книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

\

Пример 11

. + г е

1 і т (

1 + 2 + 3 + . .

п \

п—*оо ^

г е + 2

2 У

/

1 + п

= lim

=

l i m

— п

г е + 2

2

(ге + 2 )

2

n—»oä \

J

Я—*оо

2

Пример 12.

Вычислить

А = lim f—5----

1-----

4------7

1-----!-----

1- .

.

. -j----------

-

-------- ).

« - » и -4

7-11

1 (Зге—2) (Зге +1) У

Р е ш е н и е .

Преобразовав каждое слагаемое данной сум­

мы следующим образом

1

__ _і_

7 - 4

_

j _

/_і_____ і_\

4-7 ~

3 ’ 4-7

3

V 4

7 У’

_ J __ __

J _

11—7

_

/_1_

1

\

7-11 ~

3 ' 7-11

3

V 7

И / ’

1

_1_

I

(Зге+ 1 ) -(З г е —2) \

_

(Зге —2)-(Зн +1)

3

[

(Зге—2)-(Зге+1) '■) =

_J_

1

1

будем

иметь

~

3

Зге- 2

Зл +1 )•

1

Л =

— -lim ( і ---- -

+

т + т 11

4

3 л-*» I

4

1

1

+ • Зге — 2

Зге +'.1

= —

- lim fl — -

1

Пример 13.

3

п-*°° \

Зге + r) = T-

lim

[ 2 - V2 -

У 2 -

У 2 .

.

. 2" |/2 ) =

Я —*оо

..

,

і

Пт

1

2

= lim 2 + 2 + 4 + 8 + "

' + *п =

2

е=4.

140

Пример 14-

lim [ У « 3 ■( 6|//г2 + 4 п +1 — 6|//г2—3п +2)] =

Я —м о

=

1іт _____________[(/г8 + 4 я + 1) -

(Яа -Зга +2)] -У я » _____________

Я —*со БУ (яг+ 4 я+ 1)*1+ У ( л а+4л+1)3(/га- З я + 2 )+ ..У К ( я а-3 /і+ 2 )4

=

Пт

(7/1-1) У « 3

п -~ У ( л а+4л+ 1)4+ Ѵ (/га+4л-!-1)8(/га- З я + 2 )+ ...+ У ( я - З я + 2 )*

1

= Пт

_7_

5,

і/ К У Ѵ О У Я Ь т У "Ь

6

/~----------------

,

/ /

3

2 V

+•••■'- у

(■ -— + ^ і-)

П ри м ер

15.

оа

п

1

чп

1 ітЛ -‘,У--+1-

-Л

ІІГП• Зп*

Зяа + 2 л + 1

\ п

я-.,»

\ Зп’—п+і

1

_

еп—“ зп»-п+і _

lim f-3»!+ g^± L -\wд

л-ч» \ 3/іа —л-И У

= е

П р и м ер

16.

lim /

Ѵ 5 Г + Ѵ ^ + ...+ Ѵ а ~

У =

я —

\

гп

}

/пѵ^+пѵт, +...+пѵг„

-г)

-п _

Hm I

Я —>ею\

1

( nr r,-t

пѴГ,-і

-1 \

—

И ш ---------- 1-----------h - + п^ ~

п п-~ 1

і_

_L

Т

L

= е

\

п

п

— (Іп П.+І11 о,+...+1п от )

,п mV'ata, ... ат

=

т ,---------- -------

= ет

= е

У а1а3...а т .

(Мы воспользовались соотношением nJ/57—1----—Іп ^при

л

п -*■ сю).

141

П р и м ер i t .

lim I cos — ■cos —

. . cos

2"

2

i

X

X

n

X

x

.

.

2

•cos------■ cos ——

. cos--------«sin---------

=

lim

4

2n

271

X

П-*90

2-sin

X

X

X

-s in ■

X

COS— " *cos —

. cos — -—

277-1

=

lim ■

2

4

2n-i

2n

Л-*-»

2sin

sin л:

lim

Sin X

=

lim --------------=

---------

fl—»ec

_ _

.

X

fl—►NJ

X

2n . s in --------

2--11Г

Пример

18.

2n

/:—>xlim [Гi +

(— l)n "|cosec к V i-j-nT

Л - * ч е П

(-1 Г

Sill (TT

Vl-f/l*) ---

~ J

lim

( - 1 Г

lim

V l-j-Л* —П П ) - ( - 1)7*

----

0Л -*го

r tS in ( n

_ L

1

lim *

n

lim

n

л—►<»

— 0

Vi-j-я* -|-л

—

0

У \-\-пг -\~n

—

1

,im r S

i

JL

,im f

n*

)

L

= e "

n

= e « « - A K

/ = e * .

Примеры для

упражнений

Б е р м а н №№ 245—267.

Д е м и д о в и ч

№№

46—51,

53—56,

67,

429—434, 527,

528, 546, 552—555, 604, 605, 615—619, 629.

17. Признаки существования предела последовательности

Отметим некоторые достаточные признаки сходимости последовательностей.

1. Если lim ап = Н т сп — А и при всяком п имеет м.ес-

П—+<х> П—*ео

то неравенство а„<! Ьп-*Ссп, то существует и предел последовательности {Ьп}, причем 1іт6„ = Л

142

2. Если последовательность монотонна и ограничена, то

она имеет предел.		Подробнее: а) если,				начиная с некоторо­
го номера, члены		последовательности				{а„} монотонно воз­
растают (т. е. а„+1			ап) и		если последовательность огра­
ничена сверху (т. е. существует число						N	такое, что a ^ N ) ,
то она имеет предел;			б) если, начиная,			с некоторого номера,
члены последовательности					{Ьп) монотонно			убывают (т. е.
Ьп+\	bn) и если последовательность ограничена снизу (то
есть	существует число			L такое, что L < ап),				то она имеет
предел.				Для	того, чтобы последовательность
3.	Критерий Коши.
{ап}	имела предел, необходимо и достаточно,							чтобы для лю­
бого	е>0 существовало			число N —N{&)		такое, что для всех
n>N и любого р>0			было		справедливо		неравенство |а„—

^n+pI

Покажем на примерах, как применяются эти признаки.

Пример 1.

Доказать,

что

\\m n\f а

(а>0).

Л —* оо

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1) а > 1 .

Тогда, начиная

с некоторого

номера, будет

справедливо

неравенство n\fn

>> пу а

>

1.

Так

как

lim "]/п =1

(см. пример 2 §15)

и lim 1= 1,

то и lim nj/a

= 1

Л —ю о

f l —»ec

Л —ЮС

(на основании 1-го признака).

2) а<1.

Тогда lim

п]/а =

lim -----------=

------- ----- — = 1 ,

Л —*со

Л —*оо П

Г

1

П

Г Л

так как — > 1 .

Ѵ

т

у

і

а

ап

Пример 2.

Доказать

lim ---- = 0 (а > 0 ).

Л —ос

П\

Доказательство. Так как п-й член последовательности

Xп

ап

an+1

и,

следовательно,

'

I

= -------, то

хп+1— -----------,

л!

+

(я+1)!

,

-'"Л+1 -- *n

а

(А)

п +1

’

Из

(А)

вытекает, что

как только

выполнится

неравенство

п + 1> а,

так

станет справедливым

неравенство

хп+\< хп. Это

значит, что, начиная с некоторого номера, члены последова­ тельности монотонно убывают. Кроме того, последователь-

ность ограничена снизу: ——>0. Следовательно, на основа-

143

нйи признака 2, она имеет предел. Обозначим его Іітх„ = /4,

Л—>20

Очевидно и lim х пл.\ =Л. Переходя к пределу в обеих частях

П—

равенства (А), получим

lim хл+1 — lim x„-lim —°— , или Л=гЛ-0;
п-т		п—ььг Я;-1
откуда Л =0,	то есть	ап	и требовалось до-
		Н т ---- =0, что
казать.		я!
Пример 3.	Найти lirnx,,, если xt =		У 2 , х, = Ѵ: 2-\-Ѵ2 ,
	Л —+«»
. . хп = Ѵ 2	+ Ѵ 2 + • •	.+ У 2 (п корней). . . . .

Р е ш е н и е . При всяком п х,,.^ > х п и, следовательно, последовательность {хп} монотонно возрастает. Докажем ог­ раниченность последовательности. С этой целью заметим, что

'	* і =	1/2 < 2,	___
	V	,-------- —
	х2 =	у 2 + / 2	< / 2 + 2 =2,
	=	j / 2 + ^ ; < / 2 + 2		=2,
	X, = j/2 + x 3< / 2 + 2			—2,

вообще

хп = / 2 + 1 ^ < 1/2+2 =2.

Таким образом х, < 2 при любом л.

Итак, данная последовательность монотонна и ограни­ чена. Следовательно, она имеет предел. Обозначим его lim х„=А; тогда и lim хл-і =А. Переходя к пределу при

Л —* '«	Л—>ео
л-> оо в обеих	частях равенства х п= У 2+ х „-і, получим Л =

=1/ 2+Л, откуда Л2= Л +2; Л2—Л—2=0;

Л= —1+J f 1-t ? . —2. Задача решена.

Пример 4. Пользуясь критерием Коши, доказать сходи­ мость последовательности

хп — sin 1	+	sin 2	■ ■+	sin п
2		22~		2П

144

Доказательство. Зададимся произвольным е>0 и любым натуральным р и попытаемся отыскать такой номер N, что­ бы неравенство n> N влекло за собой справедливость нера­ венства

		I хп — хп+Р I <8.				(Б)
С этой целью	решим неравенство		(Б)	относительно п:,
sin (п -И)	.	sin (и +2) .	+	sin (n 4- p)	< 8.	( B )
2"+і	'	2Я+2		2n+p

Неравенство (В) будет верно, если.будет иметь место нера­ венство

1	1
2п+і + 2П+2 + •		2П+Р	< 8,
откуда			< е;
1		+ 2Р-
2п+і
1			(Г)
2П+1

Неравенство (Г) будет верно, если будет справедливо нера­

венство — <е,	из	которого	2п > — ,			n>log2 — .		Положив
2Л				Е		Е
y = £ (Io g a— ),	мы должны		заключить,что				неравенство		n>N
Е		неравенств		(Г)			1	за	собой
через посредство					и' (В), влечет
справедливость неравенства (Б).
Итак, для любого е>0 и любого натурального р всегда
существует номер N —E(\og2~				)	такой,		что \хп—x„+p|< s

лишь только rC>N. Это означает, что данная последователь­ ность сходится.

		Примеры для упражнений
	Б е р м а н №№ 189, 216—220.
87,	Д е м и д о в и ч №№ 58—60, 62, 64, 66, 77—80, 82, 84, 85,
	88,	637—639.

10-2518

145

18. Задача о вычислении прибыли по сложным процентам

Рассмотрим применение теории пределов для решения задачи о прибылях по сложным процентам. Пусть в сберкас­ су положена сумма SQ рублей.

1. Рост суммы по простым процентам. Сберкасса обязует­ ся выплачивать р% от суммы S0 каждый год. Тогда за один

год вкладчик получит	прибыль	рублей. За t лет при­
быль будет равна	рублей. Общая сумма, принадлежа­
щая вкладчику по истечении t лет будет равна
= ѵ	( 1 + 100pt	рублей.

2. Рост суммы по сложным процентам, начисляемым каж­ дый год (как в сберкассах СССР). Пусть прибыль на вклад растет из расчета р% годовых. За год сумма вклада станет

равной Si = 50^ l j рублей. Далее проценты начисляют­

ся уже на новую сумму. И так каждый год. За второй год

хранения		вклада	прибыль с			суммы	рублей	составит
S0-f 1+ 100		руб. По истечении двух лет общая сумма, при-
	100
					будет	равна
надлежащая вкладчику,
а по		SaSe(1		1		5°(і + 1Б0~)'р _
			+		^) +	100
		'=		■( ' + 455-)’ рубле4’
	истечении t лет вкладчик будет иметь уже
		St =	S0-(1 +			рублей.
Так, например,			за	5 лет сумма 1000			рублей	из расчета

3% годовых (срочный вклад в сберкассах СССР) вырастет до

Ss=1000- (l + -j— j6= 1000• (1,03)6 = 1159,27 рублей.

3.Рост суммы по сложным процентам, начисляемым каж­

дую — часть года. Пусть теперь начисление сложных про­
га	/

146

центов производится по истечении каждой---- части года из

расчета р% годовых. За первую — часть года вклад возрас­

тет на	рублей. Далее проценты начисляются уже на но-
100-я
вую сумму 50-( 1 + ■ ЮОя				рублей. За		вторую — часть года
		So	1
прирост	составит		ЮОя		руб.	и таким		образом, че­
			ЮОя
2
		года	вкладчик		будет	иметь	сумму
рез -----X части
я
	1 + ЮОя		1+	- ЮОя
So-		+	ЮОя		=	So •	1	ЮОя
В конце первого года сумма, принадлежащая вкладчику,
станет равной

' ’	ѵ (’ + Т55г)“ рублей'
а по истечении t лет эта сумма станет уже равной

			М ' + тю гГру6лей					°
	4.	Непрерывный рост суммы				по сложным		процентам.
	Пусть теперь п-*-		то есть промежутки между моментами,
	когда начинают начислять проценты на новую сумму, неог­
	раниченно уменьшаются.				Тогда, в	каждый момент і вре­
	мени (t отсчитывается с момента" вклада суммы в сберкассу)
	сумма,	принадлежащая		вкладчику,		может	быть вычислена
	по формуле
			nt				1 0 0 л	р і
	S =	lim 5, (1 -f			■lim	1 -f	~~р~ IST
			100л
					/Z-м©		100л
	откуда				Рі
					100			(**)
			S	= 5 0 ■ е

Полученная формула решает задачу о вычислении суммы прибыли по сложным процентам.

10*

147

Заметим, что если бы проценты начислялись непрерывно, из расчета 3% годовых, то сумма 5о=1000 рублей вклада

			3-5
через 5 лет	увеличилась	бы	до 5=1000-е100	= 1000-еол5 =
= 1000-1,16183=1161,83 рублей,			то есть была	бы	только на
2 рубля 56	копеек больше, чем при начислении				сложных
процентов	через каждый	год.

Взаключение отметим, что по показательному закону

(**)в природе протекают и многие другие процессы, как, например, размножение бактерий в благоприятных усло­ виях, естественный рост лесного массива, распад радиоак­ тивного вещества, цепная реакция и другие.

Вопросы для самоконтроля к § 15—18

1.Что называется последовательностью?

2.Как задаются последовательности?

3.Что называется пределом последовательности?

4.Каков геометрический смысл того факта, что последо­ вательность имеет предел?

5.Какими свойствами обладают сходящиеся последова­ тельности?

6.Могут ли члены последовательности совпадать с пре­ делом последовательности? Привести примеры.

7.Единственным ли образом по заданному е>0 можно найти упомянутый в определении предела последовательнос­

ти номер N так, чтобы из n>N следовало			|а„—Л ]< е	(А =
= 1 іта„)?
П—*•»		ли утверждать, что если найден номер		N та­
8.	Можно
кой,	что из	n>N следует \ап—-4|<е, где	Л =1іт ап, то за
			П—*с+
пределами е-окрестности точки А окажется -точно N членов
данной последовательности?			ограниченной?
•- 9.	Какая	последовательность называется

10.Сформулировать предложение о неограниченности последовательности. Привести примеры неограниченных по­ следовательностей.

11.Какая последовательность называется бесконечно ма­

лой?

12.Какая последовательность называется бесконечно большой? Дать геометрическое истолкование.

13.Из того, что данная последовательность является бес­

конечно большой, следует ли ее неограниченность?

14. Из того, что данная последовательность неограничена,

148

следует ли, что она является бесконечно большой? Привес­ ти примеры, иллюстрирующие ответ.

15. Является ли последовательность 1,1,—1,1,4,—1,1,9,— —1,1,16,—1, ..., 1, /г2, —1, ... а) бесконечно большой, б) неог­ раниченной?

16. Какая последовательность называется расходящейся? Привести примеры расходящихся, но ограниченных последо­ вательностей.

17.

Доказать, что

если

lim

= Л > 0 ,

то

П т

а'м1

1.

П->ео

- п+1- — 1

П->ео &n

Следует

ли

из

равенства

П т

существование

П т ап?

18.

В

каком

отношении

находятся понятия

1іт/(х)

и

Пт/(га)? Всегда

ли

из

существования

lim f х)

Х —> ) • °о

следует

Л —*оо

'

X--*

00

существование 1іт/(га);‘ из

существования Пт/(га) следу-

Л -* о о

П - * со

ет существование 1іт/(х)?

Привести примеры, иллюстри-

руюшие ответы.

ДГ—*-j-ec

19.

Как

вычисление

Пт/(га)

заменить

вычислением

тождественного

ему

Л —».со

функции

а)

в

точке

О,

предела

б) в точке 1?.

П т sm п

п

20.

Существуют ли а)

б) Нт

a r c s in

Sin Х,і

п,

в) П т-

где .хп ■

1 + (- 1 )п ?

п

21.Сформулировать теорему о переходе к пределу под знаком непрерывной функции для последовательностей.

22.Всегда ли для раскрытия неопределенностей вида 1

можно пользоваться формулой

		П т ф (п )[Д п )—1]	?
	П т [/(га)]ф(п>= еп_>~
23. В каком	случае	из существования	Нт fin) следует
существование	lim /(я)?	1	П—*°о

24. Какие достаточные признаки сходимости последова­ тельностей вы знаете? Сформулируйте их.

149