книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Полугруппы линейных операторов

179

Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость уже доказана; докажем достаточность. Для этого нужно лишь найти обратное преобразование Лапласа. Но нам хочется построить его только .по значениям прямого преобра­ зования вдоль полуоси положительных вещественных чисел:

Я(А; Л), А>0 .

Для числового случая такой метод предложен Уиддером. Однако нам хотелось бы исходить из того, что речь идет о полугруппе; соответствующий подход был почти одновременно разработан Филлипсом, Феллером и Миядерой (см. Хилле и Филлипс [8]).

Основной во всех этих подходах является идея использовать следующий факт: для всех х из D

А)х — Хх-+Ах при А-э-оо.

Положим	e‘v-R&' Л)-иѣ
Sk(t) =
Это полугруппа, непрерывная		по операторной норме,
и следует ожидать, что.при Я,—>оо
S\{t)x-^> eAtx ~	T{t) X,	x<=D(A).

Докажем это строго. Так как

	оо	№nR (X; А)Чп
	З Д ) = е-м 2
		п\
	о
	то при всех X > 0, t > О
	оо
	О	оо

О

Для того чтобы показать, что Sk(t)x сходится при А->оо, применим прием Данфорда и запишем

	180		Глава 4
	тождество		t
		— SK,(t)x= J ~(Si,(s)SxAt — s)x)ds =
			0
			t
		=	( Sk, (s) Sk, (/ — s) (ß (A,) x — B (A2) x) d s,
	где	о
		ß(A)x = A2ß(A; A) x - % x .
	Это	дает оценку
		II S k,(/) X -	Sk, (/) X II <	/ II ß (А,) X - ß (А,) X' ||,
	так	что Sx(t) X	в области	определения оператора А

равномерно сходится в каждом компактном /-интер-

вале. А	так		как		область		определения			оператора А
плотная	и II Эл (/)||^ 1 ,					то	S^{t)x для каждого х рав­
номерно	сходится				в каждом			компактном /-интервале.
Обозначим		предел			через		Т (t) х.		Тогда	очевидно, что
Т (/) — ограниченный линейный								оператор		и ||7’(/)||^ 1 .
Более		того,		семейство			{T{t),		/^ 0 }	образует	полу­
группу,	поскольку				{/>*(/),		/^ 0 }		— полугруппа для ка­
ждого А >		0.	В	силу		равномерной сходимости					полу­

группа T(t) сильно непрерывна. Таким образом, осталось

лишь показать, что ее инфинитезимальный							производя­
щий оператор	равен	А.	Для			этого воспользуемся то­
ждеством			t
Sk(0 х ~		х — }		Sk (s ) В (А) х ds,
			о
из которого следует,		что		для		х из области	определе­
ния оператора	А			t
	Т (/) X — X =				Т (s) Ах ds
				J
				о
и, значит, для	x s D ( A )
	lim	Т ( / )	X -		X	Ах.
	<-»о		t

Полугруппы линейных операторов

181

Далее, для р. > О, х е D (Л)

= lim (р/ — В (Я,)) 'л:=/?(р; А)х,

а так как множество D (Л) плотно в Н, то это спра­ ведливо для всех л:. Область определения инфинитези­ мального производящего оператора совпадает с мно­ жеством значений резольвенты, и потому этот оператор действительно равен А.

С л е д с т в и е 4.1. Пусть А — инфинитезимальный производящий оператор сильно непрерывной сжимающей полугруппы. Тогда T(t)* — также сильно непрерыв­ ная сжимающая полугруппа с инфинитезимальным производящим оператором А*.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Так как оператор А замкнут
и имеет плотную область определения, то оператор А*
также замкнут и имеет	плотную область определения.

Кроме того,
Я (Я;	Л*) =	(Д(Я;	/1))*,	Я > 0 ,
и
И (Я ;	Л*)|| =	||^(Я;	Л ) | К | ,	Я > О,

так что Л* порождает сжимающую полугруппу, которая сильно непрерывна. Действительно, согласно тео­ реме 4.1, эта полугруппа получается с помощью пре­ дельного перехода

	Пт	(Д- лѵ i- u x = Hm (gv* №: А)t-u y x = т (ty х.
З а м е ч а н и е			4.2.	Заметим,	что	[T(f)*A', у] =
= [х,	T(t)y],	так	что	оператор Т (t)’	слабо непрерывен
для	каждого		0.	В сепарабельных		гильбертовых

пространствах этого достаточно для сильной непрерыв­ ности.

182

Глава 4

Специальные полугруппы

Если бы мы смогли еще больше уточнить характер рассматриваемой полугруппы, мы смогли бы доказать более сильные утверждения. В связи с этим рассмотрим некоторые частные классы полугрупп, представляющие интерес для приложений.

Компактные полугруппы

Сильно непрерывная в начале координат полугруппа операторов называется компактной, если для всех t > О операторы из этой полугруппы компактны.

Т е о р е м а 4.2.	Компактная полугруппа Т (t) обла­
дает следующими	свойствами:

(i)полугруппа Т (t) равномерно непрерывна при t > 0;

(ii)ее инфинитезимальный производящий оператор А

имеет чисто точечный спектр, образованный счетным мнозкеством значений {Яй} с соответствующими собствен­ ными векторами {qpft}, причем последовательность {ЯА}

не имеет конечных предельных точек;

оо

(iii) /?(Я; А )— J e~u T{t)dt, Я > ш, интеграл суще-

о

ствует в равномерной операторной топологии;

(iv)	T{t)yk = e%kt4 k,	компактна для любого Я=^=ЯА
(ѵ)	резольвента R{%\ А)
и У? (А;	А) щ = Ф*/(А — Ай).
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Сначала докажем (следуя

П. Лак-су) свойство равномерной непрерывности. Для

этого заметим,		что для фиксированного	і >	0 множе­
ство	{T(t)x: IIX ||=1} имеет компактное		замыкание —
это	следует из	компактности полугруппы		Т (t). Для

любого заданного е > 0 это множество можно покрыть

конечным числом шаров S(xft;		е), k — l , . . . , п, с цен­
трами	хк и радиусом е. Далее,	для любого элемента х,
удовлетворяющего условию ||х ||= 1 ,
(T(t +	A ) - T ( t ) ) x = ( T ( ä ) - I ) T ( t ) x =
	= (Т (Д) - /)	+ (Т (А) - /) (Т (0 X - хк).

Полугруппы линейных операторов					183
Если теперь выбрать Д так,		чтобы
II (Т (Л) — I)xk II < е,		k = \ ,		. ... п,
то, поскольку
И(Г (Д)- / )	(Г (/)* -* * ) И<			Me,
свойство (і) доказано.		того, что,-		поскольку {Т (t),
Свойство (іі) следует из
/ > 0} — коммутативное	семейство		компактных		опера­
торов, у них должна	быть	общая	последовательность
собственных векторов;	обозначим		ее через {cpÄ}.		Тогда

Т(t) ер/, = %k (0 фй.

Всилу полугруппового свойства

я* (*) = еѵ .

так как собственные значения Я* (;t) непрерывны. Но поскольку единственно возможная предельная точка

последовательности {eAfc<} — это нуль, то {Xk} не может иметь конечных предельных точек. (Это не мешает по­ следовательности {Яй} быть ограниченной снизу!) Из сказанного выше следует также, что векторы фй при­ надлежат области определения оператора А и

Дфй = ЛйФй-

Но так как

W)(C(T(Щ ),

где ст(Л) — спектр оператора А, то А имеет чисто то­ чечный спектр {Я-й}- Отсюда сразу видно, что для ХФ%к

№ л >ф* = т ^ г -

Поскольку полугруппа T(t) равномерно непрерывна при

t > 0, интеграл

со

Я (А,; А) = J е -м T{t)dt, Я > со,

о

существует в равномерной операторной топологии. На­ конец, из резольвентного уравнения вытекает, что ре­ зольвента ^(Я; А) компактна для каждого Я=£А^.

184

Глава 4

Диссипативные полугруппы

Мы получим еще более сильные результаты, если ограничимся рассмотрением гильбертовых пространств. Пусть Я — гильбертово пространство (вещественное или комплексное). Замкнутый линейный оператор с плот­ ной областью определения называется диссипативным, если для всех х е й ( Л )

[Ах, X] + [х, Ах] < 0.

Предположим, что оператор А	диссипативный и
Ах — Хх, где Я — вещественное число.	Тогда из равен­

ства

[ Ах, дг] + [я, Ах] = 2Я[х, х]

следует, что Я<!0. Поэтому если Я > 0, то Хх— А х ф 0 для хфО. Обозначим Ял: — Ах — у. Тогда

[Ял: — Ах, х] + [л:, Ял: — Ах] ^ 2 [Ял:, х],

откуда

[у, х] + [х, у] > 2 [Хх, х].

Другими словами, если Я принадлежит резольвентному множеству оператора А, то

І[Д(Я; А) у, y]\>X\\R{X-, А) у ft,

-

или

Я.II/?(Я; А) у II2 < || R (Я; Л )||||у||2

и, значит,

Я|| /? (Я; А) |Р < ИR (Я; А) [|,

откуда

IIR (X-, А) II < 4 .

Таким образом, если резольвентное множество опера­ тора А содержит положительную полуось, то А поро­ ждает сжимающую полугруппу. На самом деле спра­ ведлива следующая теорема, принадлежащая Филлипсу.

Т е о р е м а	4.3. Пусть А — диссипативный оператор
и множество	значений оператора I — А совпадает CQ

Полугруппы линейных операторов

185

всем пространством. Тогда А порождает сжимающую полугруппу.

Д о	к а з а т е л ь с т в о .		Так		как равенство	Ах — х
влечет	за собой л:=	0,	то	1	принадлежит резольвент­
ному множеству оператора				А.	Пусть О ^ Я — 1.	Тогда
оператор		( * . - 1)Я(1; А ))'1
	(/ +

можно разложить в ряд Неймана при 0<!Я — 1 < 1, и потому

Л) = Я(1; Л)(/ +( Я - 1) / ?( 1; А))~\ 0 < Я - I < 1.

Но, как мы видели, если Я принадлежит резольвент­

ному множеству оператора А,	то ЦЯ/ДЯ; Л )||< 1. Сле­
довательно, ряд
2 ( - 1 ) '1(р -Я Г Д (Я ;	А)п, р > Я,
о

сходится при 0<;р/Я — 1 < 1. Это значит, что р при­ надлежит резольвентному множеству оператора А, если ему принадлежит Я, и

О ^ р — Я < Я.

Поэтому резольвентное множество содержит положи­ тельную вещественную полуось и

ІІ№ , Л ) ||< у , Я > 0;

таким образом, по теореме Хилле — Иосиды оператор А порождает сжимающую полугруппу.

Несколько простых примеров

. П р и м е р 4.1. Вероятно, простейший пример связан с изучением дифференциального уравнения первого по­ рядка с частными производными

-§- + -|^ = 0, ДО, г/) дано,

0.

Это уравнение имеет формальное решение

fit, y) = f { o , y - t )

186	Глава 4
при условии, конечно, что функция		f(0, у) дифферен­
цируема.	Рассмотрим эту задачу как	абстрактную за­

дачу Коши. Прежде всего надо выбрать подходящее функциональное пространство, что в свою очередь за­ висит от того, какую задачу оптимизации мы решаем.

Для	иллюстративных			целей	мы исследуем здесь		два
из возможных вариантов.						А — дифференциаль­
(I)	Пусть		Н = Ь2{— оо, оо), а
ный	оператор А = — д/ду.				Областью определения
оператора А			пусть	будет	класс	функций / ( • )	из
L2(—о о ,		о о ) ,	производные которых также принадлежат
Ь 2 ( —оо,		оо); тогда Л —замкнутый линейный оператор с

плотной областью определения, и первостепенный инте­ рес для нас представляет его спектр. Поэтому займемся изучением уравнения

+ r = f, g -e L 2(— 00, 00), f e D ( A ) .

Так как

M = - f ' ^ f ( y ) = e - 4 ( 0),

то точечный спектр оператора А пуст. Для решения неоднородного уравнения проще всего воспользоваться преобразованием Фурье, заметив, что преобразование Фурье для /( •), обозначаемое ф/(со), должно удовлет­ ворять соотношению

% (ш) = Я	ісо *
так что число Я принадлежит	резольвентному	множе­
ству, если его вещественная	часть неравна	нулю.

С другой стороны, поскольку резольвентное множество должно быть открыто, мнимая ось действительно является спектром оператора А. (Читателю, возможно, будет интересно найти множество значений функции /со/ + f'.) Из сказанного выше следует также, что для Я > 0

II №	Л ) г 1 1	С И * ( “ >I2	da
		J2 = Я2 + со2		Я2

и вообще

IIR (Я; Л ) £ ||< I Re Я Г

Полугруппы линейных операторов

187

Поскольку условия теоремы Хилле — Иосиды оказы­ ваются выполненными, оператор А порождает полу­ группу сжимающих операторов.

Опишем эту полугруппу приближенно. Преобразо­ вание Фурье оператора

е<ѵя(Л; л)-*./)

имеет вид

g X 3 (l/(X + /c o ))

if > О, Я > О,

g — t (XCg)/(X -H g)))^ |^ ( с о ) .

Ясно, что при Я—>оо оно	стремится	к е~ш ^ ( (со) и,
значит, полугруппа T(t) задается соотношениями
T(t)f = g,
g(y) = f(y — f)>	— оо < г / < о о ,
что и следовало ожидать.	В связи с	этим заметим,
что абстрактное уравнение
X(t) =	Ах (t)

имеет единственное решение для заданного начального значения д:(0) из области определения оператора А. Если f(t)<^D (Л), то f (у — t) е D (Л), и потому функция НУ — Ь абсолютно непрерывна, а уравнение с частными производными удовлетворяется поточечно почти всюду по у. Можно также проверить, что

оо

7? (Я; A ) f = [ e~MT(t)f dt.

о

Поскольку множество значений резольвенты R (Я; Л) содержится в области определения оператора Л, соот­ ветствующая функция абсолютно непрерывна и

7? (Я; A)f==h,

h (у) = Jоо e~u f{y — t) dt,

о

а это, как легко видеть, приводит к тому же резуль­ тату, что и раньше,

188

Глава 4

(II) Рассмотрим теперь пространство Н = L2(0, оо). Если, как и в случае (I), положить А = — д/ду на множестве всех функций /(■), производные которых также принадлежат Н — Ь2{0, оо), то вскоре мы столк­ немся с трудностями. Например, уравнение

Ѵ + /' = 0

имеет решение

Ңу) = е -Ч (0 ),

которое для всех X > 0 принадлежит L 2(0, оо). Поэтому, если нас интересуют решения абстрактной задачи Коши для дифференциального уравнения с частными произ­ водными, нам придется сузить область определения оператора д/ду. Вообще можно предложить, конечно, много таких сужений, даже если потребовать, чтобы их области определения были плотными. В нашем слу­ чае легко видеть, что добавление требования f{0) = 0 исключает возможность указанного выше решения. Поэтому можно попытаться сузить оператор д/ду на множество

D ( A ) = {f: П 0) = 0, / ( • ) , n - ) e L 2(0, оо)}.

Очевидно, что множество 0(Д) плотно, а оператор А = — д/ду, определенный на этом множестве, замкнут. Тогда уравнение

4 + f' = g

имеет при X > 0 решение

и

f { y ) = \ e ~ X{y~l)g{Qd£, 0 < у < о о , 0<Х,

о

которое,	очевидно, принадлежит области определения
оператора А. Более того,		преобразование Фурье этого
решения	имеет вид
	ОО	оо

Ь (и) = { e~iwjf (у) dy =	х +!/m J e~imJg {у) dy, Х >0,
о	о
и, следовательно,