книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Функции, преобразования, операторы

169

Легко проверить, что F(u) можно разложить в степенной ряд

00

О

где

б" (О, и) = (n!) {LuXo+ Lu~lKuC),

xQ- функция, принимающая на всем отрезке [О, Т] по­ стоянное значение х0, и

t

KUC ~ J С (s) и (s) ds.

о

Вряд ли нужно специально подчеркивать, что

LUo + L ? rlK uC

— однородный полиномиальный оператор степени п по и

ичто он принадлежит классу операторов Гильберта — Шмидта.

З а д а ч а . 3.12. Найдите полярное разложение для б" (0, и).

Глава 4

ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Обозначим через {T(t), 0} семейство ограниченных линейных операторов, отображающих гильбертово про­

странство Я в себя. Если		это семейство таково, что
(i)	Т{0) — тождественный	оператор,
(ii)	T(ti + t j = T(tl)T(t3) = T(tj T(tt),

то его называют полугруппой ограниченных линейных операторов. Мы будем называть его для краткости полугруппой (поскольку никаких других полугрупп в на­ шей книге нет).

Полугруппа Т (t) называется сильно непрерывной в на­ чале координат (или полугруппой класса С0 по термино­ логии Хилле и Филлипса [8]), если для каждого эле­ мента X е Я

(iii) II Т (t) X — X II-»-0 при / - > 0 + .

Из полугруппового свойства (іі) непосредственно следует, что сильная непрерывность в начале координат влечет сильную непрерывность справа при любом 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что для А > 0

T(t + А ) х — T(t)x=T(t)(T(A)x — x).

Для того чтобы установить непрерывность слева, вос­ пользуемся принципом равномерной ограниченности. Применяя свойство (ііі), получаем, что для любого L > 0

оsup ИГ(£) я II < 00	при всех хе=Н
и, значит,	М < оо?
sup II T{t) II <

9 < f < Л

Полугруппы линейных операторов

171

откуда

II Г (0 д: — Г (^ — Д) X И=

= \ \ ( T ( t - b ) ) ( T ( A ) x - x) II ^ МII Г (А) X — л: И-> 0.

Более того, можно найти плотное подпространство в Н, на котором функция T(t)x бесконечно дифференцируема.

Для этого положим

t

У= { T( a) xda

	о
для фиксированного	элемента л и	фиксированного
числа і > 0; справа	стоит интеграл	Римана. Тогда

t

Т (А)у — у = J (Т (<х + А) л: — Т(а) х) da =

о	t
(+д

= | Т (а) xda — J T{a)xdx —

до

*+д д

	= J	Т(а) xda — J		Т (а) xda =
	t		о	д
	д
	= J	Т (а) (Т (t ) х) da —J			Т (а) х da.
	о			о
	Так как для любого х
	I 7» X da — X		X (JТ {<*) X — х) da
				^	sup	II Т (а) X — XII —> 0,
	то			0 < а < Д
		_ПД)|— у _		Т ф х _		Х'
	Обозначим через D множество всех элементов х,
	для которых (Г(А)х — х)/А сходится,					и определим на D

172 Глава 4

оператор А (называемый инфинитезимальным произво­ дящим оператором) равенством

	А х = lim	т(Д) X - X
		д
Очевидно,	что А — линейный оператор. Покажем, что
множество	D плотно в Я.	Мы уже видели, что D со­
держит элементы вида
	t
	J Т (о) X do
	о

и, следовательно, содержит линейное подпространство, натянутое на такие элементы, но тогда

t

lim -у f T(o)xdo — x

о

и, значит, D плотно в Я.

Прежде чем идти дальше, отметим одно характерное свойство роста ||7’(f)||. Обозначим

w (() = log II Г (Oll-

	В силу полугруппового свойства
	w (/, -Н 2Х	ш (/,) +		W {к)-
	Положим	. с ш (і)
	(й0=			.
		1ПІ	—
		f> о	1
	Тогда для данного е > 0	найдется такое число а > О,
	что
	—j 2- <		©о +	е.

Очевидно, что каждое число t можно представить в виде t — ka + г, где k — целое число и О ^ г ^ а . Тогда

w (t)	w (ka + г) ^	kw (а)	, w (г)
t	ka-{- г	ka + г	ka + г

Полугруппы линейных операторов

173

Далее, в случае сильно непрерывных полугрупп опе­ ратор до (г) ограничен на отрезке [0, а], так что

um —р - <5 ©о + е,

<-» оо

1

или (поскольку до (/)// ^	до0)
lim	W(О
	— р - = со0.
< - » • 0 0	1

Таким образом, для сильно непрерывных полугрупп справедлива оценка

II Т (О II < Meta\

т. е. ||7’(/)|| растет не более чем экспоненциально.

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь полу­ группы из класса С0, так как это единственный вид полугрупп, имеющий значение для приложений.

Определим для каждого х интеграл

оо
R (Я) X = J е~и Т (t) X dt, Я >		и0.
о
Тем самым для каждого Я задается	ограниченное ли­
нейное преобразование:
II R (Я) х ||< ( [ в " « I I Т (О IIdfjII X |	|	< IIXИ.

Покажем, что множество значений оператора R (Я) для каждого Я > со0 совпадает с D — областью опреде­ ления оператора А. Для этого вычислим

00

(Т (А) — I) R ( k ) x =	J е~и (Т (* + Д) х -	Г (t) х) dt =
	О
оо	со
= J e~u eKAT (t) X dx — J е~и Т (t) x d t ~
д	о
Д		оо
>= - J e“wjT (О X dt + (e^ -		1) J е"*'Г (/) xdf.
О		А

174 Глава 4

Согласно сказанному выше,

А

J	е~и Т (t) X di->x,	А —> О,
о
так что при Д—>0		со
7 (д ) - /	+	е~мТ (t) xdt
и, следовательно,		о
Л /?(Я )х= — х + Я/?(Я)х
для всех X: е Я .	Если х е D (Л),	то
	■

= J V * Н' + Д)*-Г(П< d l -» j ‘ e - 4 T ( l j A x d t = R ( > . ) A x .

о	о
Отсюда, в частности, следует, что		Л —замкнутый опе­
ратор.	Действительно, если х „ е£ ),	хп—>х0 и Лх„-»г/,
то из	соотношений
	R (Я) Ахп= AR (Я) х„ = —- хп + ЯR (Я) хп
вытекает, что
	R(A)y = — x0-\-XR (Я) х0=	Л/? (Я) х0.

Таким образом, XR(X)x0 — x0^ D . НотаккакЯ/?(Я)х0е£>, то х0е £ ). Поэтому

AR (Я) х0 = R (Я) Ах0 = R (Я) у,

или

ЯЯ(Я) (Лх0 — у) = 0

для каждого Я>со0. Так как

то для любого элемента J t e H

Ііш ЯR (Я) X = X -f lim AR (Я) х = х

оо

Полугруппы линейных операторов

175

и, следовательно, Ах0 — у.	Мы доказали, в частности,
что множество значений оператора R(X) совпадает с D.
Действительно, если х е D,	то

R (А) Ах = — X + XR (Л) X,

откуда

X = XR (А) X — R (А,) Ах = R (А) (Ах — Ах),

а раньше мы видели, что множество значений опера­ тора R(А) содержится в D.

Кроме того, мы доказали, что
	R (А) (Ах — Ах) — X,	х е D,
	(А/ — А) R (А) X = X,	X е Я,
т. е.	оператор А/ — А имеет ограниченный обратный
для	каждого А > со0 и
	(А/ - Л)_| = Д(А).
По этим причинам оператор R(А) называют резольвентой
оператора А и обозначают через		R{А; А).

Некоторые свойства резольвенты

Перечислим наиболее важные свойства резольвенты,

(i) R{А; А) можно определить как решение уравнения

(А/ — Л )/?(А, A)x = x = R (А; Л) (А/- А)х, х е Я ( Л ) ,

для каждого А из полуплоскости Re А > <в0.

Это сразу следует из сходимости преобразования Лапласа

J е~мТ (t)x dt

о

в полуплоскости ReA>cü0. Таким образом, резольвент­ ное мноэюество оператора А (т. е. множество комплек­ сных чисел А, Для которых оператор XI — А имеет огра­ ниченный обратный) содержит полуплоскость ReA>co0. Для любой точки Аэ из резольвентного множества опе­ ратора А оператор /?(А; А) аналитичен в окрестности точки А0 и удовлетворяет резольвентному уравнению

R (А; А) - R (ц; А) (ц — X) R (A; A) R (ц; А).

176

Глава 4

В самом деле, для всех ц, для которых

ІЦ-ЛоПІЖѴ. і4)|| < 1,

представим (/ — (ц — Я0)Я(Я0; Л))-1 в виде ряда Неймана:

	U — (ii — h)R (Я; Л))"1=			2 (р, - Я)" R (Я; А)'\
Легко	проверить,	что		О
	R (и; л) =	(/ + (|1 - Я) R (Я; Л)Г' R (Я; Л),
так что резольвентное уравнение удовлетворяется.
(ii)	Подпространство		R(k\ A)D для каждого Я > со0
плотно в D и, следовательно, в Я.
Действительно, пусть y — R(Я; А)х для некоторого х
из Я.	Так как множество D			плотно в Н, то в D най­
дется	последовательность {хп},			сходящаяся к х. Следо­
вательно,		г/ = 1іт R{%\ А)хп
и хп G Ö . В частности,			множество значений оператора

^(Я; А)п плотно для каждого положительного целого числа п.

Это показывает, что область определения опера­ тора Ап плотна, поскольку она содержит множество значений оператора /?(Я; А)п. В действительности даже множество

0 с о = П ^ М Л)

п

(иногда обозначаемое через £)(Л°°)) плотно в Я. В самом деле, рассмотрим класс элементов вида

оо

J e- I/lr 3ße~ktT (i) xdt, Я > ©о. X е= Я.

о

Этот класс плотен в Я и содержится в DM, ибо для функция Т ( f ) X бесконечно дифференцируема.

(iii) Для X из D

Нт {K2R(K-, А)х — Кх) = Ах.

Полугруппы линейных операторов

177

Это очевидно, так как

l 2R (Я; А) X - Хх = XR (Я; Л) Л.ѵ.

(іѵ) Пусть Т — ограниченный линейный оператор. Тогда (из эвристических соображений)

(Я/ - (А + Т)Г' = (Я/ — Л — Г)-1 =

= Я(Я; Л)(/ -77?(Я ; Л))"1.

Далее, для достаточно больших Я > Я0

II TR(X, Л ) | | < ѵ < 1

и, следовательно, Я принадлежит резольвентному мно­ жеству оператора Л + Т для всех достаточно больших Я. Кроме того,

/г(я;	л + г) = (я/ — (л + т))~1= ^(Я; л) S (Г/г(я, А)Т
и для А, > Я0					О
II R (Я; Л + т) II < II R (Я; Л) || (1 + 1| TR (Я; Л) ||Г 1<
(ѵ) Справедлива		оценка		<11 R (Я; Л) ||(1 + у )“ 1
	д а ; л >“ " <		- + +	- •	* •> “«■
Действительно,
R (Я; Л)+ѵ =
оо	со	+<т">	Г (о г+,	. . . +	0Гxda,„) . . . dan,
= J	. . . J в -к (а >+ -

оо

так что

со	оо
II/г(Я; Л Л К /М f ...	I в-Ч»,+ - + в л) х
6	о

X е'!й>0(Н+ "• +ая) cfCTj ...dor,,

( Я — щ ) п

178

Глава 4

Построение полугруппы по ее инфинитезимальному производящему оператору

Для любого X > со0 полугруппа

f(t) = e - KtT(t)

также сильно непрерывна в начале координат, а ее инфинитезимальный производящий оператор равен

А = А - XI

(и определен на том же множестве D, что и Л). Кроме того,

II f{t) II < Ме~и е ^ < М.

Полугруппа Т (t) называется	сжимающей, если
II Т (t) Иs^ l. В этом случае ш0 = 0	и
II R (Л;	А>0 .

Почти все полугруппы, имеющие практическое зна­ чение, оказываются сжимающими, и для них справед­ ливо следующее важное утверждение, доказанное Хилле и Иосидой и позволяющее получить ответ на фундаментальный вопрос: в каких случаях оператор порождает сжимающую полугруппу?

Т е о р е м а 4.1. Пусть А — замкнутый линейный опе­ ратор с областью определения D, плотной в Н. Для того чтобы оператор А был инфинитезимальным поро­ ждающим оператором для некоторой сжимающей сильно непрерывной в начале координат полугруппы, необхо­

димо и достаточно, чтобы для	каждого X		> 0 оператор
XI — А обладал ограниченным	обратным		и для' всех
п ~ ^\ выполнялось неравенство
||((W — л г ' Л к	^ ,	а ,> 0 .

З а м е ч а н и е 4.1. Эту	теорему можно ослабить,
заменив требование „для	каждого X >	0“ требованием
„для каждого достаточно большого VS		,