книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Выпуклые множества в гильбертовых пространствах

99

и очевидно, что правая часть порядка А. Кроме того, d { T + b ) - d { T ) ^ q { e Q, Г + Д ) - ? ( е 0, Т) = 0(A).

Таким образом, функция d(T) непрерывна. Предположим теперь, что для данного начального

состояния х(0) существует конечное отличное от нуля время завершения игры. Чтобы избежать тривиальных случаев, положим || ях(0) || > d. Обозначим через Т0 наименьшее время завершения игры. Тогда

		=	Т0>0.
Действительно,	если	d (Т0) <d, то		в силу непрерыв­
ности функции	d(T)	найдется такое		достаточно малое
число е > 0, что d(TQ— е) <			d.

Т е о р е м а 2.11. Пусть d(T0) = supq(e, T0) = q(e0, Т0),

е

а и0(-) и ѵ0(-) — соответствующие управления пресле­ дователя и преследуемого. Тогда для любого допусти­ мого управления и (-)

II Z(T0, uo(-), v0(-))\\ = d ^ \ \ Z ( T 0, «(•). t»o(-))Il-

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть II Z (TQ, u0(•), v0(•)) II < d. Тогда q (e0, T0) < d, что невозможно.

Если же II Z (Т0, и0 (•), ѵ0(•)) || > d, то, поскольку для любого допустимого управления «(•)

[е0, Z{TQ, и{ •), üo(' ))]>[во. Z(T0t Uq(•), o0( •))] > d,

получаем

\\Z(T0, u ( - ) , ü 0(.))\\>d,

T. e. r 0 не может быть временем завершения игры, что противоречит условию. Доказательство оставшихся утвер­ ждений теоремы очевидно.

4*

Глава 3

ФУНКЦИИ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ОПЕРАТОРЫ

В этой главе мы займемся изучением основных по­ нятий, связанных с преобразованиями (отображениями, функциями, операторами) одного гильбертова простран­ ства в другое, а также свойств этих преобразований. Здесь мы сможем лишь вскользь остановиться на наи­ более важных для нас вопросах, а для более углублен­ ного изучения материала можно обратиться к книгам, упомянутым в списке литературы.

Выше мы уже встречались с примерами функций, отображающих гильбертово пространство в поле веще­ ственных или комплексных чисел. Функцию, множество значений которой принадлежит полю скаляров, назы­ вают функционалом.

Вообще функция может быть определена не на всем гильбертовом пространстве, а лишь на некотором его подмножестве. Это подмножество называют областью определения функции. Множеством значений функции называют множество, в которое эта функция отобра­ жает свою область определения. Нас будут интересо­ вать лишь те случаи, когда область определения функ­ ции есть плотное подпространство (а значит, в част­ ности, и само гильбертово пространство). Для удобства условимся обозначать область определения через D, гильбертово пространство, ее содержащее, через Н{1 множество значений через R, а содержащее его про­ странство через Н2.

О п р е д е л е н и е 3.1. Оператор (преобразование) L называется линейным, если его область значений D является линейным подпространством (плотным или нет) И он линеен на D, т. е.

L [ах -\-$y) = a,Lx-j- ßLy.

Функции, преобразования, операторы

101

Отметим, что множество значений линейного опе­ ратора также является линейным подпространством.

О п р е д е л е н и е 3.2. Графиком G(T) линейного преобразования Т называется подпространство в произ­ ведении пространств Я, X #2> образованное по правилу

G(T) = {(x, Тх): x <e=D(T)},

где {х, Тх) <ее Я, X Н2.

Зададим в Я[ X Л2 скалярное произведение

[(*1> Уі)> (Х2> — 1>Х2І\ Ч- [Уь ^2І2>

где [ , ]і и [ , ]2 — скалярные произведения в Я, и Я2 соответственно. Относительно этого скалярного произ­ ведения пространство Н{X # 2. очевидно, полно (и се­ парабельно, если сепарабельны Я, и Я2). Это гильбер­ тово пространство мы будем обозначать через Я3.

О п р е д е л е н и е 3.3. Линейное преобразование Т на­ зывается замкнутым, если его график замкнут в Я3. По-другому замкнутость оператора Т молено опреде­

лить так:	пусть xn^D (T ), хп->х и Тхп->у. Тогда х е
е D(T) и	Тх = у.

Важность замкнутых операторов объясняется тем, что, как правило, дифференциальные операторы зам­ кнуты.

О п р е д е л е н и е	3.4. Линейное		преобразование Т
называется ограниченным, если D — H, и
s u p II г*II		М < ОО .
	Их II
О п р е д е л е н и е	3.5. Нормой линейного ограничен­
ного преобразования	Т называется		число
II Т || = s u p		II г*И
		Их В '

Линейное преобразование ограничено, если оно не­ прерывно в начале координат. Тогда оно непрерывно в каждой точке. Ограниченное линейное преобразование, очевидно, непрерывно.

О п р е д е л е н и е	3.6. Пусть Т — линейный ограни­
ченный оператор из Я(	в Я?. Оператор V (определенней1

102 Глава 3

в Я? и принимающий значения из Я,) называется

сопряженным к	Т, если Т*х = у	тогда и только тогда,
когда найдется такой вектор у,		что [у, z ] = [х,	Tz] для
любого г е Я , ,	где скалярные	произведения	вычи­

сляются в соответствующих пространствах.

Ясно, что оператор Т* линеен и областью его опре­ деления служит все пространство Я2; поскольку [х, Tz]2 задает непрерывный линейный функционал на Н1 и

то		и х , t z ]2II <	і і	г	im * im г и,
		II Гх II <11	Г НИ*II.
Если	оператор Т не ограничен,				но область его опре­
деления плотна, то еще сохраняется возможность						опре­
делить сопряженный оператор.				В этом случае x e D ( f )
и Т х — у тогда и только тогда,					когда найдется	такой
вектор у,	что [у, z] = [x, Tz] для любого z ^D ( T ) .					Ясно,
что оператор		Т* замкнут и линеен и область его опре­
деления	не пуста.
Пусть Я] =		Я2 = Я. Тогда можно показать, что, если
оператор	Т замкнут и область его определения плотна,
оператор	Т* также замкнут		и область его определения
также плотна.		Действительно,		если бы область		опре­

деления оператора Т* была не плотной, то нашелся бы

элемент Л е Я , ортогональный к D(T'). Далее,										график
G (7”)		оператора Т* есть не что иное, как ортогональное
дополнение в Я3 подпространства
				0(7*) = {(— Тх, х): xe=D(T)}.
Подпространство G(T)					замкнуто,		так как замкнут опе­
ратор		Т.	Поэтому ортогональное				дополнение			к 0(7”)
в	точности			совпадает	с	G(T).	Рассмотрим			элемент
(h,	0) е	Я3.		Очевидно, что он ортогонален					каждому
элементу из G(T') и, следовательно, должен принадле­
жать G (T),				что невозможно, если І іф				0.	Я і = Я2 и
	Будем		по-прежнему предполагать,					что
Т — замкнутый оператор						с плотной областью				опреде­
ления. Заметим, что в этом случае G(T) является
Гңльбертовым пространством. Для							фиксированного оде.

Функции, преобразования, операторы			103
мента г е й	зададим	линейный функционал	на G(T)
равенством	L((y,	Tij)) = [z, у].
Поскольку
I L(y,	1^11 2 ІПг/ II ^ II z 11(11 у 1+ II Ту II),

этот функционал непрерывен на G{T), и по теореме Рисса о представлении существует такой элемент x^D(T),

что для каждого у е				D (Т)
или		[г, у] = [х, у] + [Тх, Ту],
			z — х = Т’Тх,
откуда
			х-\~ T*Tx = z.
Если	определить		теперь			линейное			преобразование L
из Я	в Я равенством			L(z) — x,			то	получим
[L (г), L (г)] = [х, х] ^					[х + Т'Тх,			х + Т'Тх] =		[z,	z],
так что преобразование L ограничено и ||L ||^ 1 . Кроме
того,	равенство			х +		T*Tx = z
означает, что
			L =		( / + Т*Т)~\
т. е.	оператор	/ +	Т'Т		имеет ограниченный обратный,
и этот обратный положительно определен, ибо для х ф 0
	[Lz, z] — [х, z] =			[z, х] = [х, х] +					[Тх, Тх] >	0.
Оператор называется самосопряженным, если он
равен	своему сопряженному.
П р и м е р		3.1.		О п е р а т о р ,					с о п р я ж е н н ы й
к и н т е г р а л ь н о м у .						Пусть	Hl = L2(Dl)p			и	Я2 =

= Ь2(D2)q, где Я, — подмножество в Em, a Do — подмно­

жество в Еп.	Пусть М (t, s),	s е Dx, l e D2, означает
X р)-матрицу функций, для		которой
J	JII Af(f, s)|Fdl s |rf|/|<оо,

■Di Da

104

Глава 3

где d \s I — элементарный объем (лебегова мера). Тогда соотношения

Lf = g>

g{t)= J M(t, s)f(s)ds

D ,

задают ограниченное линейное преобразование L из Hi в Н2. Сопряженное к нему определяется функцией

	f(s )=	j M{t, s)’ g(t)d\t |.
	о,
В частности,	если D[— отрезок в Еп, т. е.
ßi = {s =	(si> s2,		sn)\ 0 < S | < 1 , 1=	1,	n},
а D2 — отрезок [0, 1],		то	L задается функцией
1	I
git) — { • ■•	j M(t, s,,	.	. sn)f (s,, s2l ....	s„)ds,	... dsn,

о0

асопряженное преобразование/,* определяется функцией

	f(s )=		JI M{t,	s,, . .		sny g{t)dt.
			о
З а д а ч а ‘3.1.			Пусть	(e„,	n	0} — полная		ортонор­
мальная последовательность					элементов из Н,			а линей­
ное преобразование А определяется							равенствами
			Аеп = Уп en_„
			Ае0== 0.
Другими словами, для любой конечной линейной
комбинации
/	N	\	N			N	_
а ( 2		/	)== 2			2	Q-k У k ^k—i’
\	0		0			1
Обозначим	через		D множество			всех элементов из Н,

со
для которых 2 [х> впТп <	т. е.
О

D = = jх: 2 [х, enf п < о о j .

Функции, преобразования, операторы

105

Для любого X из D положим

ОО00

А х = 2 [X, еп] Аеп= 2 [х, е„] Ѵ п еп~і-

ОI

Тогда преобразование А замкнуто, а область его опре­ деления D, очевидно, плотна в Я. Покажите, что для А’ справедливо соотношение

А * е п = Y n + 1 е п +1
и D(A) = D(A*). Найдите Л*Л, ЛЛ* и (/ +	Л*Л)_ |.
О п р е д е л е н и е 3.7. Пусть Т — замкнутое линейное
преобразование пространства Я в себя.	Комплексное
число X называется собственным значением преобразо­
вания Т, если найдется такой отличный	от нуля эле­
мент Xе Я, что
Тх — Хх.

При этом X называют собственным вектором преобра­ зования Г, соответствующим собственному значению X. Множество собственных значений преобразования назы­ вается его точечным спектром. Если комплексное число X не принадлежит точечному спектру преобразования Т,

то можно определить оператор (XI — Т)~1 (где / — то­ ждественное преобразование), полагая

( Х І - Т ) - ' у = х

(на множестве значений оператора XI — Т) тогда и только тогда, когда

у = Хх — Тх.

Определенный таким образом оператор (Я — Т)~1 зам­ кнут и линеен. Нас чаще всего будет интересовать си­

туация, когда оператор (XI — Г)-1 ограничен. Очевидно, что для этого необходимо, чтобы множеством значений оператора XI — Т было все пространство Я. Но самое замечательное при этом заключается в том, что для замкнутых операторов Т это условие оказывается и до­ статочным, и этим в значительной степени объясняется наш интерес к замкнутым операторам.

106	Глава 3
Т е о р е м а	3.1. Пусть Т — замкнутый линейный опе­

ратор и число X не принадлежит его точечному спектру. Пусть множество значений оператора XI — Т совпадает

со всем пространством А. Тогда оператор	{XI — Т)~1
ограничен, т. е. для любого элемента і е Я	и некото­
рого числа М > 0
||(а/ - : г г Ч [ < м і и і .

Доказательство основано на так называемом прин­ ципе открытых отображений, представляющем собой один из центральных результатов функционального ана­ лиза (см., например, [8]). В дальнейшем мы часто будем пользоваться несколько более общим, чем теорема 3.1, результатом, также основанным на принципе открытых отображений: замкнутое линейное преобразование, область определения которого совпадает со всем про­ странством Н, ограничено (теорема о замкнутом гра­ фике).

З а д а ч а 3.2. Пусть	Т — ограниченный	линейный
оператор, А — замкнутый	линейный оператор	и область

определения оператора А содержит множество значений оператора Т. Тогда линейный оператор АТ также огра­ ничен.

Указание. Оператор АТ замкнут и областью его определения служит все пространство Н.

Опр е д е л е н и е 3.8. Множество комплексных чиселX, не являющихся собственными значениями оператора Т, для которых множество значений оператора XI — Г со­ впадает со всем пространством Я, называется резоль­ вентным мнолсеством оператора Т и обозначается р(Г).

Для Яе р ( Г )	оператор (Л/— Г)-1 обозначается через
R{X; Т) и называется резольвентой оператора Т.
Дополнение	резольвентного множества называют

спектром оператора, так что точечный спектр оператора является подмножеством его спектра.

П р и м е р 3.2. Пусть H = L2{0, 1), а D — класс функ­ ций, производные которых также принадлежат L2 {0, 1). Для / е D положим

T f = f%

Функции, преобразования, операторы

107

Тогда оператор Г замкнут, а область его определения плотна. Исследуем его резольвентное множество. Урав­ нение

Ч - Г = 0

означает, что

и el , G L 2(0, 1). Таким образом, все числа X принад­ лежат спектру оператора Г, а, значит, его резольвент­ ное множество пусто. Этого, однако, не может быть для ограниченных операторов.

Т е о р е м а 3.2. Пусть Т — ограниченный оператор, отображающий Н в Н. Тогда если X > || Т ||, то І е р (Г).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если | X | > [| Т ||, то

І І Т І < > .

так что оператор (/ — ГД)-1 можно разложить в ряд Неймана

сходящийся по операторной норме:

	р + т	fin+o
		II тГ	■0 при	пт—>оо.
	Я"	Я|"
	m
	Кроме того,

итеорема доказана.

Оп р е д е л е н и е 3.9. Ограниченный линейный опе­ ратор Г называется квазинильпотентным, если

грПц1/п_	0.
lim II Г

п

С л е д с т в и е 3.1. Пусть	Т — квазинильпотентный
оператор, отображающий Н	в Н, Тогда его спектру

108			Глава			3
принадлежит лишь начало					координат.			Более того,			для
X ф 0 ряд
			Y		1I 1IL
			І и		|Л|»
сходится и			о
	Ѵ - Т Г ' - t lо Fл r -									оо
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Заметим,		что		ряд	'2ja,Jrn
						__				о
абсолютно сходится			при		г >	lim | ап ||/п,			так	что	ряд
со
2 Тп/Хп сходится		по	операторной				норме для			каждого
о
X > 0. Но для любого х ^ Н
откуда		\	о
			оо
{Х 1 - Т )~' = У^					д	л я		Х Ф 0.
			о
П р и м е р	3.3.	Пусть		Н = L2(0,			1)	и
					I
Tf =	g,	g(t) =		{ f(s)ds,
				о

Тогда Т — ограниченный линейный оператор, и в силу неравенства Шварца

II П К 1.

Что касается спектра этого оператора, то заметим, что при X ф 0 из равенства

і

Xf(t) — J f{s)ds = 0 почти всюду для t е [0, 1]

о