книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

со до 0, а в промежутке (— эо, 0) убывает от 1 до 0, мы с учетом результатов, изображенных на черт. 33 и 34, модем построить график функции. Он изображен на черт. 35.

		+	X . Данную функцию удобнее записать
		х — 2
	в виде у =	.* + 1,	а > 2
		' А— 1,	А < 2 .

Здесь х = 2 — точка разрыва 1 рода, так как оба односторон­

ние предела		данной функции	в »той точке существуют:
1і і п / ( а ) =3, 1ігп/ ( а ) = 1. Скачок			функции в точке разрыва
-V—> 2 + 0	X—>2—0
d = 2.	График функции состоит из двух «полупрямых», изоб­
раженных на черт. 36.
тіт	/ \	V 1 + А — 1
ІИ-	ф(*) =	5------•

120

1)	Функция		определена		в	промежутках		— 1 < л < 0 ,
0 < х <со;		X = 0 — точка разрыва.
04	'Г	как	' У 1 + Х - 1				1	1
2)	Так		lim ———------ =			lim —-——------ = —г , то в
			.ѵ—* 0 ± 0	X		.V—* 0 + 0	у I - f - X Т* 1	2
точке X = 0 — устранимый разрыв (I рода).
3)	Скачок функции			в точке -х = 0			d =0.
4)	Положив ф(0) =			-^-,	мы доопределим			функцию

Ѵ \ + х ~ \

X	в точке.л* =0 так. что теперь функция

Ф ( а-) =	+ Xх — 1	> X ¥ = 0
	1	,	X	= 0
	2

1 )/ң Т + 1

будет непрерывна во всем промежутке —1

5)Выясним поведение функции при х-*со. Так как

данная функция		не определена			в промежутке (—со, 1),
то lim. ф(х)	не существует;
Х-+ — оо
lim ф ( а' ) =	lim	■- ,	— =0.			і
я—»-Ь®3		1-рХ 1		функции ф(х)		прих - ѵ + с о
Отсюда следует,		что	график
приближается к		оси	х-ов, (являющейся горизонтальной
асимптотой	графика)		и притом		сверху, так	как ф( х)>0.
График функции изображен				на черт. 37.
			у		I

		-	1 0	37-
			Черт.	37
IV.	Ф (х) =	х (л-2 — 9)
		( х + 3 ) ( х - 2 )
I)	Функция		имеет две точки разрыва х ——3 и х=2. Во

всех других точках она непрерывна.

121

2) В точке X ——3 разрыв устранимый, так как

lim	X {х2—9)	= lim
*->—3+0 (*+3) (■* —2)		:—►—3±О

X (X — 3)	18
X — 2	5

В точке	х —2 функция имеет бесконечный разрыв II рода,
так как	lim -ф (jc)= +
	х-*2±0

3)	Скачок функции в точке х = —3 di = 0; скачок в точке
х = 2, сіц— оо.		18
4)
	Положив ф(—3) = -----, мы доопределим данную функ-
		5
цию в точке х = —3 так, что теперь функция
	д: (х2- 9 )		X Ф — 3
	(* + 3 )(х -2 ) ’
			X (х —3)
	Ф М =		х - 2
	]8	,
	5		.V= —3
будет непрерывна и в точке х = —3.
В точке х=2 функцию ф(л:)			доопределить тац, чтобы она
стала непрерывной в этой тойке,			нельзя.

5) Так как Нптф(дс) = —оо, то при 2	ею график функ-
Х -* - ± оо

ции уходит в бесконечность вверх, а при х -+ — сю — в беско­ нечность вниз.

122

6)

График функции имеет вертикальную асимптоту х = 2

и не

имеет

горизонтальных

асимптот. Попытаемся найти

уравнения

наклонных

асимптот

графика

в

виде y —kx + b.

Тогда

k = lim Ч>(X)

,•

л

—V

=

1.

«li m ----------------

X —>°°

{ X

(x —;2)

b — lim [ф(х)— kx\ =

lim

x(X -гЗ)

— x] = li m — — — — 1.

X —к »

.V—

x -2

J

X— 2

Итак, наклонная асимптота имеется;

ее уравнение у —х—1.

7)

Построив асимптоты

графика х=2

и у = х —1 и нес­

колько точек,

уточняющих

его расположение, мы сможем

вычертить график данной функции. Он изображен на черт.

38.

теперь

читателю

по предложенной выше

Рекомендуем

схеме из 7 пунктов исследовать^функции

1) у —

1

п \

Х а —

9

.

1

2 ) у = — — ; 3 ) у = s i n

— г г ;

X

X

+ 3

X

~ г З

4)

у =

.

5)

у =

----

-25

; 6) у = ctgx;

(X —-4)а

(х+ 5)(х+ 2)

7) у = 2

2_

у =

f хг - 1 ,

х < 1

* ;

8)

■X. X

f

— X2,

X <

— 1

2

Ю) у =3 Ч-х

9) У = х + 3 , —1 < х < е

Них,

х > е .

И)

y=arcctg—

;

12) у = х + arctg —Ц - ;

X

X — 2

1Q4

4х

.

1

14) у —

1

УТ+Х—2

13)

—

aictg — ;

------ 1— ; 15) у = -Г—Е_— ;

1+е

16) у =

- I

;

17) у

— Е{х)*\

8) у

= х — Е(х);

2 А + 1

1

19) у = (-1)£М

20) y = E [ - j \ \ 21) у —21—21— X

* Е(х) — целая

часть

числа х,

т. е. Е(х)

целое число, для Которого

л — 1 < £ ■ (* ) <

X.

123

22) у	smx ; 23) у =	1	24) у ~ ( х - \ - 1 ) 2 ' Ul xJ
		ln X	26) у — х-Е (х)
	25) у = [+2‘г-г

Помимо перечисленных примеров рекомендуем решить: Б е р м а н №№ 223—233, 238, 1375—1391.

Д е м и д о в и ч №№	175, 627,	678, 680, 681, 687—700,
729, 730, 731, 738—742.
Вопросы для самоконтроля к § 11—14
1. Как сравниваются	бесконечно	малые в т,очке х0 функ­

ции? Какие случаи при сравнении возможны? Какие беско­ нечно малые называются несравнимыми? Привести примеры на каждый случай.

2. Что называется порядком малости одной бесконечно малой функции по сравнению с другой бесконечно малой в точке х0 функции?

3. Какие бесконечно малые называются эквивалентными?

4. Дано: lim — =1. Можно ли функции f(x) и <р(х) на-

х-*х, <р(л:)

звать эквивалентными в точке х0?

5. В каких случаях при вычислении пределов можно пре­ небрегать бесконечно малыми высших порядков?

6. В каких случаях бесконечно малые можно заменять им эквивалентными в суммах и разностях при' вычислении пределов?

	7. Какие теоремы использованы					при переходе от lim sin х
к	lim sin (л—у)= \\т (—у) =0?							*-*•*
	у-*0		у-*')					х-»-+ оо,
б)	8. Ч то называется пределом функции f(x) при а)
	х->-— оо,	в) х->оо? Что означает геометрически сущест­
вование этих пределов?				называется		бесконечно	малой при
а)	9. Какая	функция
	л;-э-+ оо, б)		х —э— оо, в) х-»оо?			Дать геометрическую ил­
люстрацию.			функция	называется		бесконечно	большой при
а)	10. Какая
	х-ѵ + оо, б)		Х-9- —оо,		в) X оо? Дать гёометрическое ис­
толкование каждому случаю.						от вычисления		предела .
	11. Как осуществить				переход

функции при х->оо к вычислению предела функции в точке? Докажите соответствующую теорему.

224

12.Какую замену переменной нужно сделать, чтобы от предела функции /(х) при х-»->э перейти к /равному ему пределу функции q>(z) при z->-1?

13.Какова схема доказательства равенства 1іт/(х)=Л ?

Каким условиям должна			удовлетворять				функция N=N{e),
чтобы из |х|> М (е)		всегда следовало				|f(x)—Л|<Ф?		В част­
ности,	должна ли	функция		N (&)	а)	быть положительной,
б) быть определенной при всяком					е>0, в)		быть монотонной,
г) быть ограниченной?
14. Существуют		ли функции, не имеющие предела и не
являющиеся бесконечно большими: а)						при х->+-=°,		б) при
х -+— эо,	в) при x-s-fo?		В	случае-положительного				ответа
привести примеры.

15.Чем определяется поведение целой рациональной функции при Х->±оо?

16.Что называется точкой разрыва функции /(х)?

17.Что называется точкой одностороннего разрыва функ­ ции/(х)?

18.Какие точки называются точками разрыва I рода? Привести примеры.

19.Какие точки называются точками разрыва II рода? Привести примеры.

20.Какие точки называются точками устранимого раз­ рыва? Привести примеры.

21.Что значит доопределить функцию в точке разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

22.Что называется скачком функции в точке разрыва?

23.Какие точки называются точками бесконечного раз­ рыва? Привести примеры.

24.Существуют ли функции разрывные во всех точках своей области определения? Привести примеры.

25. Является ли точка х —1 точкой разрыва для функции

у = у х — 1 + У 1 - X ?

26. Может ли функция /(х) быть определена в точке разрыва? В случае положительного ответа привести при­ меры. ■ '

27.Каким образом выясняется поведение функции: а) вблизи точки разрыва, б) при х-ѵ+=о?

28.Что называется асимптотой графика функции? Как находят: а) вертикальные, б) горизонтальные, в) наклонные асимптоты?

125

29.	Сформулировать			отрицания		для	утвержденій
limf (л:) = ± ОО,
X—» + со
30.	Существуют		ли пределы		функций f(x) =■ --'xsinЛ ,
							I л: I
cp(x)c=— 31 ll..—21 x '			а)	При x->0, б)		при x->0-f0,
4 '	arcsin I X I +
в) при JC->-0—0?						х2~ | х	| при х~>0?
31.	Верно ли	утверждение			| .ѵ | +
	15.	Предел последовательности
О п р е д е л е н и е			1.	Если каждому		натуральному числу

п поставить в соответствие по определенному правилу число ап, то полученный таким образом ряд чисел аь а2, ..., ап, ...

называется последовательностью и обозначается символом

{ал}. Числа Оі, а2, ... называются членами последовательности; ап — общим членом последовательности.

Последовательность считается заданной, если задано пра­ вило, позволяющее по известному номеру члена последова­ тельности, определить этот член. Таким образом, общий член последовательности есть функция его номера an=f(n).

Чаще	всего последовательность задают формулой общего
члена.	Например, ап =	, bn ~ n - , сп — ~ , dn — (— 1)" и

т. п. Полагая в этих формулах п= 1, 2, 3,..., можно написать эти последовательности в развернутом виде: .

{*„}: 1,		4,	9,	16,	25,	36,
Г	1. 1	1		1	1	1
	’	2		3	4	5 ’
{dn}: - 1		,	1,	- 1 ,	1,	- 1 ,
Иногда последовательность						задают иначе, без помощи

формулы. Так, например, можно задать последовательность

простых чисел:			2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,...,
1,
последовательность десятичных приближений числа л:
3;	3,1;	3,14;	3,141;	3,1415;	3,14159;	3,141593;...
последовательность десятичных знаков числа е:
2,	7, 1,	8, 2,	8, 1, 8,	2, 8, 4,	5, 9, 0,	4, 5,... и т. п.

12S

В последних трех примерах формул для общих членов йоследовательностей не ‘существует. Однако закон, по которому можно отыскать любой член последовательности, известен и рано или поздно можно отыскать член последовательности

сзаранее заданным номером.

Оп р е д е л е н и е 2. Число А называется пределом после­ довательности {«,,}, если для любого е>0 можно указать

такой	номер N	члена	последовательности, что для всех
n> N	будет справедливо		неравенство \ аЛ—Л |< е . Тот	факт,
что А — предел		последовательности {ап}, записывают		так:

lim а„ = Л или ап->-А.

/I—*оо

Последовательность, имеющая предел., называется сходя­ щейся. Последовательность, не имеющая предела — расходя­ щейся. Если Л = 0, то последовательность называется беско­ нечно малой.

Если члены последовательности изображать точками чис­ ловой оси, то понятию предела можно дать следующее гео­ метрическое истолкование.

Существование 1іта„ = Л означает, что какой бы малой

П~*оо

ни была г-окрестность точки А, все члены■последовательнос­ ти, начиная с некоторого (может быть N + 1-го) попадут внутрь е -окрестности точки А (черт. 39), а за ее пределами останется лишь конечное число членов.

	R-e.	й + е
		-
*		я
	Черт. 39 «
З а м е ч а н и я .	1. Члены последовательности		{ап} могут
приближаться к	своему пределу как	с левой	или правой

сторон, так и колеблясь, то есть располагаясь попеременно то справа, то слева от точки А (см. замечание 3 к приме­

ру Ц-

2. Члены последовательности, приближаясь к своему пре­ делу А, могут сколько угодно раз принимать предельное

значение А. Например, последовательность 1,0, —,0, —,0, —,

2 3 4

О,... имеет предел Л = 0 и все ее члены с четными номерами также равны нулю.

127

3.Число Ü зависит от s, то еоть Л(=ф(е). Действительно,

вобщем случае, уменьшение е-окрестности точки А влечет за собой увеличение номера N члена последовательности

начиная с которого все последующие члены последователь­ ности попадают внутрь е-окрестности точки А.

4. Число N находится не однозначно. Если найдется неко­

торое N >0 такое, что неравенство		n> N	влечет за	собой
справедливость неравенства	|а„—А |< е , то		и всякое	другое
N '> N также будет таким,	что неравенство		n> N ' повлечет
за собой выполнение неравенства		|ап—А |< е . Таким		обра­

зом, нельзя гарантировать, что все члены последовательнос­ ти, начиная именно с УѴ+1-го попадут внутрь е-окрестности точки А, а все остальные останутся за ее пределами. Может

случиться, что. и члены а„, с„_ь	ак_к попадут внутрь е-ок­
рестности. точки А.	N решают неравенство
5. Для определения числа

\ап—А |< е относительно п и пытаются найти функцию УѴ(е),

определенную при всех е>0 и такую,			чтобы из n> N (s)		сле­
довало неравенство	Iап—А |< в.		преобразования		нера­
Ввиду сказанного в замечании 3,
венства Iап—А I < е	могут	быть достаточно		«вольными» в
том смысле, что	следует	заботиться	не о	равносильности

преобразований, а о том, чтобы каждое последующее нера­

венство влекло за	собой	справедливость предыдущего (см.
примерЗ).
Последовательности, имеющие предел, обладают следую­
щими свойствами.		последовательность {я,,} не может
1. Если lim ап —А, то
л-*-»
иметь никакого другого предела В ф А.
2. Всякая сходящаяся		последовательность ограничена,
то есть существуют	числа М и N такие, что при всяком п
справедливо неравенство
^	М < а„ < N.

3. Отбрасывание от последовательности или присоедине­ ние к ней любого числа начальных членов не меняет преде­ ла сходящейся последовательности (а если последователь­ ность расходится, то не нарушает ее расходимости). Рас­ смотрим примеры.

Пример 1. Доказать, что lim ——= 1. Начиная.с какого

а-** 11+1

номера члены последовательности отличаются от своего пре­ дела меньше, чем на е—0,000001?

128

\

Доказательство. У нас ап- - ^ —, А —1. Зададимся произ-

п—1

вольным s>0 и попытаемся найти номер N такой, чтобы не­ равенство n>N влекло за собой справедливость неравенства

		п	■1 < е .			(А)
		п +1
С этой целью решим неравенство				(Л)	относительно я:
п — п —1		е ;	п + 1 >	-	я >	■ 1 .
п +1
	О ,	п +1
Положим теперь
	N -	Е -----1j , если		е <0,5		( Б )
		1,	если	г.> 0 ,5

При е>0,5 N можно положить равным любому целому чис­ лу и, в частности, равным 1, потому что все члены данной последовательности, начиная со второго отличаются от 1

меньше, чем на			2	п	1	< т	г ф "	я > 1.
При указанном выборе числа N неравенство n> N повле­
чет	за собой справедливость					неравенства (А). Отсюда вы­
вод.	Для	любого		е > 0	существует,		номер	N. определяемый
формулой		(Б)	такой, что для			всех n> N справедливо' нера­

венство (А). Это означает, что lim -А— =1.

л-»~ Л г 1

В частности,	при		е== 0,000001 N = —---------- 1=999999,				и,
следовательно,	г		члены			0,000001	с
	все				последовательности, начиная
миллионного отличаются				от	своего	предела меньше, чем	на
0, 000001.		1.	Зависимость			числа N от е отчетливо
З а м е ч а н и я .
видна из формулы		(Б). Здесь уменьшение е влечет за собой
увеличение N.	случае			найдено минимальное из всех воз­
2. В данном
можных число N=999999				ибо 999999-й член последователь­

ности еще не попадает внутрь е-окрестности точки А = 1, а все, начиная с миллионного, попадают. Это объясняется тем, что

неравенство		(А)	преобразовывалось равносильным		образом.
	3. Аналогично предыдущему можно			доказать	равенства
lim	=1,	lim	—— =1. Обращаем	внимание читателя
П —*	П	П—*со	t l

9-2518

129