книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве

239

Кроме того (даже не предполагая, что оператор Ri ядерный), имеем

II 5*11<11 ЯЛ [%*:, X],

откуда

II S II <11 ЯЛ II ЯЛ

(здесь II • И— операторная норма).

Так как условие ядерности оператора Я& эквива­

лентно условию
ÜI e ([|,	Фй]2) <	00>
ТО положим
Е(ШР) =	І ( [ І ,	ф*]2).
	1

Это определение не зависит от конкретного выбора базиса {<pft}.

Пусть L — оператор Гильберта — Шмидта, отобра­ жающий Я в Я. Если оператор Я ядерный, то | — Lt\ также является случайной величиной с конечным вторым моментом. Ее первый момент равен нулю, а корреля­ ционный оператор ядерный. Действительно,

Е ((£ - Lu) (I - Lr\)') = Ri + LRnL* - LS* - SL*

и каждый оператор в правой части равенства ядерный. Отсюда

Е (III — Li\ Ip) = tr (Яб + ЯЯЛ* - 2LS*) = Q(I).

Заметим, что Q{L) — квадратичная форма по L в гиль­ бертовом пространстве операторов Гильберта—Шмидта. Задачу минимизации этой „ошибки“ можно считать простейшей задачей линейного оценивания случайной величины, принимающей значения в гильбертовом про­ странстве. Решение этой задачи, конечно, довольно просто. Пусть L0— оператор Гильберта — Шмидта и

L0Rr] = S. Тогда

Q (L) = tr (Я5 + (L - L0) Rn (L - L0)' - Я0ЯЛ)),

так что

Q (L )>Q (L 0) = t r ^ s - U № ) .

240	Глава 5
Если оператор Rn положительно		определен (и значит»
в частности, не компактен), то		очевидно, что SRij-1 —
оператор Гильберта — Шмидта и,		следовательно, равен
искомому	оптимальному оператору Ь0. К сожалению,
в общем случае оператор R^ всего лишь неотрицательно
определен.	Положим тогда

01L = LR^

и, воспользовавшись определением скалярного произ­ ведения для операторов Гильберта — Шмидта [Л, ß] = = tr Aß*, получим, что

	Q (L) = tr Тг +	[L, SLL] - 2 [L,	S].
Так как	оператор Q{L)	неотрицательно определен,
а оператор	<52 неотрицательно определен		и самосопря­

жен, то существует такая последовательность {L„}, что последовательность {|| 9lLn — S ||HS} стремится к нулю

и inf Q(L) = lim Q(L„). (См. по этому поводу работу [11].)

П

З а д а ч а 5.7. Скалярное произведение элементарных случайных величин с ядерным корреляционным опера­ тором можно задать равенством

lb n] = trE(Stf),

и тогда пространство случайных величин станет пред­ гильбертовым. Покажите, что оно полно.

Вероятностные процессы

Теперь рассмотрим вкратце вероятностные процессы в гильбертовом пространстве. Напомним, что вероят­ ностным, процессом называют снабженное индексами семейство случайных величин, причем в качестве мно­ жества индексов обычно берут интервал вещественной прямой. Поэтому для нас вероятностным процессом над гильбертовым пространством будет семейство эле­ ментарных случайных величин, зависящее от некоторого параметра. Обозначим такое семейство через x(t, со), где t принадлежит множеству индексов ST, со е Q, на Q определена алгебра (Г, а на — мера р.

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве

241

Как обычно, можно рассмотреть все это с несколько другой точки зрения. Пусть X — пространство функций f (t), t^-ST , принимающих значения в Я. Обозначим через 9* наименьшую алгебру, содержащую множества вида

{x: j c e l , x ( t ) ^ F при фиксированном ?},

где F — произвольное борелевское цилиндрическое мно­ жество в Я. Рассмотрим отображение

ср(со) = х( ■, со),

действующее из Q в I . Тогда множество

Ф_1(^) = {ш: х ( - , т ) ^ А ,

принадлежит

а соотношение

р ( Л ) = р ( ф - ! ( Л ))

определяет некоторую конечно-аддитивную вероятност­ ную меру на 9Р. В соответствии с общепринятой терми­ нологией тройку (X, 9\ р) можно назвать вероятностным процессом.

П р и м е р	5.2. Пусть Я — гильбертово пространство,
31— алгебра	борелевских			цилиндрических множеств,
а (1 - определенная на			ней гауссова мера. Обозначим
через {фй} ортонормальный базис в Я,					а через {gft( • )}—
ортонормальный		базис	функционального пространства
Х2(Я, [О, Г]).	Назовем		с о е Я элементарным исходом.
Положим		П	t		0 < t < T .
fn(t, ®)=		2][ö.	ф&] J	gk(s)ds,
		1	о

Для каждого у е Л определим соответствующую функцию

	h{s) =	У,	О< s < t,
		О,	t < s < T .
	Нетрудно заметить, что, полагая
	Jt [gfe(s), «/]ds =		cft =	( • ), h{ • )],
	о

242 Глава 5

получаем
S c£ = f||0lP,			2	[со,	фА]2 =	II CDIP.
I			I
Отсюда	оо
	S	i [ и , opfc] и		c fc I < о о
	I
для всех со, так что последовательность							со), (/]}
сходится при любых у и любых и.						W (t,	со) соотно­
Это позволяет		задать	функцию
шениями						со
[У, W{t,		lim [у,	fn(t,				щ \ск.
	со)] =				со)] = 2 К
Тогда		П				[
		оо		/
W{t,	ю) =	^[со,	фй] J		gk{s)ds,
		I		О	оо
w v , с
		о	со)іг-< / S k фй]2
					/1+1

и, значит, сходимость равномерна по t при любом со. Более того, для любого t функция W(t, со) определяет некоторую элементарную случайную величину, по­ скольку относительно со она является ограниченным линейным преобразованием. Эта функция обладает следующими свойствами:

(i) Е ((W(t3, a>)-W (t2, co))(lFK со )-		W(th со))*) = О
для	< t 2< t 3 и корреляционный оператор для случай­
ной	величины W {t2, со)— \F(^, со) равен	I{t2 — ^);

(ii) W(t, со) при каждом t есть непрерывное линейное преобразование, определенное на Н, причем

S K	W(tk+l, m )-W (tk, с о ) ] | <
1	I

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве

243

Процесс, удовлетворяющий условиям (і) и (іі), назы­ вают винеровским процессом в гильбертовом про­ странстве.

П р и м е р 5.3. Сохранив обозначения и основные определения предыдущего примера, обозначим через {g^}

ортонормальный базис	в L2(H, [0, 7]). Тогда легко
видеть, что функция	оо
А ( ю) =	2I[ < в , <Pfe]gfe,

будучи ограниченным линейным преобразованием, опре­ деленным на Q, задает элементарную случайную вели­ чину в Ь2(Н, [О, 7]) с характеристической функцией

Е (е1№<»>.*1) = е х р ( - ^ ) .

Стохастические интегралы

Пусть f { - ) ^ L 2(H, [0, 7]) и W(t, со) — винеровский процесс, обладающий свойствами (і) и (іі), сформули­ рованными выше. Тогда интеграл

т

J U(t), dW(t, со)]

о

можно определить так. Для любой ступенчатой функции, т. е. функции вида f(t) = ch < £г+І (г = 0, 1, ..., N), tQ= 0, tN+i — 7, 0 <Нг 7, этот интеграл определяется естественным об-разом:

Т	N
/(f,	dW(t, ю)] = £[£?*,
о	о
Заметим, что	в этом случае I (t, со) можно рассматри­

вать как некоторое линейное преобразование, отобра­ жающее линейное пространство ступенчатых функций из L2(H, [0, 7]) в пространство элементарных случайных величин; для каждой ступенчатой функции f( - ) инте­ грал I (іf, со) определяет на Н некоторый линейный

244

Глава 5

функционал. Более того, из условия (і) следует, что

Е(| /(/, со) р) = Иf |р,

а из условия (іі) — что для каждого со

|/(Д СО) I<110 Hilf II.

Возьмем теперь последовательность Коши {f„} сту­ пенчатых функций. При каждом п интеграл I(fn, и) определяет ограниченный линейный функционал от со и

І № , • ) - /( /,„ . ^ l K W h - L W -

Это показывает, что линейные функционалы I (fn, •) сходятся к некоторому линейному функционалу на Я, а значит, и к некоторой элементарной случайной вели­ чине. Обозначим этот предел через I (f, со), где f — пре­ дел рассматриваемой последовательности Коши. Но так как ступенчатыми функциями можно приблизить любую функцию /е Я , то / (f, со) можно определить как lim {fn, со).

Заметим еще, что

т

Е (/(/, со) I (g , со) *)= J U(s), g (s)] ds.

о

С помощью стохастических интегралов можно по­ казать, что винеровский процесс можно представить в виде

ооt

W (t, со) = ^	[со, срй] J	gk (s) ds,
I	о

где {Фб} — ортонормальный базис в Я, а {gk( ■^ -о р т о - нормальный базис в Ь2{Н, [О, Г]). Для этого заметим,

что интеграл

г

J [gkV), dW (t, о)]

о

определяет на Я непрерывный линейный функционал, скажем [фй, со]. Легко видеть, что последовательность {ф*}

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве								245
ортонормальна.	Далее,			для	любого у <= Я
					t
[У,	w (t,		со)] =		J [у, dW (s, ш)]
					О
и, если положить,		как и раньше,
	h (s) =			У,	t < s <		Т,
				О,
то получим представление
				со
Но тогда		А =		21 [А , g k \ g k -
		оо			т
[у, W(t, со)] =		2	[А, £*] | [ Ы а				dW(t, со)] =
		I			о
				<
	=	[g>, %] J			[А,	gk (s)] ds,
откуда				О
				со		t
W{t, со) =					[со,
				2		-фд]gk(s)ds,J

что и требовалось доказать.

Обозначим теперь через JC гильбертово простран­

ство операторов	Гильберта — Шмидта на Я. (Заметим,
что пространство Jf		сепарабельно.) Пусть К{ •) — любой
элемент из L2{Jf, [О, Г]). Тогда
	т	т
II к ( • ) II2 =	J II	К ( 0 IIh s d t = \ t r(К (t) к ' ( 0 )dt.
	о	о

Покажем, как определить интеграл

Jг К (t) dW (t, ш).

о

Как и раньше, мы хотим, чтобы это было ограничен­ ное линейное преобразование на Ь2{/С, [О, Г]), сохра­

246 Глава 5

няющее скалярное произведение. Итак, пусть сначала К (t) — ступенчатая функция

К(І) = Кі, ti< :t< ti+1,

для конечного разбиения отрезка [О, Т]. Тогда можно считать, что

Iт К (0dW (t, cö)= 2 ^ ( r ^+i' «О- I F ft. со)),

о

Очевидно, что это элементарная случайная величина, поскольку это непрерывное линейное преобразование, определенное на Н. Она имеет конечный второй мо­ мент. Действительно,

т

2’

Е J K(t)dW(t, со) = t r 2	W / + 1 - f /) =
О

Более того, определенный таким образом на множестве ступенчатых функций интеграл линеен, а поскольку множество ступенчатых функций плотно в L2{jf, [О, Г]) и получившееся линейное преобразование изометрично, то можно, как и раньше, определить стохастический интеграл как предел некоторой последовательности Коши. Заметим, что если функции К( - ) и L( - ) принадлежат

L2(jT, [О, Т]), то

Е ^ { K{s)dW{s, со) L (s) dW (s, (ö)

Наконец, отбросим предположение о том, что К( - ) — оператор Гильберта — Шмидта. Пусть К {t) при каждом t есть просто некоторый ограниченный линейный опера­

тор,	и пусть	функция		К (t) сильно непрерывна	по t
в интервале		0 < t <Т .		Будем считать, что К. (()	при
каждом t принимает			значения в некотором гильберто­
вом	пространстве Н,		не обязательно совпадающем		с Н.

В этом случае нам придется подойти к определению

стохастического интеграла Ито несколько по-другому.

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве

247

Прежде всего положим

Заметим, что для каждого п это элементарная случай­ ная величина. Пусть теперь у — произвольный элемент

из Я.	Тогда	П
[Ln {К,	со), */] =	]£] [со,	ф*]	К (0 ёк (0 dt, у
		I
		П
	=	2	[ и .	J lC{t)y]dt
		1	о

и, как легко видеть, последовательность {[Ln{K, со), г/]} сходится при всех у. Это значит, что существует эле­

мент L (К, со) е Я, для которого

1іm[Ln{K, со), y] = [L(K, со), у].

Далее, при любом х е Я

sup IIК (ОXII < оо

и, следовательно, в силу принципа равномерной огра­ ниченности

		supIIК (О \\< К < оо.
Но тогда			t
I	[Ln (К, со), У]\2<		[ \ II К’ (ОУII2	dt'j II a IP K2T II	у Ip II со Ip
и,	значит,			_
		IIL {К, и) II < / С/ ГИ и И.
	Таким	образом, L {К, со) — непрерывная			линейная
функция		независимой переменной со и потому			элемен­
тарная случайная			величина. Покажем, что она не за­
висит от		выбора	конкретного	представления	W (t, со).
Обозначим через			{фй} любую	другую ортонормальную

248 Глава 5

систему в Н, а через

(Лй(-)} другую ортонормальную

систему в Ь2{Н, [О, Г]) и предположим, что

СО

t

0 0

t

У) [«>, qPfc] J

gk (s) ds =

У] [и, %] J

hk (s) ds,

0 <

t <

T,

1

0

1

0

для

всех со.

Возьмем со =

ф/. Тогда

t

t

оо

J gj (s) ds =

У] [ф/, фй] J hk (s) ds,

0 < t <

T,

О

1

о

и, следовательно, для

любого у ^ Н

и 0 ^

Ь

оо

b

J

[ g

/ ( s )>

1

=

2

У[*]Рä/»s , Ф“ *] /

[ M

а

а

откуда

для

любых

ступенчатых

функций

/ ( ■ ) е

е 1

2(Я,

[О, П )

00

gi — 1i [ф/, Ф*]а*. / = 0

и, значит,

1

оо

gi =

2

[ф/. ф*]М

Но это в конце концов означает,

что

[ф ,-,

фА] =

[g/t hk]

при любых / и k.

Теперь легко показать, что

00

Т

5 ]

[®>

Ф[ *g ]k J( 0 .

у

] d t ( 0

совпадает с

1

о

со

г

2

К

Фаі { [hk (0. ’ (О Л dt.

(5.3)

1

о

Действительно,

пусть

ш = ф/.

Тогда (5.2) сводится

к интегралу

т

J [ g i ( 0 ,

K ' { t ) y ] d t ,

о