книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

< x 0+ö, соответствующие		ординаты f(x) будут отличаться
от А меньше, чем	на е, то есть будет		справедливо	неравен­
ство |/(х)—Л | < 8.	А это и требовалось доказать. Итак, если
А = limf(x), то для всех		х =f=х0 из	окрестности	х0—6<
X-f-Xo

< х < х 0 + 6	значения	функции /(х) 'будут изображаться ор­
динатами,	отличающимися		от А меньше, чем на е.
З а м е ч а н и е .		Может	случиться, что при некотором

фиксированном g прямые г/=А +е нигде не пересекут график функции y —f(x). Это возможно в двух случаях:

I. График функции y = f ( x ) целиком расположен в гори­

зонтальной	полосе А—в<(/<^4+	Е.	Тогда неравенство
\f( x) —А < е	справедливо для всех	х	из	области определе­
ния функции y=f(x) и в качестве числа				б можно взять лю­
бое действительное число (черт. 21).

30

й. График функции y=f(x) разрывен и состоит из нёскольких «кусков», один из которых целиком расположен в полосе А —е<г/<Л + е (черт. 22). Тогда, если «кусок» гра­ фика, расположенный в полосе А —е<г/<Л + е, проектирует­ ся на ось х-ов в интервал (х0—бь Хо+ бг), то в качестве б можно взять наименьшее из чисел бі и 62.

Может случиться, что только одна из прямых у = А ± г пересекает график функции y=f(x). Пусть, например, реа­ лизуется случай, изображенный на черт. 23. Тогда ближай­ шие к точке М(х0, А) точки В и С пересечения графика

Черт. 23

функции y —f(x)" с прямой у = А + &, расположенные слева и справа от прямой х=Хо проектируем на ось х-ов. Обозначим

абсциссы проекций через Хо—бі	и Хо + 62 и в качестве числа
б возьмем наименьшее из чисел	бі и 62. Тогда неравенство
1

31'

|х—jtr0І <6 (x ф х 0)	повлечет за	собой справедливость	нера­
венства \f(x)—А |< е	(черт. 23).
Обращаем внимание читателя на некоторые детали в по­
нятии предела.			'
1. Определение предполагает,		что функция f(x) опреоеле-
на в некоторой „іокрестности точки х0 (то есть справа			и сле­

ва от точки Хр). Если функция /(х) определена лишь по од­ ну сторону от точки х0, то, в смысле высказанного опреде­

ления,	о пределе функции в точке х0 говорить бессмысленно.
2.	Оговорка х	ф х0 в определении предела существенна
ибо функция f(x)		может быть не определена в точке Хо (как,

например, функция s‘" * в точке х = 0), но это не значит,

что в этой точке она не имеет предела.

3. Слова «...любого е>0...» существенны. Ибо если най­ дется хоть одно е > 0, для которого невозможно найти упо­ мянутого в определении б, то А не будет пределом функции

}(х).

4. Число б зависит от е. Так, вообще говоря, уменьшение е влечет за собой уменьшение б, что можно заметить с по­ мощью черт. 20, мысленно уменьшая на нем е. Поэтому пи­

шут б= б (б).

5. Отыскание б по заданному е может быть сделано не однозначно. Так, если одно б>0 уже найдено, то _любое другое б'<б будет также подходящим, ибо тогда и подавно из |х—Хо1< 6' будет следовать |f(x)—Л |< е .

6. Не следует думать,	что если функция f(x)	определена
в точке Хо, то ее предел	обязательно существует,	а если .су­

ществует,		то	равен f(xo).	Так, например, функция	f(x) =
= 1Х’	х	2	имеет в точке х = 2 предел /4=2, хотя		/(2)=3.
13,	Х-— 2		значение f(x0)	также не совпадает с пределом
На черт.		20

функции А в точке х0.

Заметим далее, что из определения предела функции в точке немедленно вытекает следующая теорема о единст­

венности предела функции.

Теорема. Если функция f(x) имеет в точке х0 предел А, то никакого другого предела В ф А в этой точке она иметь

не может.

Доказательство от противного. Пусть наряду с пределом А функция f(x) имеет в точке х0 предел В ф А. Пусть для определенности В~>А на некоторое число /?>0. Тогда

В = А + h.

32

Так как функция f(x) имеет предел Л, в точке х0, то для любого, заранее взятого числа и, в частности, числа е= —

существует число 6і такое, что для всех х =£х0 и удовлетво­

ряющих	неравенству \х —х0|< б і		справедливо	неравенство
I / (,ѵ)— А I <		и л и ---- ±! - < f ( x ) ~ A < - j ,		откуда
		A - - ^ < f ( x ) < A + j - .		(В)
Так	как	функция f(x) имеет	предел В в	точке х0, то

для е = — существует число бг>0 такое, что для всех х ф хо

и удовлетворяющих неравенству | х—х0 |< б 2		справедливо
неравенство | / (х) —В |<	или, что все равно,	неравенство
B - ± . < f { x ) < B + - у .		(П

Выберем б= min (бі, б2). Тогда для всех х^=х0 и удовлет­ воряющих неравенству \х—Хо|<б будут одновременно спра­ ведливы неравенства (В) и (Г), с помощью которых можно составить новое неравенство

		В - 1 Г < /( Х ) < А + Т ’
откуда	В ----— <	Л -1------ .		Подставляя	в последнее	нера-
венство	3	3			h	+
	значение		В — А + h, получим		Л + /і---- —
I h		2 •,	h
+ — .	откУД3 - у h < ~ -
		2	h	заведомо неверно., Следовательно,
Неравенство — h<C—
		3	3		второго предела В
предположение о наличии у функции f(x)

в точке х0, приведшее к этому неверному неравенству, также неверно. Значит, функция f(x) в точке Яо может иметь толь­ ко один предел. Теорема доказана.

После сделанных замечаний мы можем указать схемы для проведения некоторых доказательств.

Пусть требуется выяснить, является или нет число А пре­ делом функции f(x) в точке х<>.

3-2518

33

Для этого задаются произвольным			е>0 и составляют нё-
равенство	|/(х )—Л |< е . Решая	его	относительно	модуля
разности	X—Хо, пытаются найти	положительную		функцию

б—ф(е), определенную при всяком е>0 и такую, чтобы не­

равенство |х—я0|<Сф(е) влекло	за собой неравенство
\f(x)—Л |< е . Если существование	такой функции б= ср(е)

доказано (например, найдено ее аналитическое выражение), то этим установлен тот факт, что число А является пределом функции f(x) в точке х0-

Действительно, каково бы ни было фиксированное значе­ ние е = 8о, мы по формуле б=ф(е) находим соответствующее значение бо=Ф(во) и тогда неравенство \х—х0\< бо{х ф хо) влечет за собой справедливость неравенства |/(х )—Л|<ео.

Если окажется, что не существует функции б=ф(е), оп­

ределенной	для всех	8> 0, и такой,	что неравенство \х—
—Хо|<С<р(е)	{X ф х0)	влечет за собой	|f(x)—А |< е , то чис­
ло А не является пределом функции f(x) в точке х0.
Таким образом, для установления того факта, что число
А не является пределом функции f(x)			в точке х0, достаточно
подобрать	какое-либо	одно значение	е > 0, для которого не­

возможно найти упомянутого в определении предела числа б (для которого невозможно определить функцию б=ф (е)).

Рассмотрим примеры.

х2__ 4 \

(—— —-j-1 j =3. Каким долж­

но быть число б, чтобы разность между значениями функ­ ции и числом 3 не превышала е = 0,001.

Доказательство. Зададимся произвольным е>0 и соста­ вим неравенство

				К		л:* —4			< 8.	(Л)
							( X -	)
Считая	X	Ф 2,		решим				его	относительно модуля	разности
						2		2
X — 2 :
	* +-2- —2 < е ;								IX —2 1< 2е.
Положим	б=2		2е.- Тогда					"неравенство |х —2| <6 повлечет			за
собой справедливость неравенства (Д).
Итак, для любого е>0 всегда можно подобрать число											б
(вычисляемое			по		формуле				б—2е, определенной	для всех
е > 0!) так,	что для				всех х ф 2 и удовлетворяющих					неравен-

34

■'ству tX—21< б справедливо неравенство (Д). А это и озна-

чает, что 3 есть предел функции------—+1 в точке х=2.

2(х — 2)

В частности, при е=0,001, 6—0,002.

Заметим, что функция f ( x ) — —— - +1 не определена в

2(х 2)

точке х=2, но имеет в ней предел А—3. Это означает, что при значениях х, близких к 2, значения функции мало от­ личаются от числа 3. График этой функции изображен на

черт. 24 и представляет собой прямую' у = —х + 2 с «выбро­

шенной» точкой (2, 3).

			у2 _1	О	Каким должно
Пример 2. Доказать, что Н т —-— =				—
быть 6, чтобы из \х —2 К		х~*2 X- - f - 1		5
		6 следовало
I	-ѵа — 1	_______з	< 0,1?
I	л-2 + 1	5
Доказательство. Прежде всего заметим, что если предел
данной функции в .точке х=2 существует, то					он не зависит

от того, в каком промежутке, содержащем точку х=2, рас­ сматривается данная функция. Ограничимся' поэтому рас­

смотрением данной	функции	в	промежутке 0^ х <	оо.
Зададимся произвольным е>0 и попытаемся отыскать
такое 6, чтобы для	всех х ф 2	из	справедливости неравенст­
ва \х—2|<С6 вытекала справедливость неравенства
	хг - \		< е .	(Я)

*а + 1(/.

3*	35

с этой целью		ренійм неравенство (Е} относительно					\х—2(:
		2хг —8	< е ; \2хг—8 1<[ 5-е-л:2-J-5s.
	5	•(**+!)
Рассмотрим случай:			1)	х>2.	Тогда 2х2—8<5-ех2 + 5е;
		д:2- (2—Бе) <			8+ 5е.
Заметим	теперь, что			если 2—5е<0,		то есть	— , то
последнее	неравенство,		а	следовательно,			5
						и неравенство (Е )

удовлетворяется при всех д:>2. Это означает, что каково бы ни было б > 0, из справедливости неравенства \х—21< б (точ­ нее X—2<6) всегда вытекает справедливость неравенства (Е). То есть б можно взять любым! Пусть для определенности

6=1	для		— .
			5
Если 2—5е>0, то есть е < — , то
						5
*2<		8	5s			+ 5е	, откуда \ х —2|<
		Т — 58			Х < ^ ] /
						2 - 5е
						■5е	- 2.
Положим
					58	-2,	если в < —
				/	Т Г 5е
		б2=						5
						если е >		— .
					1,
Напомним			читателю, что			бг — ширина		вертикальной по­
лосы х0<х<х:о+'б2, изображенной на черт. 20.
2)	X < 2,		Тогда —(2л:2—8) <5е-л:2+5е; л:2- (2 + 5е) > 8—5е.
Заметим теперь, что если 8—5е<0, то есть е ^ —, то послед-
нее неравенство, а					следовательно,			5
							и неравенство (Е ) удов­

летворяется всеми положительными х<2. Это означает, что

каково	бы ни было б > 0,		из	справедливости неравенства
1*—2 |> б	всегда	вытекает	справедливость неравенства (Е).
То есть б можно		взять любым.		Пусть для определенности

6= 1 для е > — .

5

36

откуда

8 —5s

2+ 5е

Положим

Напомним читателю, что 6і — ширина вертикальной поло­

сы x0—ö\< x< x0, изображенной				на	черт.		20. Числа 6і и бг
выбраны так, что как только х, стремясь							к х = 2, попадет в
окрестность 2	6i< jc<2 + Ö2,		так	значения данной				функции
будут отличаться от— меньше, чем на заданное е>0
Выберем теперь для каждого фиксированного е>0 число
б (е )= т іп (6і, бг). Такой		выбор		всегда			возможен,	так		как
функция б(е) определена для всех					е > 0,		что следует		из ее
построения. Тогда, для всех			х += 2 'и удовлетворяющих							не­
равенству \х—2| < 6, будет			справедливо				неравенство			(Е ).
Это и означает, что lim —~ 1 = -— .
	ѵ_і.О V2 I 1		С•
В частности,	при s =0,1		бх = 2 — 1 /				— °’^ = 2 — ]/3;
					•	V	2 + 0 , 5	г	’
8 + 0 , 5			—2,		и,	следовательцо,				б =
2 - 0 , 5
— тіп(б1, б2) =	2 — ]/"3	(или	6 < 2 — ]/3 ).

З а м е ч а н и е . При доказательстве равенства

х_>2Яг+1 5

мы стремились по заданному е>0 точно найти макси­ мальное из возможных б, что привело к довольно громозд-

37

ким выкладкам. Это, в частности, диктовалось дополнитель­

ным требованием найти б для е= 0,1. Но, как уже

говори­

лось в замечании 5, в этом

нет никакой

необходимости.

Достаточно доказать существование любого

ö '< 6, лишь бы

из |х — 2 | < 6'

следовало неравенство (Е).

Дадим другое, более краткое доказательство справедли­

вости равенства lim ——- ==

Для этого функцию

—- бу-

X—*2

ха+1

5

І ^ х ^ З .

jc*+1

дем рассматривать

лишь

на отрезке

Зададимся

произвольным

е>0

и будем решать

неравенство (Е)

сле­

дующим

образом:

Так как 12*2—8

< е; 2 - ] х - 2 |• | х + 2 1< 5е (х2+ 1 )•

(Ж )

I

5 (х2 + 1)

I

< х < 3 ,

то неравенство 2 -|х —-2|-5<;5е-2,

(И)

или

I X—2 I О

влечет за. собой справедливость неравенства

(Ж)

(при пере­

ходе от неравенства

(Ж) к неравенству

(И)

мы |х + 2 |

заме­

нили его наибольшим для

промежутка

1 < х

< 3 значением

5, а выражение х2+1 — его наименьшим

для этого

проме­

жутка значением

2.

Тогда,

если'верно

неравенство

(И), то

будет, и подавно,

верным неравенство (Ж).

что

для

всех

Положив б'—е,

мы должны

заключить,

X =£2 и

удовлетворяющих

неравенству |х—2 |< б ',

будет

справедливо

неравенство

(Е).

Это и означает,

что

предел

функции

yjl

I

ß

------ в точке х =2

равен —- .

х2 +

1

5

Если опустить все подробные пояснения к примеру 2, то преимущества и краткость второго способа доказательства станут очевидными.

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий второй способ.

_4X *4~5		1
ПримерЗ. Доказать lim -------	—' Е—~ — .
X >i	X2 + 3	2

Доказательство. Ограничимся рассмотрениемфункции, стоящей под знаком предела лишь на отрезке0 ^ х ^ 2 . За­ дадимся произвольным е>0 и, решая неравенство

X3 — 4х + 5	2 < е	(*)
X2 + 3

38

относительно \х—1|, попытаемся найти б так, чтобы из IX—11<б следовало неравенство (К):

2 (.У3 — 4 л~+5) — х2—3

<

е; \2х3 - X2— 8* + 7 1< 2 • в(г2+3);

2 (х2+3)

\ х —\ \-\2x2 + х - 7 \ < 2 - г ( х 2+3).

. (Л)

Так как выражение 2х2+ х—7 в промежутке ОС х

< 2 имеет

наибольшим

значением

число 3 (при х=2), а выражение

2(х2+ 3)

имеет наименьшим значением в том же промежутке

число 6 (при л:=0), то неравенство

(Л)

является следствием

неравенства \х—1|-3<6е, или,

что

одно

и то же,

неравенст-

ьа \х—1|<2е. Положим

б=2е. Тогда для

всех

х ф 1 и

удовлетворяющих

неравенству

|х—11< б будет

справедливо

неравенство

(/().

Это

и означает,

что

предел

функции

х*___ 4# -|- 5

точке х = \

1

— — — в

равен — .

X* “f- 3

2

Пример 4.

Функция /(x )= sin ^ -

не

имеет никакого пре­

дела А в точке х = 0,

так как

в любой

окрестности

точки

,г= 0

эта

функция

бесконечно

много

раз

принимает

значе­

ния 0 и +1 и ни при каком 6>0 из

неравенства

\х—01< б

не будет

следовать даже

неравенства

s in -------А < .

sln- 1

X

1

Пример 5.

Функция у —

1 -не имеет предела

в точке

sin-

х = 0,

хотя во

всех точках, где

она определена,

совпадает

с 1.

Действительно,

если х ф — , ю

sin — ^=0,

и,

следо-

1

ПК

X

sin—

вательно, у = ------— = 1.

Причина в том, что в

любой, да-

sm-

1

же как угодно малой б-окрестности точки

я =0

существуют

точки, в

которых

функция не определена.

Действительно, в

точках

I

+2, ...) функция

не

1 '

х=>---- (га = ± 1,

определена

ПК

и каково бы ни было б>0 найдутся

точки,

для

которых

—

<6

(например,

при

значениях | п I >

—

Определение

!Ш

Тіб

же предела предполагает существование функции в некото­ рой окрестности точки Xq, к которЪй стремится х.

39