книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

< оо	оо < л'	а. На черт. 4 изображен			промежуток —
— о о < х < а , а		на черт. 5 промежуток'а<^х<
		i?	а		■ X
			Черт.	4
	------ :----------------------		/Г/7/	/ / У / / , / / / 7 Т Т 7 ? Т ^
			й	О	сс
			Черт.	5

Любой интервал, содержащий точку х —а, называется ок­ рестностью точки а. Интервал а—е < д < й + е называется е- окрестностью точки а (он изображен на черт. 6)..

— S - 4	___ —	. _____-	и -	_______ _
О	а-г	а	' а+е	х

Черт. 6

Объединением мнодкеств А и В называется новое множе­ ство, обозначаемое символом А\]В, которое состоит из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат либо мно­ жеству А, либо множеству В. Так, например, объединением множеств и с<дг<<2, изображенных на черт. 7, яв­ ляется отрезок а < x -^d . Другой пример:

{1, 2, 3, 4} U {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 3; 4, 6, 8}.

---- [-------- Р 2777/У/А			1	1 .
а1	С1	Гб	Ч	X
	4	Черт. 7
Пересечением	двух множеств А		и В	называется новое
множество, обозначаемое		символом	А п	В, которое 4состоит

из всех тех и только тех элементов множеств А и В, которые

являются общими для множеств А и В.			Так, например, если
А есть отрезок а^Сх<Ь, а В — отрезок			(черт. 7), то
пересечением А [\	В	будет множество элементов х, заполня­
ющих отрезок	л <	Ь. Другой пример:

{1, 2, 3, 4} п {2, 4, 6, 8} = {2, 4}.

10

Можно доказать, что операции объединения и пересечечия множеств обладают свойствами:

\ ) A U B ~ B U A ; А [ \ В = В [ \ А (коммутативность)

2)	л и Л = Л; В [ \ В = В (идемпотентность)
3)	( л и в ) и с = л и ( в и с ) ; ( ЛП В ) П С = Л П ( 0 ПС) '
4) Л и 0 = Л ; Л П ,0 = 0		(ассоциативность)
5) Л U (В п С) = (А U В) п (Л U С);
	А ft (В U С) — (Л fl В) U	(А ßC) (дистрибутивность).
Множество А называется		подмножеством	множества В
(и тогда пишут А С В), если любой элемент			множества А

принадлежит множеству В. Запись Л С В				читают:	«Л есть
подмножество множества В» или		«Л есть часть множества
В». Так, например, для множеств		а < ^ < 4		и	изоб­
раженных на черт. 7, можно	писать		[c<x<.rf] С[а<:х<й!].
Другой пример:
{1, 2}С{1,	2,	3, 4).	•

Рассмотрим теперь определение функции.

Пусть даны два множества произвольной природы Е и F. Если каждому элементу х g Е по некоторому правилу f ста­ вится в соответствие определенный элемент у g F, то гово­

рят, что на множестве Е задана функция y=f(x)		(читают:
игрек равняется эф от икс). При этом	множество Е назы­
вают областью определения функции,	множество	F — об­

ластью прцбытия функции, X — аргументом или независимой переменной, у — значениями функции, а само правило соот­ ветствия f — функцией.

Подмножество F' множества F, обладающее тем свойст­ вом, что всякий его элемент у оказывается поставленным в

соответствие какому-либо	элементу х g Е,	называется об­
ластью значений функции f	(в общем случае множество F
«шире» множества F').		ѵ
Функция считается заданной, если даны два множества и
указано правило соответствия между их элементами.
Символ f(x) употребляется | в двояком		смысле: иногда

как обозначение функции, а иногда как обозначение значе­ ния функции,/ соответствующее определенному значению ар­ гумента X.

З а м е ч а н и е . В некоторых учебниках для ВУЗов дается несколько иное определение функции. В них функцией назы­ вают не само правило соответствия / (являющееся главным

И

в, определении функции), а значения у, соответствующие по правилу f значениям ,х. Таким образом, в этом другом опре­ делении понятие функции отождествляется с понятием зна­ чения функции, что создает некоторые неудобства (см. на­ пример, учебник Н. С. Пискунова «Дифференциальное и ин­ тегральное исчисления»).

Пример 1. Пусть Е — множество людей, проживающих в некотором городе и возраст которых превышает 16 лет; F — множество паспортов этих людей. Каждому такому челове­ ку из упомянутого города поставим в соответствие его соб­ ственный паспорт. Установленное таким образом соответст­ вие определяет функцию, заданную на множестве людей, значениями которой являются паспорта.

Рассмотренный пример, конечно, является шуточным, од­ нако вполне подходит под определение функции. Он показы­ вает также, что математики могут рассматривать функции любой природы, заданные 'на произвольных, не обязательно числовых, множествах. Это обстоятельство позволяет, в частности, применять современную математику в таких об­ ластях человеческих знаний, как языкознание, биология, фи­ лософия и т. п.

Пример 2. Пусть Ь — множество действительных чисел х, принадлежащих отрезку [а, Ь], а F — множество всех дейст­ вительных чисел у. Правило соответствия между элементами

		Черт. 8
х и	у установим	следующим образом. Возьмем две точки
А (а,	с) и B(b, d)	(черт. 8) с произвольными ординатами

(c<d) и соединим их некоторой вполне определенной воз­ растающей кривой. Каждой точке х q [а, 6] поставим в соот­

12

ветствие ту точку у g F\ которая получается с помощью про­ ведения перпендикуляра к оси абсцисс из точки х до пере­ сечения (в точке С) с построенной кривой и опускания пер­ пендикуляра из С на ось ординат. Установленное соответст­ вие определяет нам некоторую функцию y=f(x), заданную на отрезке [а, Ь]. Областью F ее прибытия является множе­ ство всех действительных значений у, а областью ее значе­ ний F' является отрезок [с, d] (черт. 8).

О п р е д е л е н и е . Если областями определения и прибы­ тия функции являются некоторые множества действительных чисел, то функция y —j(x) называется действительной функ­ цией действительного аргумента. Только такие функции мы и будем рассматривать в дальнейшем, не оговаривая особо, что речь гідет именшт о действительных функциях действи­ тельного аргумента.

Графиком функции y —f(x) называется геометрическое место точек (х, f(x)) плоскости ХОУ.

Функции можно задавать различными способами. В част­ ности:

1)с помощью формулы (аналитический способ),

2)с помощью' некоторой кривой (графический способ),

13) с помощью таблицы (табличный способ).

Так, например, функция у —х2, которая каждому дейст­

вительному числу X ставит в соответствие его кв.адрат, зада­ на аналитическим способом. В примере 2 рассмотрена функ­ ция, заданная графическим способом.

При табличном способе задания функции правило соот­ ветствия указывается таблицей, в которой перечислены зна­ чения X и соответствующие им значения у:

X		Хі	Xi . . .	Хп
У	■	Уі	Уі . . .	Уп
З а м е ч а н и е .	При		аналитическом	способе	задания
функции запись y=f(x)		можно рассматривать как			формулу.
Во всех остальных	случаях запись y=f(x) является лишь
обозначением функции.

Напомним читателю некоторые определения, относящиеся к функциям.

13

1. Функция, которая каждому значению х ставит в соот­ ветствие одно и то же число С, называется постоянной и обозначается символом

у —const или, более кратко, у — С.

2.Функция у = х п при любом натуральном п называется степенной.

3.Функция у= у X называется иррациональной.

4.Функция у —х 1при любом действительном а ф 0 назы­ вается обобщенной степенной.

5. Функция у = ах при		а > 0, а Ф 1		называется		показа­
тельной.	(а > 0,		а ф I)	называется		логариф­
6. Функция y=\ogax
мической.	y —cosx,		y=igx,	y = cigx	называются
7. Функции y=sinx,
тригонометрическими.		у — arccosx, y = axoigx,			у = arcct^x
8. Функции у = arcsinx,
называются обратными тригонометрическими.

9.Все перечисленные в пунктах 1—8 функции называют­ ся основными элементарными.

10.Функция у = Со + с1х + С2Х2 + ... +скхп сокращенно обоз­

начаемая символом у — Р п(х)	называется	целой рациональ­
ной (символами Рп(х), Qm(x),	R(x) и т.	п. обычно обозна­

чают многочлены). В частности, функция £/ = с0+С іл: называ­

ется линейной, а		функция	у — с0ф-сіх + с2х2— квадратичной.
		Р (х)	называется дробно-рациональнои
11. Функция у ——- - -
		Qin(x)
или просто рациональной. В частности, функция					у —	—
называется дробно-линейной.						сх + d
					на	отрез­
12.	Функция y —f(x) называется неубывающей
ке [a,	jb], если из . справедливости			неравенства	х2>Ху, где
х>6 [о-. Ь) и х2 6 [а, Ь], вытекает:				f(x2) > f(xi).	Если из
х2>Хі	следует	справедливость		строгого неравенства

f(x2)>f(x\), то функция называется возрастающей на отрез­ ке [а, Ь].

Аналогично определение невозрастающей и убывающей функций.

13.Невозрастающие и неубывающие функции называют­ ся монотонными, а возрастающие и убывающие — строго мо­ нотонными.

14.Функция f(x) называется'четной, если для всех х, для которых она определена, выполняется условие f( —x)=f(x).

14

График четной функции всегда симметричен относительно оси у-ов.

ХЪ.Функция f(x) называется нечетной, если для всех х, для которых она определена, выполняется условие f( —х) —

——f(x). График нечетной функции всегда симметричен от­ носительно начала координат.

16. Функция f(x) называется периодической с периодом

Т0, если: 1) из того, что она определена в некоторой точ­

ке X, следует,	что она определена		во всех точках x+kT(k =
= ± 1-, ± 2,...);	2) для любого	х	из	области	определения
J (x + T) =f(x).	Наименьшее из	всех		возможных	чисел Т>О

называется наименьшим (или основным) периодом функции. 17. Суммой двух функций y=f\(x), заданной на множе­ стве А, и y= fі ( х ), заданной на множестве В, называется но­

вая функция у= <р(Х),	которая каждому значению х g А [ \ В
ставит-в соответствие	число	/і(Х)+/г(Х)- При	этом пишут
<p(x)=fi(x)+f2(x).	двух	функций y —fi(x),	заданной на
18. Произведением

множестве А, и y—f2(x), заданной на множестве В, называ­

ется новая функция y=F(x), которая	каокдому	значению
X Q А [) В ставит в соответствие число	fi(x)-f2(x). При этом
пишут F(x) =fi (x)-fz(x).
19. Если каждому элементу.х £ Е ставится в соответст­
вие определенный элемент и q F (и таким образом			опреде­
лена функция и=ц>(х)), а каждому элементу u q		F,	в свою
очередь, ставится в соответствие определенный		элемент

у £ G (и таким образом определена функция y=f{u)), то

говорят, что на множестве Е определена сложная функция от аргумента х, которую обозначают символом

у Ч Ь ( х)1

Функции а = ф(Х) и У=І(и) называются звеньями сложной функции. Так, например, функция £/=Іпэіпл: есть сложная. Здесь u=sim:, и у —Іпи — ее звенья.

Сложная функция может содержать и большее число

звеньев. Так, например функция y = ln 3ct g— состоит из че­

тырех звеньев:

и = — , ö = ctgM, z = Xna и у = г ъ'

X

20. Функции, образованные из основных элементарных с помощью, конечного числа арифметических операций: сложе­ ния, вычитания, умножения и деления, а также функции, по-

15

Лученные из упомянутых Путем Яонйчноео числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Мноокество всех элементарных функций называется клас­ сом элементарных функций.

Примерами элементарных функций могут служить функ­ ции

y = x + sinx, у — У 8+ 3tg2j / J ,

у =	2cos:lЗх + arcsin У 1 — л:2 и т. и.
Функция у =	—, если X =j=О
	.V
	О, если X = О
заданная двумя	условиями, не является элементарной, так

как ее нельзя представить с помощью одной формулы, содер­ жащей конечное число упомянутых в определении 20 опера­ ций. ,

Функция у= |л'| является элементарной, так как ее можно представить в виде у = У х*.

	.		I	1,	если -V< 0	является элементарной,
	функция		у =		если, а-> 0
			( —1,				I	.VI	-/Т»
так	как	ее	можно
				представить в виде у = —— =					Л-—~ , а
,			f l ,	если X < 0
функция		у = {			не является элементарной,
так	как	ее	1—1, если х > 0
			нельзя	представить одной формулой.
	.		f 2л:-4-1, если ,ѵ<ГІ				является	элементар-
	Функция		у = ■	'	^

{х Л, если jc> 1

ной, так как ее можно представить в виде

У= - Г [ ( — У - Г +

----- >)(2-‘ + ') •

3 а м е ч а»н и е. Можно показать, что функция, заданная любым конечным числом условий

Д (х), если — оо <[ л < хх

f2(x),	если x1< x - < x 2
f3(x),	если х2 < х < х 3
У	(Л )
fnМ,	если хѵ-1 < х < х п

fл+1 (*^)j если хп <С. X оо

16

где fi(x),	f2(x),..., f n+i(x) — элементарные функции, если
только она	не определена в граничных точках Х\, х2,..., хп,

является элементарной, то есть может быть записана в виде одной формулы, содержащей конечное число операций, упо­ мянутых в определении элементарной функции.

Действительно функция

< * (* )= 4 - ( і -	V ( X
	X

-	A l ) ' -	У {X — X i ) 2	/2 (x) (£)
—	X i	X — X i

дает представление у в промежутке — оо < ^ х < х 2. Функция

ф2 (х) = -к-	У (х —Л’г)2	У (х — х2)г	■fa(x)
	• X — JC2 ) • ФіМ + (і +	X — Хз

где фі(х) определяется формулой (£), определяет у уже в промежутке — со < х < х 3. Аналогично составляется выраже­ ние (рз(х), определяющее у в промежутке — со < х < Д 4. По­ ступая таким образом и дальше, с помощью конечного чис­ ла шагов, мы придем к функции ц>п(х), определяющей у во

всем бесконечном				промежутке — со < х < [+					со (за исклю­
чением, конечно, точек x h х2,...,					х п).
Обращаем внимание читателя на то, что если бы функция
(Д)	была определена в точках Х\,					х 2,,..,		х п, и «куски» графи­
ка	функции (Д)			не смыкались		бы	в этих точках			(то есть
точки Х\,		х 2,...,	х п	были бы точками			разрыва*), то			функция-
(Д)	была бы неэлементарной.
21.		Если	действительная функция действительного аргу­
мента X		задана с помощью формулы y —f(x)							и не указана
область ее определения, то,под областью определения такой
функции условимся понимать					множество всех действитель­
ных значений аргумента х, для^которых значение у, вычис­
ленное по формуле y ~ f( x ) есть также действительное число.
Рассмотрим			еще некоторые примеры, иллюстрирующие
функциональную символику, понятие области определения и
другие понятия, относящиеся к функциям.
Пример 3.			Дана функция		/ М = ]			+з		(Ж)
								/ -
Найти
а) HI), б) /(5),			в)	f ( b * + 1), г)	f(x%		д)	f ( x ) ,	е) / (-І-),
ж) /[/(*)], з) /[3ГҢх*));
*	О точках разрыва см. дальше.							. . . Г*0, публичка*
2-2518										-а узя
								библиотек* C ciifl3
									ЭКЗЕмнляр

^ИТАЛЬНО ГО ЗАЛА

	Р е ш е н и е ,	а)/(І)==		==2;
б)	f ( 5 ) = J/® ±® =
		(Ь3+ 1)+3		&3+4
В) f( £ 3 + l ) = / ; Ь3 + 1				Ь3+- 1
г)	Заменяя л: в выражении		(}К) на х 2, получим:
»)	?'():) = ( ] / '
		- ] / 1		+ Зх (*=*0);
ж)	Заменяя в выражении (Ж)			* на f(x) — ] / ~ ~ +3 по-
лучим				X
				= / > + 3/ 75Г
	ППх)) =	V * Т -	+3
		V X -J-3
	Пример 4. Дано: f (x) =2х3—5я2—23л:. Найти корни урав­
нения f(x) = f ( —2).			f(—2)=2-(—2)3—5-(—2)2—23Х
	Р е ш е н и е .	Так как
X (—2) = 10, то		нужно, решить		уравнение 2х3—5х2—23л:=10

или 2х3—5х2—23л:—10= 0. Раскладывая левую часть послед­ него уравнения на множители, получим

2(л:+ 2)-(х—5)-(х+0,5) =0, откуда Х \= .—2, х2=5, х%——0,5.

18

Пример 5. Даны	функции и—хг, ц= ы3+.Т, z=tgu, t= 2 \
у--=. -Д. Найти зависимость непосредственно от х\
Р е ш ен и е. у =	— =	— =2~ г = 2 -‘*и = 2 - ‘е<“3+1) =
J	i	2Z

=2'-tg(.t:>+l) ,

От в е т : у =:2—te(^B4-i) ;

Пример 6. Сложную функцию у — j/" sin In2tgJL предста­

вить в виде цепочки основных элементарных функций.

Р е ш е н и е . -Положим: а = — ,t>= tgи, z=lnt>; t= z2, Ѳ-=*

= sin/, у = "К©. Это и есть искомая цепочка основных эле­ ментарных функций, состоящая из шести звеньев.

Пример 7. Дано: f{x) =			хг\	ср (х ) =	tgx;		ф (х) = — .
							X
Найти а) /	,	б) /{ф[ф(-£-)			}. в)		Ф[ф(*)],
г) Дф[Ф (*)]}.
Р е ш е н и е ,	а) ^[ф ( х ) |		=	^ (tg -j-j = /(l) = 1.
ф ( — )		' 1 "		( т )		= 1.
		4
L \ я /J	} = Д <р
			} = Д ч: \ 4 /J

{- 7І - }

в)	ф [ф(*)] = ■Ф(X)		tg X	=	ctg Л.
Г)	/ {Ф [Ф (•*)]} = {Ф [ф (*)]}2 =				[tg Ф (Л-)]2 =			tg2 — .
								X
	Пример 8. Найти области определения следующих функ­
ций.
1)	У — Ѵ.Зд: +1 I	2) у =		lg (Зх + 1),		3) у =: КX2 —25 ,
4)	y = V j с2- 2 5 +	,.Д1		:	, '5)	у .		ха + 1
	л-*+1	■V	100—ха					X(ха—3) ’
			, 7) у = arccos				3+2х
6)	У = - .(х —3),1п (х +5)
	1		,	9) у ~ У \ Ъ х —2 1— IJC+ 3 |і
8)	У = - 2х -11 — 2.Ѵ-И

2*

19