книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

10)	у — lg cos X,		l l ) у =	lg (К *	—4 — y è— x ),
12)	У =	-		13)-у = У *		• У Т = 3 ,
		15х— 11— I X +3|
14)	у =	У х-(х —3) .
	Р е ш е н и е .		1) Функция		у = - Ѵ Зх+1		определена для
всех X,		для которых		Зх+15^0, таккак			для этих’и только
этих X у будет действительным числом. Следовательно, об­
ласть определения характеризуется						неравенством х!>— — .
Она изображена на черт. 9.									О
			- і	О			. . .	X	:'і
			3						'V.

Черт. 9

2)у —lgf(Здг-f-1). Здесь у будет действительным числом,

если Зх+1>0, то есть х > — Последнее неравенство и дает

нам область определения данной функции. Она изображена на черт. 10.

----- ------- ^аГТ7Т7Г7~П~рТ77-/ГТ/П-,-77Г/

• -з	0	-1
	Черт. 10
3) у — ]/")х3—25. Область определения		характеризуется
неравенством х2—25^0,	откуда |х |^ 5 , и,	следовательно,

область определения состоит из двух бесконечных промежут­

ков х:^5 и x:g:—5	(черт. 11).
і / / / / ' / / Г77/ У 77/ТЛ	0	Ѵ / П / 7Т / Г Г / Г / 7 Ш 7 /	г
. - 5		5	X
	Черт.	11

4) Здесь для нахождения области определения нужно ре­ шить систему неравенств:

Гха - 2 5 > 0

I 100— х2< 0.

(

20

Решение этой системы определяется неравенствами

| М > 5

ІИ < і о

исостоит из двух промежутков: —1 0 < х ^ —5 и 5 ^ х < 1 0 .

Искомая область определения изображена на черт. 12.

-5

J

S

10

X

■ '' у5»‘

Черт. 12

5) Здесь в область определения не войдут только те х, для которых х(х2—3) =0. Таким образом, область опреде­

ления состоит из всех х, для	которых х ф	0 и х ф ± Y 3-
Она изображена на черт. 13.
-гьл,7п 1j і-r^rrm t j n n r r m ^
0	+{$	X
Черт.	13

6) В этом примере область определения находится из си­ стемы условий

' X -3^=0	хфЗ
ln (X + 5) ^ 0 - откуда	Х ф - 4: -
х + 5 > 0	5

Таким образом область определения характеризуется тремя неравенствами: —5<х<[—4; —4<х<|3; 3 < * < 00 (черт. 14).

______(ГГМ 1/ ГГГПТГ,?/,! П И ГГГ^ГГП / 777777777J

~5 ~4	О	3	X
	Черт.	14

7)	Здесь у	будет действительным числом,		если х будет
удовлетворять		двойному неравенству: — 1 <		34- к2х
				----------- < 1.
				4
Решим	его: —4<34-2л: <4;		—7 < 2 х < 1 ; ---- — < х < — .
		1	2	2

21

Последнее двойное неравенство и характеризует область определения данной функции (черт. 15).

		77777>?77:77777-22..			X
		1	О	і
		г		г
			Черт. 15
8)	Здесь область		определения		найдется из	условия
I 2а:—1 | —2 х-\-\ф 0 или 12х — 11Ф 2х — 1. Последнее						воз­
можно лишь		при 2х —1<Т), то		есть при х < [ — . Область
определения		показана на	черт.	16.

777/7 /7 7777772227*_________ _

'г

Черт. 16

9) Для нахождения области определения решим нера­ венство

I 3jc — 2| — |х+3|>0:	| 3 х -2 | > | х + 3 | ;	(З х -2 )2> ( * + 3 )2;
(Зх— 2)2— ( л + 3 )2>0;	(4де + 1)-(2х-5)>8,	откуда

и х>--^-. Этими неравенствами и характеризуется область

определения данной функции (черт. 17).

___________E2ZZZ222e—

- І О

a?

«2

■• Черт. 17

10)y = lgcosx. Так как логарифмическая функция опреде­ лена лишь для положительных значений аргумента, то долж­

но выполняться неравенство cosx>0. Если изобразить гра­

фик функции у —cosx	на чертеже и заштриховать его	верх­
ние полуволны, то мы	сразу получим геометрическое	изоб­

22

ражение области определения (черт. 18). Аналитически же областьопределения характеризуется неравенствами

— *	+ 2 я й < л < — + 2 я й (А = 0 , ±1, ±2, . . . ).
2	2

Черт.		18
И) у = lg (У х — 4 —	X.)	Область определения най­
дется из системы неравенств
х —4>0
б—х > 0
. / х —4 > ]/б —х
Решим эту систему: из	первого		неравенства х 4; из
второго неравенства х=^6.	Обе	части	третьего неравенства

возведем в квадрат: х—4>6 —х, отсюда 2х>10 и х>5. Сле­ довательно, область определения данной функции есть полу­

интервал		5<х=^6.
12.	и — --------5—1--------. В область определения данной
функции		I	5.Ѵ—1I — | х + 3 1				<	|5х—1| =
		не	войдут лишь			те х, для которых
= [х -{-31;		то	есть		(5х—I)2 — (х -j-3)2, или 5х—1 = + (х+3).
Последнее'равенство возможно лишь при х х = 1 и ха = — —.
								3
Таким образом, область определения состоит из трех про­
межутков:' — оо <					---- —, ---- —< л г < 1, 1< Я < + о о .
					3		3
13.	у — У х			• V X —3.		Область определения		характе-
				„	( х > 0		и, следовательно,	неравен-
ризуется системой					1
ством х ^ З .					( X—3>0
14,		у=. У х-(х—3). Для					нахождения области определения
нужно решить				неравенство х(х—3 )^ 0 . Решение дает: х^СО
и х ^ З .	Этими			неравенствами			и характеризуется	область
определения данной функции. Рекомендуем читателю срав­
нить два		последних примера,

23

Пример 9. Какие из следующих функций являются четны­ ми, какие нечетными, какие не относятся ни к четным, ни к нечетным?

а)	у — cosЗх,		б) у = . І ід - , в)		у = xz	г) у = \х\
+ 1х—1|, д) у =		\ 1 — х\ + I I + х |,		е) у =	je3 • sin .г,
ж) у =	sin х + cos X,		3) у = У (4+х)а — У (4—х)2,
И) У = Іп4 т ^ -		к)У = -~ +, 2 \		п ) у = \ п \ х —У х г — \ I .
	1 *т" X		А
Р е ш е н и е .		Для	выяснения	четности или		нечетности
данных функций сравниваем f(x)				c f (—х).

а) /(х )= cos Зх; f ( —х)= cos (—Зх)= cos Зх- = f(x)—четная.

	б)	=		=іт й г = ~	~ нечетная'
	в) f(x) = х3+1; / ( —X )			— (—л:)3 +1 Ф ± f{x) не являет­
ся ни четной, ни нечетной.
=	г) /(х) = I х I + I X—1 I ; / ( —х) = | — %| + 1— х — 1 j =
	I х|	4- I х + 1 I =£±f(x)		не является ни	четной, ни не­
четной.
	д)	f (х) — I 1 — х I	+ !	1+ -VI ; f(—x) — 11+-VI + 11— -VI =
—} { x ) — четная.
	е) f {x) — X 3 ■s\n X-,		f ( — x ) = ( —x)3-sin (—je) =/(x) —четная.
=	ж) f(x) = sinx -f-cosx;			/( — x)i= sin(—x) + cos(— x) =
	— sinx + cosx=f=- + f(x)			не является ни	четной, ни не­
четной.				\
	з)	f (х) = V ( 4 - f х)2 —\ f (4— X)2; f ( — x) — Y (4— х)2—

— У (4-f- х)2 = — /(х) — нечетная.

и) / (х) =		; f ( - x ) = Ш -р -І = — l n - ^ - = - / ( x ) —
	1 + X		1— X	1-Ь X
нечетная.
,	пх I 9-.г		9 -.tr io.tr
к)	f(x) = — ~2-----; / ( —*) =		---------- = /(х) — четная.
л) / (х) = ln I X — У х г — 1 I ; / ( —х) = 1п				- У х 2 — 1 |=
= In I X + Y X1 —1 I =1п			= — ІП I X — У х 2— 1I =х
= —	/(х) нечетная.	/ х 2- 1

24

Пример 10. Доказать периодичность следующих функций и указать их наименьшие периоды: а) y=sinax ( а > 0),

б) у = cos4x, в) у —sinx+cosx, г) 2/='arcsin(sinx).

Р е ш е н и е , а) Периодичность функции очевидна. Для нахождения наименьшего периода выясним, при каком наи­ меньшем положительном Т справедливо равенство f(x + T) =

=f(x),		то	есть	sina(x + r) =siniax.				sin (а (х 4- Т)) — sin ах = О,
	Преобразуем			это	равенство:
2 cos		■+	~^~-]’Sin—у - =0.				Так	как функция	cos^ax +
	аТ \	не тождественна						. оТ п
—т~)						с нулем, то sin—— = 0, откуда
аТ	:nk		(k = \,	2, 3, .	.	. ),	и, следовательно,		Т	Ink
2

2тс

Наименьший из периодов, очевидно, равен Т0

а

б) Периодичность функции очевидна (например, Т=2п — период). Длявнахождения наименьшего периода преобразуем равенство соэДх+Г) = cos4x:

cos4 (х -\-Т) — cos4 X =0,

[cos2 (х -)- Т) -f- cos2 х] • [cos2 (х + Т) — cos2'x] =0.

Первый из множителей в последнем равенстве тождествен­ ным нулем быть не может. Сокращая на него, второй мно­ житель представим в виде:

[cos (х + Т) -+- cos X] ■[cos (х -f- Т) — cos х] =0;

откуда

(постоянные множители сокращены).			Здесь c o s ^ x - f - и
sin^*-|——j отличны		от тождественного	нуля.	Следовательно
т	т		T=nk	(k—'1, 2, 3,...).
cos — sin—= 0, откуда s in r= 0, и значит
Наименьший период Т0=и.
в)	Найдем наименьшее положительное число Т, для кото­
рого	справедливо	равенство sin(x + 7) + cos(x-j-7’) =sinx+

25

+ cosx. С этой целью преобразуем его так: sin^-f-T7) —sinx = = cosx—cos^-J-r),

2cos {x -f -^-j-sin = 2 -sin^x + -y-j-sin-^- 1

т		7	7	=0'
[ » ( ' +			)-!»(' + т )]'йп
Так как cos ^х +	—sin^x+ y -j ^O, то sin у - = 0 , откуда
— —nk (k = \, 2,	3, .	.	. ). Наименьший период Т0 — 2я.
З а м е ч а н и е .	Все рассмотренные в примере 10 функ­
ции определены	на	всей числовой оси. Поэтому первое ус­

ловие определения периодической функции всюду автомати­ чески выполняется и нами не проверялось. Рекомендуем чи­ тателю убедиться в следующем.

1. Определение «функция f(x) называется периодической, если существует число Т ф 0 такое, что для і|сех х из об­ ласти определения функции f(x + T) =f (x )» — неверно (в ка­ честве примера рассмотреть функцию у = sinx, определенную

лишь	на	отрезках вида	(2k—1) - я ^ х :^ 2я& (k = Q, —1,
—2,...)	и	—---- \-2 л к ^ х ^ .	2я -(1 +k) (k — 0, 1, 2,...)).
		k -j- 1

2. Сумма двух периодических функций не всегда перио­ дична (в качестве примера рассмотреть функцию z/=sinx + -Ьэіпях).

г) Функция у —arcsin (sinx) определена при всех х и пе­ риодична. Действительно, равенство

arc sin (sinx) = arc sin [sin (x-f- T)]

равносильно равенству

sinx=sin(x+jr).

Следовательно, наименьший период данной функции Г0=2я.

Любопытен график данной функции: он состоит из бес­ конечного числа отрезков прямых линий, ибо

		./ X, если —0,5я X <0,5 я
	arc sin (sin х) =	я — X,	если 0 , 5 я < х < 1 , 5	я
		X—2я,	если — 1,5я < х-<2,5я

26

Вообще
arcsin(sin.v) = ( — l)* -(x — n k ), если	я <,ѵ < 2fe+1- л
2	2
(черт. 19).

Черт. 19 Примеры для упражнений

Б е р м а н №№ 1—37; 40—116; 124—135; 138—166. Д е м и д о в и ч №№ 151—223, 231—236.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие числа называются рациональными? Откуда сле­ дует, что целые числа относятся к рациональным?

2. Какие числа называются: а) иррациональными, б) дей­ ствительными?

	3. Какие	из следующих чисел аі =5,310031003100..., а2 =
—	аз = 2,13113111311113111113..., гі4=		51/2"+7-
-	f / s T f Z 7,	а з ^ ]/Г2я + 3—4Ѵ'2'к— 1-1-]/Г2л + 8—6 ] / 2я—1

являются рациональными, какие иррациональными?

4.	Что называется:		а) объединением двух		множеств,
б) пересечением двух			множеств?	пустым?
5.	Какое	множество	называется		% 3, 4,5}?
6.	Верно	ли равенство{2, 5, 1, 2,		3, 5>4}={ 1,

7..Что называется функцией?

8.Что называется а) областью прибытия функции, б) об­ ластью значений функции? В чем состоит различие между этими понятиями?

9.Какие функции называются периодическими? Что называется главным периодом?

10.Всегда ли произведение двух периодических функций есть функция периодическая?

11.Какая функция называется сложной?

12.Какие функции называются элементарными? Привес­ ти примеры элементарных и неэлементарных функций.

27

13. Что понимается под областью определения аналити-. чески заданной функции, если она задается без указания об­

ласти	определения?
14. Что называется: а) суммой двух функций, б) произ­
ведением двух функций?
15.	Даны функции f(x)=p	и ф(х) =		• Каковы об-
ласти определения функций а)		f (х) + ф (х), б)		[(х)-ср(х)? От­
ветить	на такой же вопрос: 1) для		функций f ( x) =x+ — и
Ф(х) —X2---- —1 ; 2) для функций у= V			I—*2 и У= V х 2— 1-

2. Предел функции в точке

Рассмотрим теперь понятие предела действительной функции y = f(x) действительного аргумента х. Начнем со вспомогательной задачи. Пусть инженер-исследователь в ре­ зультате некоторого расчета получил формулу

Величину X он измеряет экспериментально, а величину у подсчитывает по приведенной формуле; кроме того, известно, что х > 1. Формула (А) сравнительно проста и вычисления значений величины у по заданному х не представляют зат­

руднений.	Однако	исследователь	замечает,	что при х = 2
формула	(А) дает	неопределенный	символ —	. Как его ис­

толковать? Возникает естественный вопрос: если невозмож­ но найти значение у при х = 2, то нельзя ли, по крайней ме­ ре, указать такое число, к которому приближаются значе­

ния	функции, когда значения х начинают отличаться от 2
как	угодно мало? Если такое число существует, то его-то
и называют пределом функции.
Рассматривая другую функцию у = >		(БД мы можем

заметить, что для любого х Ф 0 значения у легко вычис­ лимы, а при х = 0 получается неопределенность: дробь, стоя­

щая в правой части формулы (Б) дает символ-^-. Опять

исследователя и математика интересует следующий вопрос. Мы не знаем значения функции в точке х=0, но известны значения функции в любой, как угодно малой, окрестности

.28

âTöH точки. Йельзя ли указать число, от которого как угод­ но мало будут отличаться значения функции, если х будет как угодно мало отличаться от нуля?

Аналогичные вопросы молено было бы поставить и о мно­

гих других функциях. Например, о функции		у = хх при
X -* 0	х-І	при х	л
	(х стремится к нулю); о функции у = х		1
и т. п.		„

, Вообще, нас будет интересовать ответ на следующий оощий вопрос. Пусть функция y=f{x) определена в некоторой окрестности точки х0 за исключением, быть может, самой точки х0. Пусть X -S- х0 (то есть мы даем х значения все меньше отличающиеся от х0) . Что будет происходить со

значениями г/? К чему они будут стремиться?

Полные ответы на поставленные вопросы можно полу­ чить с помощью понятия предела функции в точке. Пусть

функция f(x) определена		в некоторой окрестности		точки х0,
за исключением, быть может, самой точки х0.				в	точке
Число А	называется	пределом функции y=f(x)
х0, если для	любого (хотя бы как угодно малого)				числа
е > 0, существует число 6>0 такое, что			для всех	х Ф х0 и
удовлетворяющих неравенству j х—х0 |<б,			справедливо нера­
венство I f(x)—А I <е.				в точке
Тот факт, что число А есть предел функции f(x)
х0, выражают записью: limf(x)=Â.

Выясним геометрический смысл понятия предела. С этой целью построим график функции z/=/(x) в некоторой окрест­

ности точки х0 (черт. 20). Пусть			limf(x)=A. Покажем, что
ордината А точки М(х0, А),			ДГ-Ы'о
		принадлежащей или не принадле­
жащей графику функции y=f(x),			геометрически изображает
собой предел	функции f(x)	в точке х0 Для этого		проведем
горизонтальныепрямые		у = А ± е (е> 0 — любое		заранее
взятое число)	и точки их пересечения с графиком функции
спроектируем	на ось абсцисс.		Ближайшие к Хо проекции
слева и справа (их молсет быть.много!) обозначим				соответ­
ственно через	В и С (черт. 20).		Координаты точек В и С

обозначим соответственно через хо—бі и Хо + бг. Тогда бі ширина полоски, заключенной мелсду прямыми х = Х о —бі и х = х 0, а 62 — ширина полоски, заключенной между прямыми х = х 0 и х = х 0 + 02. Выберем из, чисел бі и 62 наименьшее и обозначим его через б: б= т іп (6і, 62). Тогда во всех точках X Ф Хо, попавших внутрь б-окрестности, точки х0 : х0—ö<!^<

29-