книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

4) Так как неравенство (III) при х +х0 влечет за собой справедливость неравенства (I), а неравенство (I), при усло­

вии и —ф ( я ) ф «о	(которое у	нас выполняется) влечет за со­
бой справедливость неравенства (II) и (IV), то			можно сде­
лать следующее	заключение.	Для любого е>0	существует

6>0 такое, что для всех х =j=Л'0 и удовлетворяющих неравен­

ству \х—Хо|< 6 справедливо неравенство	|/[ф(,ѵ')]— Л |< е .
А это и означает, что
Ііш Яф(л:)] = Л.	(V)

Теорема доказана.

З а м е ч а н и я . 1. Как следствие только что доказанной теоремы может быть получена теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции (теорема 4 § 5). Пусть дана сложная функция г/ = / [ ф ( х ) ] . Е с л и функция и=хр(х) в точке х0 имеет предел, равный и0, а функция y=f(u) непре­

рывна в точке ы0= 1 і т ф ( л : ) , то

л-*х0

l i m /[ ф( .ѵ)1 = / ( 1 і ш ф ( . ѵ ) ) .

X - * X q X~+Xy

Действительно,	поскольку lim/(a) =f(u0), то внутренняя
функция и= ф(х)	u -» « o
	может принимать в любой окрестности точ­

ки А'о любые значения, в том числе, равные и0. А тогда, на

основании теоремы о	пределе	сложной	функции,	имеем
l i m / [ф (х)] =	l i m / (и) = /( и 0) = / [ 1іт ф(я)],
Х - ¥ Х о	U - * U 0		X-+XQ
что и требовалось доказать.
2. Теорема о непрерывности		сложной	функции	(теорема

2 § 5) может быть получена как следствие теоремы о пере­ ходе к пределу под знаком непрерывной функции. Действи­

тельно,	если функция	и — ср(х) непрерывна	в	точке	х0, а
функция	«/=/(«) непрерывна в точке ио=ф(*о),			то
	1іm / [ф (я)] = / [ l i m ф(л')] = / [ф (а'о)],
	X^Xq	X-bXQ
откуда и следует непрерывность функции */—Яф(я)] в					точ­
ке х0.		чтобы функция и = ср(х)
3. Требование того,				в некоторой
окрестности точки х0 не принимала значений,			равных и0) су­

70

щественно, так как отказ от него может повлечь за собой несправедливость теоремы. Рассмотрим, например, функцию

У =

^2 _J

и = ф (х) ■

X I

, если

I

X I

>1

----- -, где

1,

если

I

X і

<

1.

Очевидно 1ітф(х) существует и равен

1.

Существует также

' А--Ч)

^

= lim (u + 1) = 2.

Но в

интервале (—1,1) зна-

и Ііш----------

U-+1

и-- 1

«-»1

совпадают с ее пределом в точке х = 0.

чения функции ф(л:)

Ввиду

этого функция у — —т

— — оказывается

неопреде-

f(x —1)

в точке х0 = 0

ленной в интервале (—1,1). Поэтому предела

она не имеет.

в точке х0 даже

4.

Функция Яф М ] может иметь предел

в том случае, если функция и=ср(х)

не имеет предела в точ­

ке х0.

Пусть, например, дана

функция y = sin —, где и ——— •

и

s i n л :

Функция

и=------ не имеет

предела в точке х — 0.

Однако

функция

s

i n X

определенная

для

всех х =£=nk(k=.

г/=/Тф(*)],

= 0, +

1,

± 2,...) и имеющая для этих х

вид: y = sinsinx, имеет

предел в точке х = 0, равный нулю.

Огромное

значение доказанной

теоремы

состоит в том,

что она оправдывает так называемый метод замены пере­

менной при вычислении пределов. Пусть, например, требует­

ся вычислить 1іт/[ф(л:)], который невозможно или трудно вы-

л-->л-0

положить

числить уже известными средствами. Мы можем

а=ц>(х). Если

1ішф(л:)=«о и

условия

теоремы

о пределе

■ѵ-м-о

то справедлива формула

сложной функции выполнены,

1 і т / [ ф ( . ѵ ) ]

= 1 і т / ( м ) ,

( V I )

X - * X q

U - *U q

которой часто пользуются при Вычислении пределов. Разу­ меется, предел lim/(ы) должен вычисляться проще исходно-

Н -Ч‘ о

го. В противном случае описанный метод ничего не дает. Рассмотрим применение этого метода па примерах.

Пример 1. Вычислить

* - > і

х й — 2 x 3 - l n X + l n 2 * — 4 , v 3 - j - 4 1 n X + 3

71

Р е ш е н и е . У нас неопределенность вида -^-.Замечая,

что знаменатель после группировки членов преобразуется к виду

(.Vs — In л')2 — 4 (.V 3 — In х) 4- 3,

мы можем упростить выражение, стоящее под знаком пре­ дела, сделав замену переменной

		U — X? — In Л'.
Так	как	«0 = lim(x3—Іпх) = 1 и существует окрестность	точ-
ки	х=1	Л'-П	(кро­
		(например, |.ѵ—11<0,5), для всех х которой
ме х=1)		X3—Іпх ф 1 (рекомендуем читателю в этом	убе­
диться),		то применение формулы (VI) допустимо и преоб­

разует данный предел к виду

Ul l i ——

— .

и-*і и 2 — 4 и -|-3

Следовательно,

имеем

а--и

.V0 —2.ѵ3-1пл: +

1п2.ѵ — 4л3 -}-4.1па'+-3

,.

и — I

и — 1

..

1

1_

= li m

------------- =

11 m -------------------=

11 m -------

2

и->1 и2

іи

( и —

3)

и-> и —

—

4 -3

u-> I

1) (к —

29—X

_21

3

Пример 2.

Вычислить

lim —---- 1------ .

а—>з

X—3

Р е ш е н и е .

Здесь неопределенность вида-^-. Спомощью

замены переменной мы можем привести

выражение,стоящее

под знаком

предела,

к

рациональному

виду.

Положим

ЪѴ 29 + х —2= і/.

Тогда

х = ( у + 2)5—29,

а знаменатель

-V—3 =

(у + 2)5 —32.-Так как у0 = lim ( s[/ 29-|-.v—2)=0, и для

X 4=3 у 4=0, то

X-*■3

, .

V 2 9 + X - 2 У

lim —------------=

li m

д г - * 3

і/-> 0 (у -т-2)5— 32

= lim ■

У

У- о

Уъ+ Ш

+ 4 0 з - 3 Н -80^ 2 4- 80jy

4 - 3 2 - 3 2

_

1

_

— “

" о

у4 + 1 0 /

+ 4 0 # 2 +ВОу + 8 0

_ ' 80

72

Пример 3. Вычислим теперь способом замены переменной предел, уже вычисленный в примере 8 §■3:

lim

1 V 1— хп 1— х "

Мы увидим, что этот способ быстрее приведет нас к цели. Положим х=1 +у. Так как у Ф 0 при х=£ 1 и так как при -V-*■ 1 у -> 0, то мы будем иметь

lim	п		= lim	п		т
	\ 1 — х "	1- х '
			у-*о	1 - ( 1 + - у ) п	1 - ( 1 + < / Г
lim		— п		,	т
				ту+ т ( т — 1)		• • +уП
о
					2!
		пт (т — 1)		— пуп
	- т п у - ----------- ----------- Уа - .

—lim

у-*о

п(п—1)			'
П+ ■	2!	1 у + ■ . . -Ку"-1 X
		тпу	' тп {п — 1)	+ туп
			2!
		X	т (т — 1)	у +
			т Н--------1------------
			2 !
	т п{ т —\)		т п ( п —\)
				п — т
		т-п

		VХ-\ -1	• 1 - 1
	Пример 4. Вычислить lim	х—1
		4 - Vх~ \ -1	- 2
	х-*2
		х-2

Р е ш е н и е . Положим 4-			/ х - 1	- 1
			х -	2
л	/ х — 1—1	,	х - 2
4-lim —----------- = 4 -lim •
х - 2	X—2	х->2 ( х — 2 { / X — 1 + 1 )

■-у. Так как у0 =

= 2 и у

при

хф2, то данный предел преобразуется к следующему

lim / у - і -1

у->2 у —2

73

Примеры для упражнений

Вычислить пределы:

,

,.

л2 -4 9

(ответ

24);

I.

lim

х-*7 V 7 X + 1 5 - 2

2.

lim

( V 1 +ле_л • sin X — Y 1 —хе~х ■sin х ) ел

(ответ 1).

л-»0

X •Sin X

/

-

7х -6 *

3.

lim

V

л2 — 5.Ѵл+ 6

(ответ—2)

2+

х-*2

5*2 - 7 х

- 6

VX2 —5л + 6

ял

ял

4.

lim

sin'

— 3sln

■+2

ответ —

ЗТ X

у I)

Л Х

\

8

2

sin2----- —lOsin------ +9

4

4

i t 2* 2 — 4зт.ѵ t g — + 4 t g 2 — — 5 я л + 10 t g — + 6

C

1 •

X

X

X

5.

lim ------------------------------------------------------- -

4

1

1

1

■*-* — я 2л 2 — 4 я л t g — + 4 tg 2 — — 1 2 я * + 2 4 t g — + 2 0

ответ

— .

I

8

о

,•

V l + 127jc-2

/

ответ

3 3/ T

o.

lim

------— 1-------------- ;

y-n

Я- Г-___ ___■■

* Q_

Г—

1

1

28

syr і + 127я — 8 3|^2

'

\

7.

lim [------ ——1 =

I

ответ

m ( \ - mVx) :

Ln (I—V X,)

I

2nm

8.

lim

aV — xq

(ответ

со).

x-rn

\ aP — xP

о

1 ■„

x—1 —1

/

ответ

m \

.

9.

lim ■■'r>__- —

—

x->2 m V x - i - 1

\

Кроме того, советуем решить: Б е р м а н №№ 299, 302, 304.

Д е м и д о в и ч №№ 426, 444, 446, 452, 454.

74

7. Вычисление пределов, содержащих под своими знаками тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Первый замечательный предел

Предел lims!n х. называют первым замечательным преде-

Л.--.0 л:			анализа доказывается,	что
лом. В курсах математического
1	*	si n X	<	/ л ч
	1lim	-------=1.		(А)
	.ѵ->0 X
Наряду с формулой (А)		следует помнить формулы
	lim	sin ах	= а	( Б )
		X
	лг-0
	lim ■ sin ах		а	( В )
	л:-*0 Sin bX

которые выводятся следующим образом.

Для вывода формулы (Б) делаем замену ах=у. Так как

при X -> 0 и у	0 и, кроме того, y=h 0 при						0 и а=£=0, то
при а і=0 имеем
lim	sin ах	,.	sin у	=	..	sin у
		= l i m -------—			а - l i m -------— = а.
д?-ѵо	X	о	у		у-*о у
			а
При а —0 справедливость формулы						(Б)	очевидна. Форму­
лу (В) получаем так:

sin ах

lim

дг—>0 sin Ъх

	sm ах	sin ах
	-------X	lim--------	X	_0_
lim		__ У->0
		sin Ъх		Ъ
д:-*0 sin Ъх
	-------	lim ---------
	X	х-*0 X

Очень часто пределы, содержащие под своими знаками тригонометрические функции, сводятся после преобразова­ ний к формулам (А), (Б) и (В). Однако при вычислении пределов некоторых тригонометрических дробей неопреде­ ленность удается ликвидировать после сокращения дроби. Рассмотрим примеры.

Пример 1.			"
2 х —3sin;c	X — «J	X	Л — о 1 і іи	ЛГ-.0	X	2—3	1
	l i m
l i m --------------------------------		sin je	- ---------------------------------=			---------- =	— .
v-jf, Бх —7sinx	A--.0 _		„	.	sin*	5—7	2
	5—7 --------	X	5—7 lim		--------X
				» 0

75

Пример 2.				sin X
					■—sinx
. .	tg А' —SinX		- lim •	cosX
lim — -------------					sin	7x
x+o	x-sin5x-tg7x		x —> 0	. _
			X	• sin o x	• cos	7X
	lim	sin X	1—COS X		cos7x\
			siri5x-sin7x		cos X
	. v - 0

, ■	sin .V' ,.
— lim	--------lim
x - » 0	jt-.o
1

	2sina —
cos7X	lim ----	2
cos X	*-o sin5x-
	sin7x
1

			X				X
	sin—					sin —				1	1
-2 lim	---------- lim ---------								=2 -
*-.0	sin		5x		*-*o	sin 7x			10	14	70
			2				2
Пример 3. Вычислить lim								sin xn
						.v-0		Sin,n.v
Р е ш е н и е .		Рассмотрим случаи
1) n = m. Тогда				lim		— = lim				sin7)1
				jc-o		sinn X		*_*o
							sinx n
						lim ■		x n
						*-o			= 1.
						lim	sinX \ n
						v->0
2) n>m. Пусть n= m + k, где k>0. Тогда
			Иm		ЭІІ1 Ar		— lim		m+k
				---------					sinx'
			x-И)		sinm X			x - * 0	Sin"
=	lim [ sin^ ” -					. (—Z— Y			•**] = 1 -1 -0 = 0 .
	x-*0 L Xm+k					\ sinx j			\
3) n < m. Пусть n + p — m, где p >Q. Тогда
			lim -		sinxn		_ lim		sinxn
			JC-0		sinmX			A'-+0	1ntP;
lim			sin xn		. (	*		' n+p	j =	1 • 1 0 0 = 0 0 ,
	*-*o		xn		\	sin X		>)	xP

76

Пример 4.

lim		cos 2x	lim		COS“ X — sin-x
	sin X 4 - COS X		x~*	к sin X 4 - COS X
Х - +	7			T
	=	lim (cos* — sinx ) = y r2~.
Пример 5.	ВычислитьПіт			sin X
			Зк	Sin 6.V

0

Р е ш е н и е . Здесь неопределенность вида — . Формула

(В) неприменима, так как х стремится					не к нулю, а к Зя.
Делаем замену переменной у — х —Зя. Так						как при ді-і-Зя
0, у фО при л: ^ З я , а. х = у +3я, то					имеем
lim	sin X	,.	sin (у +3я)	..	— sin у
	sin 6x	= lim	—	- — hm ■		}
		у—10	sin(6y+ 18n)	у.,о	sin 6y

Пример 6.

lim cos ax — cos bx j:-*0

b	a	Ь — a
2-sin •	— .V'Sin — - — X

=lim- дг-»0

	sin-		sm -
=	21 im	■lim •
	j:-*0	Jt-t0	X
	=2 b + a		b * - a 2
Пример 7.	Вычислить lim		TtX	(p ф 0).
		( a —p )-tg ----
	л-->р		2p

Р е ш е н и е . Имеем неопределенность вида 0-°о. Пола­ гаем X — р — у . Тогда х — у ф р , причем у ф 0 при .ѵ Фр, а при х^-р у-*-0. Следовательно,

lim (х —p) tg ~ ~ — lim [ y-tg я(>' + р).1 -

X-*р 2р у-о L 2р J

— lim	_ +	_5L')1 =		lim
и-о			/J	у->о
	■lim /-	2р ,
		У	•cos —— ____ 2р_
				ли
	»-о і .	пу		2Р	Л
	sin	-----
		2р

77

Пример 8.

1-j- tg je—1

lim

**>/" 1 -f- tg А — 1

1- f t g А

+1)

,v->0

s in 3a

i ' i o

s in 3.A-

( Y (1 ~ t g А)2 +

Y

= lim

1

1

COS .V

У

О Т

tg x ) 3 -b

Y l

+

tg А + 1

*-»o V s in

3.V

— - 1-

1

1

3

3

Пример 9.

Вычислить

lim-

c o s (1 —

c o s x)

x+0

0

Р е ш е н и е , Здесь неопределенность

вида — . Умножаем

числитель и знаменатель

на

(1—cosx)2

и разбиваем

предел

на произведение двух

l i m

1— COS (1— COSA-)

l i m

1— cos (1— cos а)

(1— COSA)3

------------- ---------------— =

------------------------—

— - l i m

-------------—-

*->0

A—>0

(1 — c o s a )2

x—*0

В первом из этих пределов делаем замену

1—cosх = у. Так

как при лг-э-0

и //->0, то

cosy

1— c o s (1 —

c o s а)

. .

1 —

. .

(1 —

COSA)3

lim --------- ---------- - =

lim -------- - • lim —--------- — =

A-.0

A1

i/->0

tj-

a-»0

A*

2 - s i n 2

. . , X

4 s m 4 —

— lim ■

•lim

2

= 2- — .4 —

= —

i/-»0

а -»О

4

16

8

К формулам (А), (Б) и (В) сводятся и пределы, содер­ жащие под своим знаком обратные тригонометрические функции. Чаще всего обратные тригонометрические функции принимают за новые переменные.

Пример 10. Вычислить lim atcsitl ^х- .

	X —>0 А
Р е ш е и и е.	Здесь неопределенность вида —. Полагаем
	о

arcsin3x —у.	Так. как х —— sin у,			а
		3
	l i m	arcsin За		У
		---------------- — lim
	А->0	А	у-*о
			- f s i n
Пример 11.	В ы ч и с л и т ь lim		a r c tg За
		*-*о	tg 5а

при х- -0 у ->0, то

= 3 .

y

78

Р е ш е н и е . Умножим числитель и знаменатель дроби на

Зх и разобьем предел на произведение двух
lim	---- 5—	= lim	----- -—	lim ----------	=
x-»0	tg 5x	*-*0	3.V	ЛГ-.0	tg 5x

Второй предел прост, а в первом делаем замену переменной arctg3х= у. Так как при х -»-'0 у —>0, а 3x = tgy, то данный предел

= lim —		lim —Зх	= lim (—-— -cosy\ X
y-*o	tg у x-*o tg 5x			у.,о \ sin у			)
	X lim f		• cos 5x ) =			— .
Пример 12.		,r-o V sin 5x			/ 5
		_________			_____
		V 1+ arcsin 3x — Y 1— tg2.v					_
*->o		3K 8+ sin X — 3^ 8 —arctgx
	>/l + arcsin 3x — 1			_	V 1 — tg 2x — 1
= lim	_____________________ X_____________ - ________________________ X_______________
A*->0	ЪУ 8 + sin X —2 _			3У 8—arc tg x			—2
		X				X
lim	/ ! + arcsin3x—1			_	Hm /	1 - tg2x —1
A --.0		X		x-0		X2*
lim V		8+ sin X —2 _ ljn,			V 8 —arc tg x -2
x-tO		X	A--»0			X

Далее все четыре предела вычисляют отдельно. Вычисления приводят к ответу

= 15.

2 ‘ 24 +2> 24

Примеры для упражнений

Б е р м а н №№ 314—349, 387, 388, 395.

Д е м и д о в и ч №№ 478, 485—494, 496—498, 501—504.

8. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей вида 1”

Мы переходим теперь к рассмотрению способов вычисле­ ния пределов от сложно-показательных функций вида tf(x)]*<*>. Справедлива

79