книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Функции, преобразования, операторы	139
поскольку Ат —> 0. Но так как этот интеграл	обра­

щается в нуль на функциях из нуль-пространства опе­ ратора А, то

R(t, s) — Rodt, s) = 0 почти всюду.

В частности,

lim II А — Ап l|fHS = 0.

Далее, А = У А*А и, следовательно, оператор А ядерный тогда и только тогда, когда

СО

2 К < оо-

С другой стороны, если

ТП

Zm{t, s) = R(t, s)— 2I

а Tm — оператор с ядром Zm> то для любой функции fe=L2(0, Т)

00
[Tmf, f] = [Af, f ] - 2 V « = 2	+1	K f l > 0.	%],
m
так что оператор Tm неотрицательно определен.			В силу

непрерывности функции R(s, t) собственные функции оператора Тт, как легко проверить, непрерывны (мно­ жество значений оператора А содержит лишь непре­ рывные функции). Следовательно, функция Zm(t, s) не-'

прерывна по s и по і.						U < T и
	Пусть	теперь
		ы	о	=	all	/,		А,
					о	в противном		случае,
		Ы 0 =			а2,	<	*2 +	А,
					О	в противном		случае.
Возьмем f =			/ i + / 2-		Тогда
			£n+/i +Л
Ö<[7*wf, f] =			j	J	alZJt, s)dtds +
	/| + /l /j-f/t		t2	U			^2+Л *l+ /l
+
	{ J	d[Zm(t, s)dtds-\-2a]ai					^	JZm(t, s) dt ds ^ 0 .

t, tk

. и t,

140 Глава 3

Поделив все члены этого				неравенства на h2 и устремив
h к нулю,	получим (в		силу непрерывности Zm(t, s))
а \ ^ т	0ч> ^l)	a 2 ^m	( f i'	^2) "Ь ^ a ia 2 ( ? l > ^2) ^
и вообще для любых конечных наборов {aj и {/г}
	2	2		Ь) аі ^ о,
	і	і

т. е. функция в левой части положительно определена. В частности, Zm(i, t ) ^ 0 и потому

R(t, 0 > 2 W O 2,

где правая часть сходится. Но этого достаточно для того, чтобы сделать вывод о сходимости последова­ тельности функций

П

2 КУт (І) Фт (s)

1

к некоторой непрерывной функции. Действительно, в силу неравенства Шварца

£i h<Vk (0 Фа(s) <(2 ^аФа(02Д2 h < P k ( S ) 2) <

<(2 ^ аФа (s )2) R ( s , s ) < M 2 ^ аФа (s )2.

Итак, функция Zm(t, s) равномерно сходится по t при фиксированном s и по s при фиксированном t, так что ее предел непрерывен по каждой переменной в отдель­ ности. В то же время мы видели, что предел в средне­ квадратическом функции Zm(t, s) должен быть равен нулю. Поэтому R(t, s) можно представить в виде (извест­ ном как разложение Мерсера)

оо

R (*, s) = 2 ^ аФ'а W Фа («),

Функции, преобразования, операторы

141

где ряд в правой части сходится равномерно				по t и s
на компактном отрезке [0, Г]. Отсюда
		со
		R(t, 0 = 2U*<p*(02,
		1
и значит, оператор А ядерный и
		т
		tr А = J R(t, t) dt.
		О
Обобщим этот результат на случай матричных ядер.
Пусть	H = L2(a,	ЬУ', интервал (а, Ь)	конечен,	а ядро
R(t, s)	является	(q X ^-матрицей. Мы	будем	называть

такое ядро корреляционным, если для любого конеч­

ного набора точек {^-} из [а,		b] и любых	векторов о*
из Е„
m	m
2	S [R {tu t,) vh 0|] > 0 ,	R (t, s) =	R (s, t)\
/=i i=i
Пусть R (t, s) — корреляционное ядро,			непрерывное
В прямоугольнике a ^ . t , s ^ b .		Тогда соответствующий
оператор	А ядерный и

ь

tr А = J tr R (t, t) dt.

а

Разложение Мерсера в этом случае имеет вид

оо
R(t, S) = 2 1	(Офі (s)’>

где Ki — (ненулевые) собственные значения оператора А, а ср* (■) —соответствующие им собственные (ортонор­ мальные) функций в форме (^ХІ)-матриц. Очевидно, что эти собственные функции (соответствующие нену­ левым собственным значениям оператора) непрерывны, а ряд Мерсера равномерно сходится.

142 Глава 3

/^-пространства над гильбертовыми пространствами

Для исследования задач, в которых используются уравнения с частными производными, нам понадобятся /^-пространства над гильбертовыми пространствами, и сейчас удобно их рассмотреть. Чтобы не перегружать изложение, мы рассмотрим лишь случай, когда основ­ ное гильбертово пространство сепарабельно. Итак, пусть Я — сепарабельное гильбертово пространство. Функция u{t), принимающая значения из Я, называется слабо из­ меримой (по Лебегу) в интервале а < t < b, если для любого элемента с из Я измеримо скалярное произве­ дение [ц(<). и]. Поскольку пространство Я сепарабельно, из измеримости [«(/),о] следует измеримость по Лебегу функции Ии(t) |р.

Рассмотрим класс таких слабо измеримых функций и(t), а < t < b, что и (t) е Я почти всюду и

ь

J | | и ( * ) | р г Н < о о .

а

Очевидно, что этот класс образует линейное простран­

ство.	Введем			скалярное	произведение в нем:
						ь	[ и	( /v(t)]dt,.
				[и, v ]=	а	J
Докажем,			что заданное				так	скалярное произведение
корректно			определено.			Пусть			{срк} — ортонормальный
базис в Я. Обозначим						для		функции u{t) из рассмат­
риваемого			класса						<рА].
				ak(t) =			[u(t),
Легко	видеть,			что ак( ■) е			L2[fl,		Ь]. Более того, так как
			00	'I ak (t) I2 =
			2		II	и(ОІР почти всюду,
ТО			1
		Ь		Ь		ОО			fr
00
2	1	\ \ a h{t)?dt=				I			\2dt=\\\u{t)\fdt.
		а		а					а

Функции, преобразования, операторы

143

Для произвольной функции ü(t) из рассматриваемого

класса положим

аналогично

Тогда

М 0 = И 0 .

Фаі-

со

[«(/), v{t)\ =

ak {t)bk{ty,

2

I

очевидно,

что

левая

часть

измерима

по

Лебегу.

Так как

1 [ и ( 0 .

о ( 0

]

К

II« (О II

-II

о

( О II,

то

,2

Ь

Jl[«(0.

v(t)]\dt\

<

\ W H t ) f d t J||o(0IPd/==

'ü

/

f l

А =

!!«(•

)lPllo(-)IP,

откуда

J \u(t),

ü( 0

] ^

=

2ak{t)bkJ

{t)dt.

Таким образом, наше скалярное произведение кор­ ректно определено и, значит, рассматриваемый класс является предгильбертовым пространством. Это про­ странство полно. В самом деле, если {«„( ■)} — после­ довательность Коши, то для любого k функции

a{b\t) = [un(t), ФА]
образуют последовательность Коши		в L2(a,	b)\ обозна­
чим ее предел через ak(t). Легко		видеть,	что «■„(•)
сходятся к функции	и(-), определяемой соотношением
[«(*)> Ф*І == а* (О-
Обозначим это	пространство	через L2((a,		b), Н).
Его можно охарактеризовать еще и по-другому.				Если

дана последовательность гильбертовых пространств Нп, построим новое (гильбертово) пространство, которое назовем бесконечным прямым произведением исходных пространств. Для этого возьмем последовательность

144		Глава	3
		ОО	о о ,
{*,.}> где хпе= Нп,		Уі II хп||2 <		и зададим	скалярное
произведение		I
	формулой
		00
		[•*•> У\ ==1 2	[хп,	1/ц]'
		1
Это пространство полно; обозначим его					через	Н^.
Тогда Ь2{(а, Ь), Н) = Ноо, где Hn=>L2(a, b)					для всех/г.
З а д а ч а	3.8.	Пусть последовательность			{«„(■)} из
І 2([а, 6], Н)	сходится к и( • ). Тогда из нее				можно	из­
влечь подпоследовательность,			сходящуюся к м( • ) почти
всюду на [а, b].			|| uk (t) —■и (t) ||.		Тогда	из
Указание.	Пусть gk (t) =

условия

ь

J gk{t)2dt-> 0

а

следует, что подпоследовательность {g*.( •)} почти всюду сходится к нулю.

З а д а ч а 3.9. Пусть при каждом п пространство Нп гильбертово. Покажите, что пространство последова­ тельностей {лг„}, хп е Нп, для которых

			00
			2	(«ОІІ-^ІІ2 <		°°>
			1
гильбертово		относительно			скалярного		произведения
				00
		[-^і	у\ == 2		(ß!)[JC/ii Уп\‘
				I
З а д а ч а		3.10.		Покажите,		что		пространство
L2{(a, b)>	Н)	сепарабельно,			и найдите			в нем полную
ортонормальную последовательность.								ортоңормадьңая
Указание.		Пусть		{<рй (/)} — полная			ä
последовательность			в	L2((a, b),		Н),		{ßfe} — ортонор-
мальный	базис в Н.			Рассмотрите последовательность

{ф*(Ов*>-

	Функции, преобразования,				операторы	145
П р и м е р	3.7.	Пусть		Я — сепарабельное		гильбер­
тово пространство		и	JF — гильбертово пространство
операторов	Гильберта — Шмидта,				отображающих Я
в Я. Мы уже видели,			что пространство JC также сепа­
рабельно. Обозначим через D множество
	{(/, s): a ^ s ^ . b , csS^t^d}.
Пусть W(t, s) — элемент				из L2{D,	Jf), а « ( • ) —элемент
из L2([a, b\,	H). Тогда		соотношения
Tu — V,
	ь
V (t) = I		W (t,	s) и (s) ds,		c ^ . t ^ . d ,

а

определяют ограниченный линейный оператор Т, ото­ бражающий L2([a, b], Я) в L2{[c, d], Я). Оператор Т принадлежит классу операторов Гильберта — Шмидта и его норма Гильберта — Шмидта равна

d	b
II Т Hhs = J	I \\W{t, s) ||hs ds dt.

са

За д а ч а 3.11. В рассмотренном только что примере

положим		а = с,		b — d,	— оо < а, 6 < +		оо,	и пусть
K{t, s)	из	L2{D,		jT) есть корреляционное ядро, т. е.
			m	ш	t,)x„ л-/1>0.
			S	2 [К to,
			1=11=1
Пусть	ядро		K(t,	s) непрерывно		по норме	Гильберта —
Шмидта		в	прямоугольнике			a ^ s , t^ .b .		Наконец,
пусть отображение K{t, t) ядерно. Покажите,								что тогда
Т — ядерный оператор и

ь

t r 7 W j trK(t, t)dt.

а

Покажите, что для K{t, s) существует разложение
Мерсера
00
К (/, s) = Уі	(/) ф, {s)\
1

146 Глава 3

где фі ( ■) — собственные			функции,		соответствующие
ненулевым	собственным		значениям		Xh функции	(t)
непрерывны	на	отрезке a ^ . t ^ . b ,			а ф; (t) ф( (s)* — опе­
ратор, задаваемый соотношением
	Фі	( 0 Фі { S ) * X =	ф ; {t) [ ф і	( s ) , Л '].
Этот оператор,		очевидно, ядериый, причем
	tr Фі (/) ф£ (s)* = [ф, (0.			Фі (•*)]•

Указание. Непрерывность собственных функций вы­ текает из неравенства

ь

{ {K(t + Д, s ) - K ( t , s))f(s)ds

а

Ь

< Jllfftf + A, s ) - K ( t , s)\\llsds\\ff.

Так как оператор Т неотрицательно определен, то все его ненулевые собственные значения положительны. Тогда, как и раньше, функция

	Z„ (i,	s) =	К (t,	s) — 2	Xtfi (t) фі (s)*
				1
задает	неотрицательно			определенный		оператор	на
L2{[a, b],	Н), а также на Н при				фиксированных (t,		s).
П р и м е р		3.8.	В о л ь т е р р о в ы			о п е р а т о р ы .
Продолжая предыдущий пример, зададим оператор L
соотношениями
Lu — V,
	t			b t

ö ( 0 = W(t,J s)f{s)ds, J JII W(t, s)fH5dsdt < oo.

а

а а

Этот оператор отображает L2{[a, b], Н) в себя. Тогда оператор L вольтерров и квазинильпотентен. Доказатедьство такое же, как в конечномерном случае.

Функции, преобразования, операторы

147

Полилинейные формы

Полилинейные формы играют важную роль в общей теории нелинейных преобразований, а кроме того (по крайней мере билинейные формы), представляют само­ стоятельный интерес. Полилинейные формы являются естественным обобщением линейных преобразований.

Итак,	пусть	f(xb ... , хп) — функция от п переменных
Хі, і =	1, ... ,	п, Х і ^ Н , принимающая значения в дру­

гом гильбертовом пространстве Y. Такую функцию называют полилинейной (п-линейной) формой, если она линейна по каждой из своих переменных в отдель­ ности. Полилинейная форма называется симметриче­ ской, если она принимает одно и то же значение при всех перестановках своих переменных, и непрерывной, если она непрерывна по каждой переменной в отдель­

ности.	Например,				пусть Н = L2(a, b), а	функция
K(t, Sj, ....		s„)	такова, что
d	b		b
J	dt [	...	J I	K{t, s,........ sn) fdSi ... dsn <		oo .
c	a	а
Тогда	функция
g(t) =	Jь • ■•	Jь K(t,		S|,	... , s„)/, (s,)... ftl(sn)dsi	... dsn
а		а

определяет /г-линейную форму, отображающую Ь2(а, Ь) в L2(c, d), непрерывную, поскольку

I

••• J |

S„ ... , s„)N s, ...

II/, II2 ... II/„II2,

- и симметрическую, если K(t, Si, . .., sn) — симметриче­ ская функция относительно (г = 1, ... , /г). Заметим, что для фиксированных t и (sj

IC{t, S), . .. , s„) а, ... an

есть симметрическая /г-линейная форма относительно вещественных чисел. Вообще можно было бы начать

148

Глава 3

с рассмотрения полилинейной формы, отображающей одно евклидово пространство Ер в другое евклидово пространство Ет. Однако изложение тогда было бы сложнее.

Итак, пусть К{х\, •••, хп) — полилинейная форма, отображающая Ер в Ет. Обозначим через {е,} ортонор­ мальный базис в Ер, а через {«;} ортонормальный ба­ зис в Ет. Тогда К(хь ... , хп) можно представить в виде

К (л-],	• • •, Хц)	т		хп) Ui,
		1	/е((,Ѵ]> ■• •,
где		1
		р
	хі = 2		a/е/,
	р	/=I
			р
ki (х,........ хп)			.... /	Ц/ ■• •	>
	'1=1		п=‘	1
...../„ = 2	ki (е,р . .. ,	еіп) 2 U<(ßt,..........ein), щ).

Это представление верно для любой полилинейной формы, отображающей одно конечномерное простран­ ство в другое; непрерывность здесь не требуется. Если же нам нужна симметрическая форма, то мы должны потребовать, чтобы каждая функция ki (eii, ... , е,п)

была инвариантна относительно всевозможных пере­ становок множества {е(/}. Пользуясь полученным выше

представлением, мы можем утверждать, что функция

ьь

g{t) = { •.. J K(t, slt ..., sn, f,(s,), ...,fn(sn))dsi.. .dsn,

аа

определяет симметрическую непрерывную n-линейную форму, отображающую Ь2{а, b)q в L2(c, d)p, при усло­ вии, что K{t, Sj, ... , sn, Xi, .... xn) — симметрическая n-линейная форма для фиксированных t и {s{}, отобра­ жающая Eq в Ер, симметрическая относительно пере-