книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Полугруппы линейных операторов

189

что позволяет применить теорему Хилле — Иосиды. Кроме того, можно сразу показать, что преобразование Фурье функции R{X\ А)'1g равно

J еia,Jg (у) dy

_о____________

(Л + ias)n

и потому преобразование Фурье для eVRiX' A)tg равно

^ J e~imJg (у) dy j е/'.чда+іи).

Таким образом, преобразование				Фурье для				T(t)g	(где
Т (t) — полугруппа,	порожденная				оператором			А) равно
ОО			00
е - Ш J e - i m j g		d y	= I	e - i m j g ( у _			f) dy>
0			t
откуда			' (У-		t ),	t <	y,
T(i) g — h,	h (y) =
			0,			0 <	у < t.
В обоих рассмотренных			случаях
| | Г ( Д ) - Л |	= з и р | | ( Г ( Д ) - / ) / | | >								/ 2 ,	А
ІШ=І
(чтобы убедиться в этом,		достаточно положить f{y) = О,
у > А). Аналогично	для	любого			t > 0	и	фиксирован­
ного А > О
| | 7 ’ ( / +		Д ) - 7 ' ( / ) | | >					/ 2 .

Другими словами, полугруппа T{t) не может быть равномерно непрерывной для всех t > 0 (и, конечно, для 1= 0, так как иначе ее инфинитезимальный опе­ ратор был бы ограниченным). В обоих случаях урав­ нение

X - Ах

не имеет решения для х(0) не из области определения оператора А! Для него не существует и функции Грина, если только не используются обобщенные функции.

190	Глава 4
В случае (II) спектром оператора А служит полу­
плоскость	ReX^O.

Заметим также, что производные начальных условий из области определения оператора А существуют в дей­ ствительности и в гораздо более „сильном“ смысле.

П р и м е р			4.2.		У р а в н е н и е				т е п л о п р о в о д н о ­
сти. Рассмотрим уравнение
			df	_		d*f	—	СО <	X < ОО,
			dt	~	дх2
							’
считая,	что		функция				/(0 , х)	задана,		0 ,	f(t, - ) е
e L 2( - o o ,		оо). Пусть оператор А — д°-/дх2 определен на
множестве		функций				f ( - ) e Z . 2(— оо, оо),				для	которых
/'( • ) е	/.g e —		оо,	оо)		и /"(■) (= L2(— оо, оо).				Это, в част­
ности,	означает, что
			f	(— оо) = f (+ оо) = 0,
			П ~ ° ° ) = П + ° о ) = 0.
Ясно, что область определения оператора А плотна.
Далее,	уравнение					Xf - f " = 0
имеет решения е^и ,						е~Ѵм, и ни одно из них не при­
надлежит L2(—оо,					оо).		Уравнение

K f - f " = g

проще всего решить с помощью преобразования Фурье

(Я, + ш2)%(сй) = фг ((й).

Ясно также, что для того,	чтобы i |) g ( c ü ) / ( Ä + со2 ) было пре­
образованием Фурье некоторой функции из L2(— оо, оо),
необходимо, чтобы Re А, >	0. Следовательно, если К > 0,
то

так что можно применить теорему Хилле — Иосиды. Совершенно очевидно, что преобразование Фурье для

gVR (?.; AUf = y А-2"/? (Я; А)п tn I

о

Полугруппы линейных операторов

191

равно
( s (яѴсоТ^г) ^		(cö) =	èw/№+*4,(®)
и, таким образом,	полугруппа Т (t)f имеет преобразова­
ние Фурье
lim	(со) = (е~ш ) (ш).
Отсюда		00
T{t)f = h,	h(y) =	J G{t, у — x)f {у) dy,
г д е
G(t,	X)		At
	Ѵ Ш ехр

Осталось только отметить, что эта полугруппа сохра­ няет положительность операторов перехода! Кроме того, для любой функции f и любого числа / > О

T(t)fesD(A)

(на самом деле даже Т (t) f е D (Л00)), хотя f<£D{A). Далее, из тождества

\ \ T { t + h ) f - T { t ) f \ f = J			[e~2ia>1) (е~“зл — 1)2| (ш) I2 da
следует, что		—oo
limII T{t + K ) -			Г(ОІ|->0,		*>0.
Д-И)
П р и м е р	4.3.	У р а в н е н и е		Ш р ё д и н г е р а для
отдельной частицы с массой m и нулевым						потенциалом
. ,	ді|>	Л 2	—	ОО <	X <	оо,

1 1ф Р d x = 1,

представляет собой интересный вариант примера 4.2. Определяя А, как в примере 4.2 (и, безусловно,

192 Глава 4

полагая Н = Ь2{— оо, оо)),	имеем
<3ф	ih	<?2ф
ді	2т	дх2
Пусть
h
2т = Р -
Тогда		д2
А =
	ір дх2 ■
и уравнение
— i p f " = g ,		Я > О ,

имеет решение, преобразование	Фурье которого равно
=	і > 0 .
Тогда

II № , Д ||< М

и, следовательно, А порождает сжимающую полугруппу. Преобразование Фурье для éK,R(}--A)if равно

е ? Л / ( Л + ш 3р ) ^

= ] j m e VR (?.; A) t - U j — у ^ Д

Лоо

так что преобразование Фурье для Г (£) равно е~1арр1^ {(а). Отсюда, в частности, следует, что

II г (О/II =*11/II,

и Т (0 на самом деле оказывается группой: ÖO

T(t)f = h, h (у) = J g(t,y — x)f(x)dx.

Теперь она уже не является равномерно непрерывной

	при t > 0, и полугруппа Т (/) не				компактна.
	П р и м е р	4.4. В о л н о в о е			у р а в н е н и е . Простей­
	шее одномерное волновое уравнение имеет вид
	д2і	_	д2[	— оо < * < оо, t > О,
	ді2 ~		дх2 ’

Полугруппы линейных операторов

193

с краевыми условиями

f(Q,x)

-ff(о. х )

Пусть f! ( • ). f2 ( ■) е ^2 ( - ° ° J

Лі (*. *) =

T ], (/, х) =

= f l (X),

=h W-

°°)- Положим

df (f, *) dt

d f (<, -V-) dx

Тогда исходное уравнение можно		переписать в виде
дНі (f, *) _	дт)2 (t,	х)
dt	dx
dr|2 (t, а:) __	дгц (t,	x)
dt	âx

Обозначая через л(^*) вектор-столбец с компонентами Лі (t, х), Лг (t, х), получаем

		дл (Л х) =		Ат\ (t, х),
где		dt
				â -
				дх
				0
Итак,	оператор	А	определен		на	классе функций
Л (*)={лі (х), ЛгМ)		из	гильбертова		пространства # =
= Lo( — оо, оо) X		(—	°о, оо),	первые производные кото­
рых тоже	принадлежат Н. Оператор					А диссипативен:
поскольку		Ш ,	+		о,
	№ f] = [ Q . h ] + [ % . t , ] = o-
В частности, если		\ k \ f - A f ,		то |А,| =		0.
Далее,	уравнение

Ч — Af = g

7 Зак. 751

194

Глава 4

соответствует

системе

уравнений

Dfi =

Xf2—

g

2>

Df2 = Xf[ — gl,

где

£> = d/öx. Ясно,

что при X >

0 эта система

для

ка­

ждого j e f f

имеет

в Н единственное решение.

Поскольку оператор А диссипативен, этого доста­

точно, чтобы

показать, что

|І^(Я; Л ) /||< Ш ,

Л >0 .

Действительно,

=

[ gfl,-

[Xf — А f, f ]

откуда [ g , f] = X[f, f],

так

что

Ч f, Ж

I lg

II

Ilf II.

т.е.

I l f II*£5I I g||Д , и утверждение

доказано.

сильно

не­

Таким образом,

оператор

А порождает

прерывную полугруппу, для которой при /

е О ( Л )

if[T {t)f,

T(t)f} =

0.

Поскольку

область

определения

оператора

А плот­

на,

это означает, что

II

т ( O f II—

II f

I

для

всех f е Я , т.

е.

Т (t) — изометрия. На самом же

деле мы построили даже группу:

для каждого t опера­

тор

T{t) обладает ограниченным

обратным.

Дифференциальные уравнения. Задача Коши

Пусть А — инфинитезимальный порождающий опера­ тор сильно непрерывной полугруппы (не обязательно сжимающей). Рассмотрим задачу Коши для дифферен­ циального уравнения

X {t) = Ах (t), / > 0,

где значение л: (0) задано и принадлежит области оп­ ределения оператора Л. Тогда

x{t) = T(i)x(0)

Полугруппы линейных операторов

195

дает одно из решений, поскольку, как известно,

j i Т (if)X(0) = AT (t) X(0).

Интересно выяснить, единственно ли это решение. От­ вет будет положительным, если потребовать дополни­ тельно, чтобы

IIX (t) — X(0) У-*■0 при t -> 0 + .

Очевидно, что решение T(t)x(0) обладает этим свойст­ вом. Предположим, что существует другое решение, обладающее этим свойством. Тогда их разность у (t) удовлетворяет условиям

у (0 = Ау (/),
</(0) = 0.
Положим для каждого t >	0
z(s) = T(t — s)	у (s), 0 < s < t.

Функция z(s) сильно дифференцируема (и абсолютно
непрерывна) и	і
z {t) — z (А) =	I ~ z(s) ds, 0 < Л < t,
	А
в то время как
z{s) = Т (t -	s) у {s) - Т {t — s) Ay (s) = 0.

Поэтому

z{t) = y 00 = z(h) = T {t — k) у (A).

Таким образом, поскольку г/(Д)->0при А-^-0, имеем

z{t) = y (0 = 0,

а так как это верно для всех t > 0, то функция y{t) тождественно равна нудю,

7*

196	Глава 4
Неоднородное уравнение
Рассмотрим	теперь неоднородное уравнение
	X (t) = Ах (() +	и (О, 0 <	t <	Т,
с заданным	начальным	условием	д:(0).	По аналогии
с конечномерным случаем можно ожидать, что
		t
x { t ) = T (t) X(0)		+ J Г (t — s) и (s) ds

о

будет единственным решением (если потребовать не­ прерывность в начале координат). Однако сначала надо разобраться, что понимать под выписанным выше ин­ тегралом. Минимальные требования, предъявляемые к функции и ( •), таковы:

(i) для каждого г/еЯ скалярное произведение [«($),//]

измеримо по s e [ 0 ,		Т] (слабая измеримость);
т
(ii) J	II« (s) |Р ds <	оо.
о
Тогда в	Н существует такой элемент y(t), что

		(
\у (0.	х] =	I [Т (/ — s) и (s), х] ds
		о
для каждого х е	Н.	Действительно,
s) и (s), '*j ds < М			II и(s) IPds ІІ XII,

где

1|Г(0 IK М, 0 < t < T ,

и рассматриваемый интеграл определяет непрерывный линейный фукционал на Н, который и отождествляется с у (t). Заметим также, что

IIУ(0II ^ М

II« (s) |р ds.

Полугруппы линейных операторов

197

С другой стороны, в отличие от конечномерного слу­ чая необходимо ослабить понятие „удовлетворяет диф­ ференциальному уравнению“. Теперь будем считать, что x{t) удовлетворяет дифференциальному уравне­ нию, если для каждого элемента у, принадлежащего области определения оператора А4 (а эта область плотна),

- J - И О , у ] = [ * ( * ) . Л 'у ] + [ы (/), г/]

почти всюду для t е (О, Т)

и

II x(t) — X(0)	II —> 0 при t -> 0 + , X (0) e ü (Л).
Покажем, что	тогда

X (t) = Т (i) X (0) + Jt Т {t — s) и (s) ds

о

является единственным решением нашего уравнения. Докажем сначала единственность. Допустим, что суще­ ствуют два таких решения. Тогда для каждого хе£>(Л*) их разность y(t) удовлетворяет соотношениям

■ji [У if), х] = [у (t), Л*х] почти всюду для t <= (0, Т),

IIУ (t) II-> 0 при t-+0 + .

Как	и раньше,		положим
так	что	z{s) = T{t — s)y (s), 0 < s < t,
		~	[г (s), х] = 0,		0 < s < t,
и потому [z (t), х] = [у {t),				х] =	0 для каждого х е й (Л*),
т. е.	у (t) =	0.
Теперь		найдем
где		.	- ^ - [0 (0 ,4		X<=D{A'),
			V ( / ) =	T(tJ — s) и (s) ds-,
			о

198		Глава 4
легко	видеть, что
	j{u(s),	T ( t - s ) 'x ] d s =
	о
	t
=	[и (t), л:] + С[Т (if — s) и (s) ds, А*х] ds почти всюду
	о
и, следовательно,
	[х (0, х] =	[и (/), х] + [X (t), А'х],

что и требовалось доказать.

Если наложить на и (t) дополнительно условие глад­ кости, например потребовать, чтобы функция и (t) была сильно дифференцируема и «(0) = 0,то решение

і

о (0 = I T(t — s) и (s) ds + Т (/) X(0), t( O ) e l) (Л),

о
будет абсолютно	непрерывным	и
V (t) =	Аѵ (t) + и (t)	почти всюду.

Доказательство этого утверждения предоставляется чи­ тателю.

Другой замечательный факт в этой связи состоит в следующем. Пусть пространство Я сепарабельно. Обо­ значим через Я (Г) гильбертово пространство слабо из­

меримых	функций «(•), принимающих значения в Я
и таких,	что
	т
	J ||и(/) |Р dt < оо,
	о

причем скалярное произведение в этом пространстве

задается формулой

т

[и, ü}=-- J [u{t), V {t)\dt.

о