книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Полугруппы линейных операторов

199

(Проверка того, что это пространство действительно является полным предгильбертовым пространством, пре­ доставляется читателю.)

Класс £>о	бесконечно	дифференцируемых функций
с компактным	носителем	в	открытом интервале (О, Т)
плотен в этом	пространстве.		Уравнение

t

V (t) — J Т (t — s) и (s) ds

о

определяет линейный оператор L, отображающий Я (Т) ' в Я (Т). Этот оператор принадлежит классу операторов Гильберта — Шмидта, поскольку

т т

J J||Г (t — s) Ip dt ds < oo.

о0

Кроме того, функцию Lu можно сколь угодно точно приблизить функцией Lun, где ип е D0.

Управляемость
Рассмотрим неоднородное уравнение
x{t) = Ax{t) + Bu{i),	(S)

где, как и раньше, А — инфинитезимальный порожда­ ющий оператор некоторой сильно непрерывной полугруп­ пы Т (t), В принадлежит пространству Я, а и (і) — чис­ ловая функция, измеримая по Лебегу и такая, что

т

J II и (0 \fdt<oo

о

для любых Т > 0. Будем называть объект, описывае­ мый уравнением (S), системой, а элементы простран­

ства	Я состояниями этой		системы. Множество состоя­
ний,	достижимых из	начала		координат за время Т,
т. е.	множество элементов		из	Я вида
	X(Т) ==j	г
		Т {Т — s) Ви (s)ds,
	о	■

200	Глава 4
где
г	и ( 0 2IIdt < оо,
J II
о

обозначим через ЩГ). Систему называют управляемой,

если множество плотно в Н.

т

Заметим, что й(Т) можно представить в виде объ­ единения компактных множеств. В самом деле, оператор

г

L (и) = J Т (Т — s) Ви (s)ds,

о

отображающий Ь2(0, Т) в Я, компактен (в действитель­ ности принадлежит классу операторов ГильбертаШмидта) и переводит единичный шар из Ц (0, Т) в замкнутое и, значит, компактное множество.

По аналогии с обозначениями в конечномерном слу­ чае будем понимать под В*ѵ скалярное произведение

[Я, а].

Т е о р е м а			4.4. Для		того чтобы система (S) была
управляемой,			необходимо		и	достаточно,		чтобы	из	ра­
венства			В‘Т (()' у =			0,	0,
следовало,		что у — 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Необходимость.			Возьмем		эле­
мент у, для которого
			В*Т {ty у =			0,	0.
Тогда при всех и( •) и				Т
-	т			-]		т
	J Т(Т — s) Ви (s) ds,			у	=	J [и (s), В'Т (Т— s)* у] ds,
-о				J	o
так	что	элемент у ортогонален					множеству (J		Q (Т),
а так как		оно	плотно,	то у = 0.				т

Полугруппы линейных операторов	201
Достаточность. Будем доказывать от	противного.

Предположим, что множество (J Q'(T) неплотно. Тогда

т

найдется ненулевой элемент у, для которого [ЩГ), г/] = 0 при всех Т, т. е.

т

J [u(s), B 'T { T - s )'y ] d s = ü

о

для всех и (•) е Z-2(0, Т). Поэтому В'Т (Т — s)* у = 0, или

B'T{t)'y = 0,

0,

что приводит к противоречию.

С л е д с т в и е 4.2. Для того чтобы система (S) была управляемой, необходимо и достаточно, чтобы множество {T(t)B: 0} было плотно в Н.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Нетрудно проверить, что усло­ вие следствия эквивалентно условию теоремы 4.4.

З а м е ч а н и е 4.3. Теорему 4.4 легко обобщить на случай, когда функция и( ■) /г-мерна, и даже на случай, когда она принимает значения в другом гильбертовом пространстве.

	З а м е ч а н и е	4.4. Пусть і: е £1		(Г).	Тогда	найдется
последовательность функций
	ип (t) = В*Т (Т — 0* Уп,		iJn^D{A'),		0 < г < 7 \
для	которой	х = lim L (ипу,
это	следует из	того, что	любую	функцию		и ( - ) из

L2(0, Т) можно представить в виде суммы элемента из нуль-пространства оператора L и элемента из замыка­ ния множества значений оператора L*. Заметим, что

y(t) = T ( T - t y у,	y ^ D { A %
удовлетворяет сопряженному уравнению
г/(0-Ы *т/(0 = 0,	у{Т) = у.

202

Глава 4

Наблюдаемость (приведение пространства состояний)

Рассмотрим систему

х (/) = Ах (t) + Ви (t), V(t) = Сх (/),

где С — ограниченный линейный оператор, отображаю­ щий Н в другое гильбертово пространство Д0. Как принято в приложениях, будем называть «(•) входом, а V(•) выходом системы. Будем говорить, что система приведена (т.е. имеет приведенное пространство состоя­ ний), или наблюдаема, если из равенства

	CT{t)x = 0,	0,
следует, что х — 0.		том, чтобы найти л:(0),
Задача	теперь состоит в
зная v{t),	0, и вход системы, и решение этой задачи

единственно тогда и только тогда, когда система при­ ведена.

Данную систему всегда можно переписать для при­ веденного пространства состояний так, чтобы сохранить

все соответствия между входами	и выходами.Действи­
тельно, множество
20 = {х: СТ{1)х = 0,	0}

есть замкнутое линейное подпространство в Н. Обозна­ чим через НI его ортогональное дополнение, а через Р соответствующий оператор проектирования. Легко ви­ деть, что

	PT{t)x = PT{t)y,			f > 0 ,
если Рх = Ру. Поэтому для х е				D (А)	и у е	D'{А)
			РАх = РАу,
если	Р(х — у) =	0.	Обозначим	через	P~lz,	г е Д , , та­
кой	элемент х е	Я,	что Рх = г.	Заметим,		что

f{t) = PT(i) Р~1

определяет сильно непрерывную полугруппу на Н\ с ин­ финитезимальным порождающим оператором Ä = P A P ~ l.

Полугруппы линейных операторов

203

Кроме того, так как С20 = 0, то

СТ (0 X=	СРТ (і) X= СРТ (t) р -'Р х =		СТ (t) Рх,
и потому
t
СТ (t)x(0) + J	C T ( t - s ) Ви (s)ds =	v{t) =
о
	t
	= Cf{t) Рх (0) + I	C f (t -	s) (PB) и (s) ds.
	d

Таким образом, рассматривая Я, вместо Я,			можно
описать нашу систему уравнениями
y(t) =	Ây(t)+ (PB)u(t),	у (0) е Я 1(
v(t) =	CP~ly(t).

Разумеется, С, как и раньше, является ограниченным линейным оператором, но теперь он определен на Я (.

Управляемость. Продолжение

Точно так же как мы описали систему в приведен­ ном пространстве состояний, можно дать описание только для управляемых состояний, но тогда это опи­ сание будет соответствовать лишь управляемой части системы. Сохранив все обозначения, введенные в раз­ деле об управляемости, обозначим через множество

управляемых, или достижимых, состояний:

2с= и а ( Г ) ,	Т > 0;
т

тогда І,с — линейное подпространство. Это непосредст­ венно вытекает из того, что

204 Глава 4

и, значит, при То > Tt
т,		г,
J T(Tt — s) Вщ (s) ds +		I	Т(Т,— s) Вщ (s) ds =
о		0			Тг
				= J T (s) Bv (T-2 — s) ds,
где					0
	Uo (To — S )		-(- U |(7'| — s),			0 < s < T u
V(Г, — s) =		S),				T i < s < To.
	Uo(To
Обозначим_замыкание множества 2C (в H) через 2С.
Ясно, что 2С— ортогональное				дополнение подпростран­
ства
	[Z-. ß T ( 0 * 2 =			0 ,	0 } .
Более того, для каждого			х е	2<,	элемент Г (і) х также
принадлежит 2С при всех t. Действительно,
т				T+t
T(t) J	Т ( Т ~ s ) B u ( s ) d s =			I	T(T + t — s)v(s)ds,
О				0
где		0 <		s <	/,
		в противном случае.
Так как	T(t) отображает		2С в себя, то			очевидно,	что
А отображает D(A) П		в 2С, поскольку множество О (Л)
плотно в	2С. Обозначим сужение				оператора Т(і) на		2С

через T(t), а соответствующий инфинитезимальный по­

рождающий оператор через А. Заметим, что Т (t) — сильно непрерывная полугруппа в гильбертовом про­ странстве 2С. Наконец, В принадлежит 2С, так как В есть не что иное, как предел элементов вида

у Jt T(s) В ds, t-> 0,

о

и каждый из них принадлежит 2„.

Полугруппы линейных операторов

205

Таким образом, система, ограниченная на простран­ ство управляемых состояний, описывается уравнениями

x(t) =	Äx(t) + Bu{t),	x(0)<=Sc,
v[t) =	CPcx(t),

где Pc — оператор проектирования на 2е.

Если система в пространстве состояний Н неуправ­

ляема, то не всякую	пару	вход — выход [u(t),v(t)}
можно получить таким	образом. Если же система упра­
вляема, то	t
v{l) = CT{t)x{0)+ J		C T { t - s)Bu(s)ds
	0

и, поскольку

0

,v(0)= J T{ — s)Bv(s)ds

- T

для некоторого элемента v (• ) или предела последова­ тельности таких элементов, можно записать

1

v{t)= I W(t — s)u(s)ds,

где

W{t) = CT(t)B.

Итак, мы показали, что уравнения, описывающие динамику системы, всегда можно преобразовать так, чтобы в них использовалось лишь приведенное про­ странство состояний. Предположим поэтому, что система приведена. Возникает вопрос: можно ли, располагая лишь зависимостью между входом и выходом (одним скалярным входом и одним скалярным выходом)

t

v { t)= J W (t — s)u(s) ds,

восстановить соответствующую полугруппу, т. е. по­ строить такое же описание этой динамической системы, как то, с которого мы начали? Совершенно ясно, что

206	Глава 4
для	такого построения придется наложить на функ­
цию	W (t) дополнительные ограничения. В дальнейшем

мы будем предполагать, что функция W (t) непрерывна при / > 0 и

11F(О I ^ М ехр Я t

(W(t) экспоненциально растет на бесконечности). Обозна­ чим через Б подпространство функций и( • ) е Я 2 (— оо,0), отличных от нуля лишь на конечных интервалах, а через L отображение, определяемое соотношениями

Lu =	f,
f{ t) =	0	W(t — s)u(s)ds,
	J		0.
	— oo
Ясно, что L — линейный оператор,			а функция f(t)
непрерывна при f		0. Кроме того,

ехр Я/,

где Ми зависит от функции и( •).

Обозначим через Я (а) класс таких (измеримых по Лебегу) функций g (•), что для фиксированного а > 2Я

00

1 g(t)2e~aldt < оо.

о

Задавая скалярное произведение равенством

оо

[h, g] = \ h{t) g (f) e~at dt,

о

мы наделяем Н(а) структурой гильбертова пространства, причем L отображает £ в Н(а). Пусть Бд — образ мно­ жества Б при отображении L:

(Подпространство состояний Б^ плотно в топологии пространства Н{а). Если исходная система была опре­ делена в приведенном пространстве состояний, то, есте­ ственно, равенство L« = 0 влечет за собой и = 0.)

Полугруппы	линейных операторов	207
Определим полугруппу операторов		переноса 5(0
на Н (а):
S{t)f — g,	g(s) = f{t + s),	0.

Легко видеть, что полугруппа 5(0 сильно непрерывна.

Более того,	для каждого	/ > 0
Действительно,		с: 2R.
S (0 Lu =	JоW {t + s — о) ц (or)		da =
— СО		J0W (s — er)		V(er) da, s ^ 0,
	=
где
	v{a ) = [ U{t + a)’		а < ~	1'
	10,		- * < 0 < O ,

так что S{t)Lu = Lv, o e l

Заменим функцию W (t) ее полугрупповым пред­ ставлением W(t) = CT(t)B и заметим, что

S(t)Lu = CT(s)T{t)xu, s > 0,

где

о

хи — [ Т(— а) Ви (о) da,

и

[Lu, Lu\H(а) = [Rxu, su]ff)

где

		00
	R x = y ,	у = оJ	T(t)*C’ CT(t)xe~at dt.
Следовательно, равенство			Lu = 0 эквивалентно равенъ
ству	Rxu — 0.	линейный функционал F:
Зададим на
где	f{ -) = Lii'	F(Lu) = f( 0),

208	Глава 4
Он корректно	определен, поскольку Lu — непрерывная
функция. Заметим также, что функция		W (t) принад­
лежит Я (а);	обозначим ее через W. В	действитель­

ности W принадлежит замыканию (в Н(а)) множества 2Д. В самом деле, последовательность функций

	о
g,i(t) = n	[ W (t — а) da,	0,
	-l'/Л
очевидно, сходится	к W (t). Обозначим	через М ото­

бражение множества Ед в множество значений опера­

тора jR:

о

М (Lu) = хи — J" Т ( — сг) Ви (а) da.

—оо

Оно устанавливает линейное взаимно однозначное соот­ ветствие между Ед и Ее (элементы вида

о

J Т ( — ст)Ви(а) da

—оо

образуют множество 2С, плотное в Я, поскольку си­ стема управляема).

Предположим теперь, что оператор R таков, что (на множестве его значений, если система не приведена)

[Я*, X]^	ш [.V, х],	пі > 0.
В этом случае
m [хи, хи] <	[Lu, Lu\ =	[ Rxu, xtt]

и, значит, М отображает гильбертово пространство 2Д на гильбертово пространство Я так, что

	II М (Lu) |р	HZ.«)!2
		nt

II Lu Ip ^ К/? IP II M (Lu) Ip.

Следовательно, оператор M обладает ограниченным

обратным (М гомеоморфно отображает Ед на Я). Кроме того, MS(t)Lu — T(t)M(Lu).