книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

П р и м ер 6-

l i m	(х+6)3 + (2л- '+ 5)3 +	(3 -у + 4 )3 + ( 4 * + 3 ) 3	-	I -(5.Ѵ Ч -2)3 +	( 6 * + 1 ) »
	.	Зх3-1-2х2гх~1-1
	_ l3+ 2 8+ 3 3+ 4 3+ 53-f63		_	t	I

(Так как в числителе и знаменателе данной дроби стоят многочлены третьей степени, то здесь достаточно подсчитать отношение коэффициентов при х3, что и сделано; сумма ку­ бов последовательных натуральных чисел лучше всего под­ считывается по формуле

13+ 23+	-\-гг	л*(«+і)2 \
П ри м ер 7.	Вычислить А = Н т		У Зхй-\-2 -	Xу х
			X У Й ^ Т х
				+ Г - З
^неопределенность		вида ~ —j-

Р е ш е н и е . .Здесь выражениям, стоящим в числителе и знаменателе, можно приписать вторую степень. Деля числи­ тель и знаменатель на х2, получим

	А =	lim	У з
			2
	Пример	8. Вычислить ß = lim (Y3x*+2x-\-l —
			,V-+i со

- Ѵ 3 х ," - 2 х - г \ ).

Р е ш е н и е . Здесь неопределенность вида сю—оо. Умно­ жим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму таких же корней; получим

/ 3 * 2 + 2 * + l + У з х 2- 2 х + \
4	X	^	2
	X
	1	~	КЗ ‘
		1
Предела при х -*■ со данная	функция не имеет.

110

Пример §.

lim ( Y x ‘ + 1

-

Ѵ * 4" -Г )

X —►»

lim

X*+1 —X*+ 1

=0-

V(.X4—1)3 + V(*4- l) 2(*4+l)

+

4 - V ( * 4—1)

I)3 + V (-*44-l)3

(мы

воспользовались формулой) {x—у) • {х*-\-хгу -f- хуг +

у8)=

(

Зд._улЛ*

-------

(неопределенность

вида

1“).

Зх -р2 /

Р е ш е н и е .

Выделим целую часть дроби, стоящей

под

знаком предела:

(Зх +2) -3

За: — 1

За: + 2

Зх +2

Зх+2

Введем теперь новую переменную

Зх+ 2 = у.

Так

как х '= —

---------и х^-со,

у-+0,

то

3

_1_

1іт (І£ ^ 1 \г - 1 іт (1 + г /) у

* - . - \ а х + 2 /

у-*о

•

'

=

lim --- —— lim (1 -|- /у)

3 =. — .

у-»о

_L у->о

е

(4-0)"

З а м е ч а н и е . Для

решения последнего примераможно

было бы применить формулу

lim [Да-)-1]-ф(.ѵ)

lim [/(*)]*М =

е*-*“

( В )

дозволяющую раскрывать неопределенности вида 1“ . Ранее

эта формула была выведена для х -*■х0, а доказанная в этом

.

параграфе теорема позволяет ее обобщить на случай х->

Пример 11.

Вычислить lim

/

_з^* I і\2г-|-1

(неопреде-

—-------—

ценность

вида

1”).

\

X - J X-

— 1

/

111

Реше нное.

Применяя формулу (В) получим,

I

I I

_

1 і т {

1 — іѴ (2 .Ѵ — 1)

_

lim

—3x*-f-l \2-c-r1

.ѵ->>Д

j

X3 + Т^гГ

lim •( ~

3 . c » - . v + 2

) ( 2 *

- f l )

л .V-*>

-ѵз-j-.v-l

=

е- '

= е

Пример 12.

В ы чи с л и ть

lim

2х -f-1

\ А’

3* +2

Р е ш е н и е .

Прежде всего заметим,

что в данном приме-

ре неопределенности нет,

так к а к

2л-+і

2

гг

-------->— при я^-оо. По-

этому

Зх “Ь 2

3

lim (2х ^М * = 0;

lim ß x +—У = ос.

х~*~\-оо \3х -f 2 /

,ѵ-*—с» \3х

/

Заметим,

что

lim

)*

не существует-

Пример 13.

Вычислить limth,v.

ЛГ-*± оо

Р е ш е н и е .

Гиперболический

тангенс

определяется ра­

венством Шлг=

— правую часть которого можно запн-

е-ѵ 4- е—г

еіѵ_ 1

и знамена-

сать в виде —— — (после умножения числителя

теля

1_е-ал’

числи-

на е1), или в виде ----------(после умножения

1 + e~sl

теля и знаменателя на е-х) . Поэтому

lim th je — lim

1—-е— =

1;

lim thx=lim--

1 — — 1.

JC—

А' -» I go

1 1“ ^

X —»— eo

.V—*—

1

1

Пример

14

Вычислить lim .i^e* —^(неопределенность

вида

со-О).

X —* - x

*

1

Р е щ е н к е ,

как

при

х -*-оа,

Положим

х = — . Так

'

У

у -►О, то

1

Іітл^е* —1) =

lim еУ ~ - =1.

Л-*ео

у—*0

У

Пример

15.

Вычислить П т

nl/~I _ с-тд-_j

т > 0

—---------------, п >0,

*-+о

In (1+5е-"-г)

(неопределенность вида-^-j,

112

Р е ш е н и е .			Так	как	лі / 1 +		е ",jr■—1 ~ — е				а
In(14-5е_п-ѵ) — 5е-"-ѵ при							то		П
			_____
		lim	" V	\ + г~тх -			= lim
			ln	(1 ; 5e_,lx)
							А '- Ң -	». 5е_пд'
			'				с о ,	если	п >	т
	_	1	lim		—		1	если	п =	т
		5п					bn 1
							о,	если	п <	т.
Пример		16.	lim ■- rct- * ■— 0,				так	как	arctg* — ограни-
чеиная			X—*eo	X
	функция.
Пример		17.	lim (cos|/,v-(-l			— cos]/X') =
= lim	n •		V^X-j-l+Vx			■	Vx+ \ — Y X			=o;	'
	—2sin—————---- • sin —— 1------ -—
так как функция -2 -sin					V x + l + V x			ограничена			при
T-+ + öd, a		lim sin			___Y-		— sin lim			1	= 0.
					2			*-*+« 2 ( V x + l + V x )
Пример		18.	Вычислить								:
A — lim.v-^arctg— Ü— arctg —							(неопределенность вида
oo -0).											-
Р е ш е н и е .			Применим формулу
arctg а — arctg b = arctg a — b . Будем иметь
					l-^ab
			* + 1		X
, A = lim.v - arctg ---■-—■—						=	Цщ x • arctg---- 2— - =
'			,	x -(x + l}			* -»		2x‘ +5x - 4
			Г	(x+2)»
				..	X (x + 2)			1
				.V—.-«	2xa ~5x -:-4			2

(здесь мы воспользовались соотношением arctga(*)~a(*)).

8-2518

И З’

Пример 19.															/
					I					,
			И г а х 2 ( У x + 2 — 2 У х + 1 Ц - У х ) ==
			дг-^т^
			_3_
	= lim X2 [(УТ+2 — У ^ Г \ Л ) - ( У х Т \ ~ У 7 ) \														=
	=	ІІШ X				/л-+2+Кх+1					' У х + І + У г )
		JC- » [ СО■
		=	lim					X2 (к* -Ѵ х+2)
		*-*+'»			(l^X+ 2 + УХ-\-[) (]/ЛХ+Т + Ух )
	= lim							Ѵ х ( Ѵ 7 - Ѵ Т + 2 )
	X■
	= ~ • 1іm (х — У X2 +2х) = -у- И m													—2х
														/ - j - — ■
	4		«,	4 -X - > j					- 2	4 л -Н -» X -Ь V Xs +2х
													4
					lim
Для самостоятельных						упражнений рекомендуем							следующие		примеры
Б е р м а н			№№			194, 195, 202, 214, 215, 281—292, 306—
313, 351—362, 367, 377, 379—385, 393, 396.
Д е м и д о в и ч					№№ 402,				404, 406,			415—417,			435, 436,
457—466,		469,		470,		505,		508,	511—513,			516,		525,	532—536,
551,	561,	562,	568,		570,		577—582,			588,	589,		593,	594.

14. Поведение функции при стремлении аргумента к точке разрыва и прил--^±>с. Классификация точек разрыва

Если функция f (х) непрерывна в точке х0, то

lim /(х ) = f(x0) =	lim f{x)	(1)
X -»X,—0	Л'-і-Лд-рО

Если же функция f(x) не является непрерывной в точке х0, но всякая ее окрестность содержит точки, в которых функция определена, то точка х0 называется точкой разрыва функции f(x).

114

Так, например, функция у= -—					имеет разрыв в точке
„	,	X	siru	1	у = \пх имеют разры­
х<=2.	Функции	г /= — ,	у —------, у ——
вы в		X	X	X
	точке X=0.

Заметим, что функция у=\пх не является непрерывной, например, в точке х=-—2, однако эта точка не будет точкой

разрыва

данной функции, так как существует окрестность

точки х = —2 (например, —3 <

< х < —1), которая не

содер­

жит точек определения функ­

ции у = Іпх.

особо

Среди точек разрыва

выделяют

точки

односторон­

него разрыва.

Точка х0

назы­

вается точкой

одностороннего

разрыва

функции

f(x),

если

она в ней не является

непре­

рывной,

но любая ее окрест­

ность содерокит точки, в кото­

рых функция определена и ко­

торые все расположены

лишь

по одну

сторону

от точки Хо

Так,

(либо только

справа

от х0, либо только слева от Л 'о).

например,

точка х = 0

является

точкой

одностороннего

(пра- .

пого) разрыва

для функции

г/=і1пх.

Функция

f 1,

если

хФ +1

У = \{ 1,5,

если

х = ±1,

заданная

на отрезке [—1,1] (черт. 32)

имеет

односторонние

разрывы

в точках

х = —1

(правый разрыв)

и х=1 (левый

разрыв).

Условимся в дальнейшем точки не одностороннего разры­

ва называть просто «точками разрыва».

каж­

З а м е ч а н и е .

Ранее

принято' соглашение считать

дую функцию .непрерывной в любой изолированной точке. Поэтому изолированные точки функции f(x) не являются точками разрыва этой функции.

Читателю не следует думать также, что в точках разры­ ва функция обязательно неопределена. Так, например, функ­

ция	х \	X < 0
f(x)=
имеет разрыв в точке х-- 0,	х + \,	х > 0
	однако	/ (0) = 1.
		115

8*

Существуют функции, которые разрывны в каждой точке своей области определения. Так, например, функция Дирихле

щ х \ _	(	1, если X — рационально
' '	1	0, если х — иррационально,

определенная для всех х разрывна в каждой точке, ибо в любой точке она не имеет предела.

Рассмотрим классификацию точек разрыва. В основу классификации положены причины, по которым в точке раз­ рыва нарушается равенство (1).

I.Точка Хо называется точкой разрыва / рода, функции

f(x),	если в этой точке оба односторонние предела функции
f (x)	существуют, но либо не равны друг другу, либо равны,

но отличны от f (х0).

Скачком функции в точке разрыва называется число ■

d — I lim	f (х) — lim f(x)			\ .
л:-*-лу}-0		X —*Xq—0		если Л'<0
,		r, ,	(x1,		имеет
Так, например, функция		f(x) — {		если х^-0
в точке X =0 разрыв	I	рода,	U + 1 ,
			так	как lim f ( x ) = \ \

X — —[ О

lim /(x )= 0 (оба односторонние предела в точке л '=0 су-

х_*0—О

шествуют, но не равны друг другу). Скачок функции в точке разрыва â = 1.

Функция f(x) = arctg— имеет разрыв 1 рода в точке

х = 0 , так как Um/(x) = — ; \ i m f { x ) = ----— .Скачок функ-

* —0 + 0 2 х—0-0 '2 ■

ции в точке разрыва d = я-.

Функция f{x) = --------—имеет разрыв I рода в точке

х= 2, так	X — 2	I	— 1.	Скачок	функции
	как lim /(.ѵ) =1,	lim/(x) =
	* -*2+ 0	х—*2—О
в точке разрыва d =2.
Функция /(* ) = -smx		имеет разрыв		I рода	в точке
л:=0, так	как lim (л-)=1,	но f(0)=?Н, так		как функция в
	л‘-*0±0				'
точке X = 0 не определена. Скачок			функции в точке раз­

рыва d =0.

Среди точек разрыва I рода особо выделяют точки так называемого устранимого разрыва. Точка хй называется точ­

кой устранимого разрыва функции f(x), если limf(x) =

х-*Ха—0

116

= lim/(д:) ф f(xо). Так, например,	функция /(х) =	'----- имеет
■X—*,jr0 -fO	.	X

в точке х —0 устранимый разрыв, так как limf(x) = l Ф /(0). X—*О±0

Заметим, что в точке устранимого разрыва функцию всег­ да можно доопределить так, чтобы она стала непрерывной

	f	sin je	_
в этой точке. Так, например, функция f(x) = -		------ ,	если хфО
		х	если хфО
		1,
уже непрерывна при х=0. Здесь условие f (0) =Т			доопреде-
ляет функцию у —-----	до непрерывности в точке х = 0.

II. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва II рода функции f(x), если в этой точке не существует по' крайней мере один из односторонних пределов этой функции.

Так, например,- функция у —-^— имеет разрыв II рода

в точке X— 2 ввиду того, что lim -

а‘—*-2л:

Функция у =2* имеет разрыв II рода в точке х=0, так
і_	і_
X	X
как lim 2	=0, а lim 2 = + о о .
je—»0—0	jr->0 +0

Функция / (д:) = sin— имеет разрыв II рода в точке х = 0,

так как lim/ {х) не существует.

л -—» 0

Функция Дирихле D(x) имеет разрывы второго рода в любой точке.

Среди точек разрыва II рода особо выделяют точки с так называемым бесконечным разрывом. Точка разрыва х0

называется точкой бесконечного разрыва, если по крайней

мере один из односторонних пределов функции в этой точке

1

бесконечен- Так, например, функции —			и 2	* имеют беско-
I		х ~2		2 и х = 0, а раз-
печные разрывы соответственно в точках х —
1	s	•	назвать бесконеч­
рыв функции sin— в точке		х = 0 нельзя

ным.

Если требуется исследовать поведение функции f(x) при стремлении .ѵ к точке разрыва Хо, то для этого вычисляют

117

односторонние пределы функции в точке х0, выясняя тем са­

мым характер разрыва функции.			Полученные		результаты
позволяют	наметить	ход графика	функции вблизи точек
разрыва.				функции f(x) лри
Если требуется исследовать поведение
.ѵ ^ г >о, то	вычисляют	пределы lim/(я)..		Если,	например,
		Л'—*-t; V

1іт/(х)=Л , то график функции по мере удаления от начала

координат приближается к горизонтальной прямой (называ­

емой горизонтальной асимптотой) у —А. Если П т /( х ) = >э, то

Д'—>се

график функции уходит в бесконечность, неограниченно уда ляясь от оси х-ов. В последнем случае график функции иногда приближается к некоторой непараллельной осям ко­ ординат прямой y*=kx + b, называемой наклонной асимпто­ той. Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, пара­ метры k и b вычисляют по формулам

k = lim	^ ■и b = lim \f{x) — kx\.
X —* 50	X	Х -**>
Рассмотрим примеры.
Даны	функции:	I) у = е*-3 ,		II) у =	-f х,
III) у = уЧ+* —1			X • (л'2 —9)		X — 2
		IV) у =
			(х -J-3) (л- —2)

Требуется: 1) указать их точки разрыва, 2) определить их тип, 3) вычислить скачки функций в точках разрыва, 4) ес­ ли это возможно, то доопределить их в точках разрыва так,

чтобы они стали непрерывными				в этих точках,			5) исследо­
вать поведение	функции при х-*-±				6)	найти	асимптоты
графиков функций,		7) построить		графики		функций.
Р е ш е н и я .
1
1) х=3 — точка		разрыва	(так как		в этой точке функция
не определена).		1		1
2) Так как	limeх—3=эо,		lime.X 3=0, то х= 3 —точка бес-
	X —►З— О	X—»3—0

конечного разрыва данной функции. Знание односторонних пределов функции в точке х = 3 позволяет наметить контуры графика функции вблизи этой точки. Эти контуры показаны на черт. 33.

3) Скачок функции в точке разрыва d=* со.

4)	Доопределить функцию	в точке	х = 3 так, чтобы она
стала непрерывной в этой точке,		нельзя	(разрыв — неустра­
нимый).

1

5)	Так как	х—3	=1, то при неограниченном		увеличе-
		lime
нии	аргумента	Х - * ± со	функции приближается к горизон-
		график
				1
тальной асимптоте у —1. Заметив, что е				X—3	x<Q и
				<1 для
1

х—3

е >1 для *>0, мы можем наметить контуры графика функции и при лг—± о° (черт. 34).

У

- ,н , я

Черт. 34

6) График функции имеет вертикальную асимптоту *=0

д._2

(так как Пинг = °о), к которой приближается справа, и

горизонтальную асимптоту у= 1; других асимптот график не

имеет.

1

, 7) Заметив, что в промежутке (0, оо) функция ех—3 убы­ вает (большему значению х соответствует меньшее у) от

119