Р„(хо).
Так как		в обеих	случаях						Х - + Х „		значению
					предел функции равен
функции в точке х0, то непрерывность								функций у = хп и у —
*=Рп(х)		в любой точке х0 доказана.
Пример 2. Доказать				непрерывность				функции f ( x) —----- -

в точке х = 2, используя второе определение непрерывности.

Доказательство.'	У нас	х0=2; f(x0) = f(2) =2. Функцию
/(a') будем рассматривать		на отрезке		. Зададимся
произвольным р>0	и попытаемся найти 6>0 так, чтобы из
X— 2\< б следовало	—----- 2	<е. (А)	С этой целью решим
	X—I		разности	х—2:
неравенство (А) относительно модуля
“ |< е , I X—2 I < ? ■ •			I X— 1 I ,	( Б )
Так как на отрезке	-^-Іфункция у —х—1имеет наимень-

піее значение у шы = — (в точке х = —), то из справедливос­ ти неравенства \х—2 |< - j(B ) будет вытекать справедли­

вость неравенства (Б).

Положим б= Тогда неравенство \х—2 |< б '(совпада­

ющее с (В)), через посредство неравенства (Б) повлечет за собой справедливость неравенства (А). А это и означает,

что функция f(x)= — непрерывна в точке х —2.

Существует и третье, равносильное первым двум, опреде­ ление непрерывности функции в точке. Так как равенство

Mmf(x) =f(x0)	равносильно равенству	Игп/( х0+Да) = /( * о),
JC—»JT«	быть переписано в	Д.ѵ-Ч)
которое может		виде 1іт[/(*о + А*)—
		д.г-*0

64

—/(•*<>)]=0 или, более кратко 1ітДг/=0, то непрерывность

A.t->0

функции f(x) в точке х0 может быть определена и так.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и если бесконечно малому при­ ращению аргумента (Ах-^-0) в этой точке соответствует и бесконечно малое приращение функции (Лг/-»-0).

Функция называется непрерывной в интервале (а, Ь), ес­ ли она непрерывна в каждой точке этого интервала. (Заме­ тим, что непрерывность функции на отрезке определяется иначе и будет рассмотрена ниже).

Отметим некоторые теоремы о непрерывных функциях.

1. Если в точке х0 функции f(x) и cp(x) непрерывны, то в этой точке непрерывны их сумма f(x)-і-у(х), разность f(x) —

—Ф(Х>, произведение f(x)-cр(х) и частное		(последнее при
дополнительном условии у(хо) ф ОД
2. Дана функция y —f[y(x)]. Если функция			у(х) непре­
рывна в точке Хо, а функция f(u)	непрерывна		в точке гг0 =
=ср(xq) , то'в точке Хо непрерывна	сложная функция Яф(х) \

3. Каждая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, за исключением изолиро­ ванных и граничных точек (точка, любая окрестность кото­ рой содержит как точки, в которых функция определена, так и точки, в которых она не определена, называется гранңчиой; точка х0 называется изолированной для функции f(x), если она в ней определена, но существует окрестность этой точки, для всех точек х которой (кроме *о) функция не оп­

ределена. Так, например, функция y = V х + V —х определе­ на в единственной точке x — Q, которая для нее является изо­ лированной). ____ ___

Пример З.В каких точках функция у — V х—3+ Y 5—х не­ прерывна?

О т в е т .	Данная	функция	определена		на	отрезке
3 ^ х ^ 5 , граничными		точками	которого	являются точки
х = 3 и X = 5,	и является элементарной. Поэтому				она	непре­
рывна во всех точках интервала 3< х<5 .
4. Дана	сложная	функция */= Пф МІ-		Если функция

Ф(.ѵ) имеет предел в точке х0, равный и0, а функция / (и)

непрерывна в точке «0 = 1ітср(х),	то lim /[cp(,v)=/(«0)=
Х ~ * Х 0	X — X q
= / [lim ф (х)\.
х-*х.
5-2518	65

Иными словами, непрерывная функция позволяет перехо­ дить к пределу под своим знаком.

Последняя теорема имеет огромное значение для практи­ ки вычисления пределов. -Так, в силу непрерывности основ­ ных элементарных функций и теоремы 4 справедливы ра­ венства:

lim [/(*)]“ =	lim[/(*)]“;	ll m ln / (x) =	ln li m f (x);
		x - * x Q	x ->x 0
	lim /(* ).	lim sin/(x) == sinlim/(jc);
lim af№ = ax~x° ’
X - X q		x - x 0	x - > x 0
lim tg/(x) =	tg lim /(x);	lim arccos f(x) = arccos lim f(x).
X - > X q	X - ¥ X q	X - X 0	X-+Xo

З а м е ч а н и е . Очень часто, начинающий изучение мате­

матического анализа, например, пишет lim cosx = cos 0= 1, не А'—>0

отдавая себе отчета, на основании чего произведена эта вер­ ная запись. Обращаем внимание читателя на то, что эта за­ пись верна в силу непрерывности функции cosx в точке х = 0. Читатель, производя любые вычисления и предельные перехо­ ды, должен научиться обосновывать каждый шаг своих вы­ числений. Рассмотрим примеры.

т-г

,

%

f

х - 2

— =

% f ~ .

7+2

Пример 4.

hm ] /

] /

hm-

Ѵх + 2 -2

х-2

= л

/ lim ^ — — У х+-

7 .2> =

v^lim ( | / ä+ 2 +2)

=

У

*-+2

X—2

лг-,2

Здесь

мы

=

3| / Ѵ

2 +

2

+

2

=

У Г .

сначала

воспользовались

непрерывностью

3,--

под ее знаком. Ра­

функции у — у

и и перешли__к пределу

венство 1 іт (/х + 2 + 2 ) =

У 24-2 + 2=4 записано

на

следую­

щем основании. Функция, стоящая под знаком предела, элементарна, а значит непрерывна в точке х —2. Следова­ тельно, предел этой функции равен значению функции в точке х —2, что и записано.

Пример 5. lim [lnIX2—7л:-р6 ) — ln | х2 -+ 6х —7 1] =

х-*\	л2—7.V+6			(x -1) (.v-6)
lim ln			ln lim
x-*l	л:2+6х—7		ДГ-ä-l	(je—1) (JC+7)
=	ln lim	X — 6	= ln	5_
	Х - * \	7 + 7		8

Здесь мы воспользовались непрерывностью логарифма.

66

Пример б.

a rc tg -	lim arctg* :	a rc tg lim		-
lim 2	= 2*~l	= 2	X'-*l	— 2arc*ss'n 1
Л'—>1

Это и есть окончательный ответ. При вычислении предела мы последовательно воспользовались непрерывностью пока­ зательной функции, непрерывностью арктангенса, непрерыв­ ностью синуса и теоремой о пределе частного.

					Примеры		для упражнений
	Вычислить пределы:
	.	..	л f	2л;3—2x2-f-x— 1			ответ	/ з
	1.	lim ] /		---------- 1-----
		Х-*1	V	л 3- . ѵ2 -!-3.ѵ- 3
	2.	lim sin		1—л:	2Я		(ответ —1);
					1 - л : 2
		*-►1
	3.	lim-			1		= = (ответ oo);
		x-*8	arccos		л:—8
					- У х - 2
				V
	4.	lim	[ln 1 2xs -f 2.V'2 +			ЗлфЗ | — ln ] л-3-j- x2 + x 4-1
		X - ¥ — l
	/ответ ln		- J - j;
				яѴ2-х—ъѴ2-х
	5 .	lim(3		1A_21		—2) (ответ oo).
		Л- - 2

6. Используя первое отделение непрерывности, доказать непрерывность функций

а) ij — — — , б) у = / л 3— 1 - в любой точке.

7. Используя второе определение непрерывности, дока­ зать непрерывность следующих функций:

а) у = — 4— в точке ,ѵ=0; б) у — у х —3 в точке х =4.

8.Используя третье определение непрерывности, дока­

зать непрерывность	следующих	функций:
а) z/=cosx; б)	у = tg*; в)	у = ctgx; г)
		л2+ 1

во всех точках их области определения.

5*

67

Вопросы для самоконтроля

1. Какая функция называется непрерывной в точке х0? Дать 3 определения.

2.Как доказать равносильность всех трех определений непрерывности?

3.Какая функция называется непрерывной в интервале

[а, 6)?

4.Какие точки называются: а) граничными, б) изолиро­ ванными для функции f(x)?

5.Как читаются теоремы а) о непрерывности сложной функции; б) о переходе к пределу под знаком непрерывной функции; в) о непрерывности элементарных функций?

6.Сформулировать на языке е—б, что означают равен­

ства:

а) 1ішДг/= 0; б) lim [/(х0+Дх)—/(-Хо)]=0;		в) 1іт/(х0+Дх) =
Ajc~*0	Ах—>0	А х —*0
—f(xо); г)	lim- ^ = 3; д) 1іт/(Дх)=4;	е) 1іт[/(х0 + Дх) —

—/(Л'о)]=—5? Где можно, связать ответ с непрерывностью функции f (х).

7.	Почему а)		lim sin x = sin Хо; б)					limctg/(x) =ctglim/(x);
			.Г->Д*о			1	X —►Д'о		х-+х.
в)	lim -		■				и ы	^ о )
				7l / li m f ( x )
	* - « .	Y	/
				w
				Г	X-+XQ				1
В)	lim (lnarctg			—3cos3 Зугх) = lnarctg
	Х - * Х 0								хо
— 3cos3;V x 0 (х0> 0)?
8.	Дана	функция
	f ( x ) = l		х*> ссли			X — р а ц и о н а л ь н о е			ч и с л о ,
		\ — X,		е с л и X — и р р а ц и о н а л ь н о е ч и с л о .
Что можно		сказать		о	ее	непрерывности а) в точке х—0;

б) в других точках?

9. Как на языке е—б сформулировать утверждение: функ­ ция f{x), определенная в точке х0, не является непрерывной

вэтой точке»?

10.Доказать, что если функция f(x) непрерывна в точке х0, то и функция f(x) = |f(x)| непрерывна в точке х0. Верно ли обратное?

11.Функция /(х) определена на отрезке [0, 1]; Х\ и xz — любые точки этого отрезка. Доказать, что а) если для любо­

го е>0 существует 6>0 такое,- что из |хі—х2|< б следует

68

f(xi)—f(x2)< e, то функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала (0, 1); б) если для любого е> 0 существует 6>0

такое,	что из	|Хі—лг21< б следует If(xi) | — \f (л'г) |	>е,	то
функция	|/(х) I	непрерывна в каждой точке интервала	(0,	1).

6. Замена переменной при вычислении пределов

Докажем предварительно следующую теорему о пределе сложной функции.

Теорема. Дана функция y = f[<p(x)]. Если функция и=ц>(х) имеет в точке х0 предел, равный и0 и, кроме того, в некото­ рой окрестности точки х0 (за исключением, быть может, са­ мой точки х0) не принимает значений, равных и0, а функция у = f ( и) имеет в точке uQ= \\my(x) предел, равный А, то и

сложная функция .*/=/[ф(Х)] имеет в точке х0 предел, рав­ ный А.

Доказательство. 1) Так как функция f(u) имеет в точке и0 предел, равный А, то для любого е>0 найдется число т]>0 такое, что для всех и ф «о и удовлетворяющих нера­ венству

					I«—ц.0|<г)						(I)
будет справедливо неравенство
				|/(и )—А I <е.							(II)
2)	Так как функция и = ср(х) имеет в точке х0 предел, рав­
ный ио, то для любого					заранее			взятого	положительного
числа, и, в частности,				для числа			іі> 0, найдется			число 6і>0
такое,		что для всех х Ф хо и удовлетворяющих								неравенству
\х—х0|< б і будет			справедливо				неравенство |ср(х)—цо|<л>
или,	что все равно, неравенство							(I).	точки	х0, во всех
3)		Так как	существует			окрестность
точках		которой,	за	исключением,				быть	может,		точки Хо,
функция и = ф(х)			не принимает значений,						равных		и0, то су­
ществует число бг>0				такое,		что	для всех х ф х0 и удовлет­
воряющих неравенству					|х—х о |< 62			справедливо		неравенство
(р(х)	ф и0 (или и ф «о).				Положим б= шіп(бі, 62).						Тогда для
всех х ф хй и удовлетворяющих неравенству
			'	|х -Х о |< 8			’				(III)
функция Яф(х)] будет определена								и для	этих	же х будет
справедливо неравенство (I), а следовательно,										и	неравен­
ство	(II), которое можно переписать в виде										(IV)
			ІЯф(*)]—■А \< г .

69