книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

Теорема.	Если существуют Ііт/(.ѵ) и iiincp^), причем
		Х ~ ¥ Х 0	X -»Л'о
1іт /(.ѵ )> 0,		Н т ср	(.ѵ)
	то lim [/ (.v)]tpW — [lim f (a:)]*-**«
Докажем	X -*X 0	X-*A'o	lim/ (л:) > 0 выте-
	эту теорему. Из	соотношения
			х-*х0

кает, что в некоторой окрестности точки х0 и / (,ѵ) > 0. Тогда

f(x) = 10 1е/(д'),		а поэтому
lim [/ (л')]ф w =			lim 10" <*н«К*) =				Iim[-J> (дг)■I g	I ( X )I
							10*-*.	=
Х -*Х			X —KXq
l i m cp ( . v ) ' l g l i m / ( x )			l g	l i m	f	( x ) lim cp	( x )	l i m	ф	х	)
	0	Л'- А'°							(
= 10*“**.			= [ 1 0	*-*•		]*—*»	= [lim / (a')]*-*»

(Здесь мы последовательно воспользовались непрерывностью показательной функции, теоремой о пределе произведения и непрерывностью логарифма.) Итак, если пределы основания и показателя степени существуют каждый в отдельности, причем предел основания положителен, то при вычислении предела сложно-показательной функции можно переходить к пределу отдельно в основании и отдельно в показателе степени.

Большую роль в курсе математического анализа играет так называемый второй замечательный предел

_і_

1im( I +x) * Д-.0

(неопределенность вида 1“ ), относящийся к рассматривае­ мому типу пределов. Доказательство его существования чи­ татель может найти, например, в учебнике Н. С. Пискунова «'Дифференциальное исчисление». Этот предел обозначают буквой е. Оказывается, что е — число иррациональное и трансцендентное (то есть не являющееся корнем алгебраи­ ческого уравнения с рациональными коэффициентами). Вы­ числения показывают, что

е=2,718281828459045...

Число е принимают за основание так называемых нату­ ральных логарифмов, для обозначения которых используют специальный символ ln: lna = logta.

Натуральные логарифмы по сравнению с прочими обла­ дают рядом преимуществ. Многие формулы, содержащие логарифмы, выглядят проще, если за основание логарифмов взято число е. В дальнейшем читатель убедится в этом (см., например, формулы 8 и 9 на стр. 98).

80

Перейдем теперь к рассмотрению способов раскрытия неопределенностей вида 1 ~, то есть будем рассматривать пределы вида

Х - * Х 9

где limf(х) —1, linwp(x) = оо.

Х - > Х 0		Х ~ > х 0	функция	f[(x)]?W.	Если 1)	lim/(л:) = 1;
Теорема. Дана
2) 1ітср(Х)	=	3)	функция f(x) в некоторой			Х - * Х 9
						окрестности
х^-ха						существует
точки х0 не принимает значений, равных 1*); 4)
конечный	или	бесконечный		предел	\imq>(x)-[f(x) —1],		то
справедлива формула					х —*х0
		lim	[f(.v)]<pW=	П т ф (х) - [/( х) - 1 ]
				е*-А'°	*
„						t _1_
Доказательство.			Используя формулу П т О + я ) * = е				и
					.Г-.0

возможность перехода к пределу отдельно в основании и от­ дельно в покавателе степени, выполним следующие преоб­ разования:

lim	[/(а)]4’**) —П т [1+	(/(а') —1)]Ч'М =
Х - + Х 9	Х*+ Х0	1
es lim {[1+ (/(*) — 1)]К*>-І]*С*НК*)-11 =
	Х - * Х о
(здесь уже использовано третье		условие	теоремы: f(x) =£ 1
в некоторой	окрестности точки	Хо).
	1 limq>(.v)[/(.v) —1]		1ітч>(д;)[Нл:)—1]
= {lim [1+ (f{x) - 1)р )-і}*-'°			= ех~*х°

Х-+Х%

(Предел, стоящий внутри фигурных скобок, вычисляется за­ меной переменной: f(x) —1=й. Так'как при х-*-х0, f(x)->-1, то при х->-Хо и-+ 0. Кроме того, для х=£х0 и иф 0 по край­ ней мере в некоторой окрестности точки Хо, а тогда примене­ ние теоремы о пределе сложной функции приводит к резуль­ тату

	1	_і_
lim [1+	1J]«*)-1= lim ( l+	и) “ = e).
x - * x t	и - 0

Теорема доказана.

* За исключением, быть может, самой точки х0.

6-251S

81

З а м е ч а н и е . Третье условие теоремы можно заменить следующим. Функция f(x) должна строго монотонно стре­ миться к своему пределу 1. В этом случае автоматически обеспечивается ее отличие от 1 в некоторой окрестности точ­ ки *0, за исключением,- быть может, самой точки х0. Разу­ меется, с такой заменой условия 3 теорема становится менее сильной, но зато легче проверяется выполнимость ее ус­

ловий.

I

Рассмотрим примеры.

_і

Пример 1.

Вычислить

lim

[ф(д:)] ^ ,

■

х->0

где ф (х) =

Ije|, если

|; е |>

1

1,

если

1л: ] <

1

Р е ш е н и е .

Поскольку в интервале (—-1,1)Ф(л^) — 1, то

в этом

интервале

и [ф (jc)] Л = 1

( jc =7^=0).

_1_

Следовагельно,

1іт[ф(;с)]* = 1.

ж-*0

1

kx

Пример 2.

1 im (1

kx)x =

lim —

e *-*0

X — pft

X‘>0

1 im (l-f1ctg*A:)3tg1*

Пример 3.

lim (l+ 3 tg 2x)!+ct*,A: =

e*^° -

x-+Ö

lim (3tg, :c-j-3)

= ex~°

— e3.

Пример 4-

—

Hm —

=

e.

lim xx~l =

e*“1x~1

cos*—1

-2sin»

- f

Пример 5- lim ( cosa:)

lim

lim

= e

x~°

x’ = e x-o

x-~0

Iim

„

.

V

sinjc

V'

sin X

_

/ J _

*->-0 [л—sin*! x

Пример 6. lim/-------J

=

—lim

■

*

=

e

Пример 7,

l

i

m

1=

oo (неопределенности нет:

( І Г Н

82

Пример 8. l i m ' 1V*43)13 ^(неопределенности нет:

\ Зя—1/

(ІГ = 0).

Мы видим, что вычисления с помощью формулы (*) до­ вольно просты. Однако читатель, чтобы избежать излишнего формализма, должен научиться вычислять пределы «типа е» не прибегая к формуле (*). Для этого в каждом конкретном случае следует повторять те выкладки, которые делались

для вывода формулы (*). Рассмотрим пример. 1_

Пример 9.

Вычислить lim f

smJC ■)

“ не прибегая

к фор-

муле (*).

\

sin а /

,

1

__і__

г-,

lim

I sin* \х -а

= lim

г

sin X — sina"|*-“

Р е ш е н и е ,

-------

1ң---------------- =

х-ret \

sin а /

х-ю. L

sin а

J

1+

sm X — sin а

sin а

simr—sina

lim

sin*—sina

= lim

sin*—sina I sina(*—a)

e *_a 5ІПа(л:-а) —

sin а

x~*a

lim ----- -

x+a

■-----«lim

о

x4-a I

_Z_•cos —----

—- g x-*a sina

, sina As+a

2

1 —

= esina

• _L

:eetgae

2

Примеры для упражнений

Вычислить

пределы:

і

где

Где2,

если I X I >1

;

1. U m [ l+ q > ( * ) ls

Ф( * ) = {,_

если ^

_1_

2. lim(l + lnoc)^;

3.lim (1+ ^ (ответ: е2*;)- *-+0

	X
4. lim	2 (ответ: elü);

6*

33

		?
	1
	1
	!Cosec33.v	1
		18).
	8. lim (cosx)coscc33v (ответ: е
	Б е р м а н №№ 363, 364, 397, 399—401.
	Д е м и д о в и ч №№ 506 (а,	б); 517—524, 526, 544, 545,
	ссо
	556—558.

Вопросы для самоконтроля к § 8-10

1.Как читается теорема о пределе сложной функции?

2.Для чего в теореме о пределе сложной функции нужно условие, чтобы внутренняя функция ф(х) в некоторой ок­ рестности точки х0, за исключением, быть может, самой точ­

ки Ха, не принимала значений, равных своему пределу в точ­ ке *о?

3. Может ли функция y = /ftp(x)] иметь в точке х0 предел, если в этой точке не имеет предела функция ф(х)? Привес­ ти примеры.

4. Как читаются теоремы а) о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, б) о непрерывности сложной функции? Как они выводятся из теоремы о пределе сложной функции?

5.В чем состоит метод замены переменной, применяемый при вычислении пределов? Всегда ли он применим?

6.Какой предел называется: а) первым замечательным,

б) вторым замечательным? В чем их «замечательность»? 7. Существуют ли

JC-0	. 1
	X sin —
	X

V

S4

8.	Можно	ли для вычисления			предела
		l i m	.	1
		х~о
			a-sin —
				я
				.	1 .
сделать замену переменной u=A>sin — ?
					X
9.	При каких условиях имеет место формула
				1іП1 ср*Сл;)[/=(а) — 11		'
		l i m [ / ( а )]ф(л:) = е х~*х°
		х-ха
позволяющая		раскрывать	неопределенности			вида 1“ ? Для
чего	нужно условие f(x)^= 1 в			некоторой окрестности точ­

ки х0 (за исключением быть может, самой точки х0)? Где

оно используется при доказательстве									соответствующей		тео­
ремы? Сколько раз?
10.	Существуют ли							1
				j_
а) lim [1+		ср(х)]-г; б)				lim (I + ср(х)] “'’’Л .
где ср (х) =		А'2—1,			если	I а I	> 1	?
			0	,	если	I а' I	<1
’ .11-	Существует				ли lim fl + а--sin — Ң- ?
					л :-0 \			X	]
л	п		1	-	іп (і -і-а)			ех —1	(1-f*)“ — 1		и к
9.	Пределы			lim	— -— —- ,		lim ------,		lim ->	------
				Х-+0	X		Л'—0	X	X-+Q	X

ним сводящиеся.

Вычислим перечисленные в заголовке пределы (заметим,

о , что каждый из них дает нам неопределенность вида —1

1) Для вычисления первого из этих пределов заметим,

		_і
что іп(і +а) =		]п (1 -j-jvr) х, откуда,,	в силу непрерывности ло-.
гарифма,	имеем
lim	1	— Hm 1п(1 -)- л') * =	ln lim (1 -f *) * = Іпе = 1.
* ~ 0	X	x-+Q	*-*-0

85

2) Для вычисления второго предела	положим	у = сх—1.
Так как при
х ^-0 у ->0 и л; = 1п (1 + у), то lim е-ѵ-1	= 1іт	= 1.
.ѵ->0 *	у-* О ІП(1 + І/)

3)Для вычисления третьего предела умножим числитель

изнаменатель дроби на «Іп^+л:) и разобьем предел на про­ изведение двух

	(1+.ѵ)а - 1	lim	(і-ь лг)“ — 1 ..	« - і п ( і т х )
lim — ■—------- =			1— --------lim -------------- .
Л.-Ч-0	X	x~0	а ln (1+ x) Л.--0	X

Второй из полученных пределов равен а, а для вычисления

первого-прлагаем	у —(1 + х )а—1. Так как		при х->-0 у-э-0 и
aln(l +x) = 1п (1 +у), то
lim	(1+ж)*	■= а > 1іт	—а.
*-<•0		«-о 1п(і + у)

Покажем теперь на примерах, как использовать ■полу­ ченные результаты для вычисления более сложных пределов.

Пример 1. Вычислить lim	log°---- --- .
х ~ 0	X

Р е ш е н и е . Перейдем от логарифмов по основанию а к натуральным логарифмам, после чего положим kx = y. Учи­ тывая, что при я -»-0 у-*-0, будем иметь

lim	loga(l-rfo:)			,■	ln(l-l-fex)				1н (1+У) _
	аv — - =			lim ----—— — = lim
о				л:—1		Х -ІП Ц		Ѵ-0	У .
								—— -1п а
			к .. Іп(1+г/)					к
		------ lim — — — =					------
			Ina	І/-.0		у	,	In а
Пример 2.
	lim			Vе		lim	b	j -1
								X
	Х->|					*-0
		xln —			,	a . 1 •	.rin -		, a
= limft-Mim		e	* —1				e	— I
		----------=			ln — • l i m-			----= ln — .
x-Q	*-*0	•	X			b x~o		а	b
							Xln —
								0
Пример 3. lim 1оУГ-						lim ( Ц -		X)	10
						#-*o

86

Пример 4-

Пш

ln cos*

— Hm

ln [ l+ ( c o s ^ - l) ]

_

x-*0

X2

x - 0

X2

, — 2sina —

= lim .^ +

^

- ^

-.iim

- ^ Y l =

Hm----------- 2-

x - 0

COS X — 1

x-+0

X2

x-0

X2

1

П р и м ер

5-

ex- — c o s X

e** —1+ (1 — cos л) _

lim

lim

x - 0

jë»

x - 0

Xа

— lim

e * * - l

, lim

1 — COS X

= l + f = l , 5

x - 0

*

x - 0

X

П р и м ер

6-

lim

V

l +

a x - V l + ß x - f

_

x —0

I

-*

1 -

ß

T

;

Y

i +

' / \-\-ax

=lim \ тУ 1+ ax

x- 0

— lim my \ -f- ax-			lim
x - 0			x—0
= 1« ! ^			. - 1			lim	V T + 1
	x-Q		X
						X-+0		1
			1
= ß ■lim -ü ± ß-x)-					— а • lim			nt
							ax
	X - + 0		ß*			*-o
		_	ß	+	— =	an + ßm
			n		m	am
П р и м ер	7-				\
Um	=	Hm ! Г ! Г - 8-У. + »)					lim 3 -Mim ( - — -) =
e-0		X-+Q					x - 0	x - 0 \ X J
	=	ІпЗ-lim			^ 11- —1 )■ = in . 3.
		(		x-o	*ln3

87

Пример 8. Вычислить l i m/ l nx- t g----

						лг-Ы \		2х
Р е ш е н и е .			Здесь неопределенность						вида		0 • эо. Введем
новую переменную х= 1__Так							как	при х-+1,			у-*-0, то
				д+1			У+ 1 ■tg			я(</+1)
	jt—1	\		2 X /	у	- *о
											]=
	lim	( lnX■tg -^ -)			=	limHi	ln-	1
				= lim [ln (y + 1)-ctg-^-1 =
				tf-o				2 J
		HmfiUÖLtil. . - Л ----- cos-2*1 = A .
		y-o	L	У		.	ny	2	J		я
				Примеры		для	упражнений
Вычислить пределы:
)	Пт	ctg -V
		ъг .- 2 х
1) Пт ( Ѵ Т -			-1
2)	лг-2	ln cos ях
	Пт e a r c s i n л- _j_ s i n 2 x .
	л-0		sin 3x
4)	lim -n ,			--- ;
3		1— cos ln cos Ix
	л-о	/ 2n+ X4 —2
5	ПтГlnJt+1			ctg 2я
)
	л~2 [_
Б е р м а н №№ 365—375, 398.
Д е м и д о в и ч				№№	531, 537—542, 547, 549, 550, 563.
10.	Односторонние пределы,						односторонние				бесконечно
	большие, односторонняя непрерывность. Разрывы
Пусть		функция f(x)'			определена			ң интервале (а, Ь), где

а<Ь. Требуется выяснить, к чему стремятся значения функ­ ции при х-+а и х-*-Ь. Особенность поставленного вопроса состоит в том, что X может стремиться к а лишь с правой стороны, а к Ь — лишь с левой. Для четкого ответа на него Еведем следующие определения,

88

1. Число А называется пределом функции f(x)						в точке и
справа, если для любого		е> 0 найдется 6>0 такое, что для
всех X,	удовлетворяющих		неравенству		а < х < с + б,		будет
справедливо неравенство		\f(x)—А|<е*-
Предел функции /(х)		в точке а справа называют также
правым пределом функции f (x)				в точке а и обозначают од­
ним из символов
	1іт /(х )		или	/( а + 0).
2. Число В называется			пределом функции f(x)			в точке Ь
слева,	если для любого е>0 найдется б> 0 такое,					что	для
всех X,	удовлетворяющих		неравенству		b—б<х<Ь,		будет
справедливо неравенство \ f(x)—В |< е.					называют также
Предел функции f(x)		в точке b слева
левым	пределом функции		f(x)	в точке b	и обозначают од­

ним из символов limf(x) или f (b—0). x->b—0

Таким образом, можно писать: А = 1іт’/(я); ß = lim/(я).

х—»a-fO .v-»-ö~0

Определенные таким образом пределы называются одно­ сторонними.

3. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке а справа, еслщдля любого М > 0 найдется б>0 такое, что для всех X, удовлетворяющих неравенству а< х< а + Ь, будет справедливо неравенство \f(x) \>М. В этом случае пишут

1іш /(х)=со.

х->аЦ-0

Аналогично дается определение бесконечно большой сле­ ва. Советуем читателю сформулировать его.

4. Функция f(x) называется непрерывной в точке а спра­ ва, если

lim f(x) — f(a).

х-+а-\-Ъ

Аналогично дается определение непрерывности функции в точке а слева. Справедливы утверждения.

1. Для того, чтобы функция f ( x f имела предел А в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке оба односторонние предела, равные А.

2. Для того, чтобы функция f(x) была бесконечно'’боль­

шой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы Umf(x) =

х-’Хо—0

= со —Um[(x).

X —» X o - f O

* В самой точке а функция может быть определена или неопределена.

89