книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Основные свойства гильбертовых пространств

39

Действительно, предположим, что supII/а (*) || = + оо.

а

Тогда можно найти такую последовательность {/„(•)}, что

sup II f n ( - ) 11= + °°

П

вопреки доказанной теореме.

З а м е ч а н и е 1.2. Полученный результат тривиаль­ ным образом обобщается на случай любого семейства непрерывных линейных преобразований, отображающих одно гильбертово пространство в другое. Действительно, пусть Га (*) отображает Я, в Н2 и для всех х из Ну

sup II Та{х) И< оо.

Тогда для любого х из Ну

sup I [Га (*), у] I < оо.

ІІх/ІК I

Но		ТаУ],
[ТаХ, у] = [х,
где Та — сопряженное	преобразование, и поэтому
sup	sup II l a y	II < О О ,
М < 1	а

ИЛИ	sup II Га II < оо.
sup II г; || =
а	а

С л е д с т в и е 1.4. Пусть {f„(-)} — последователь­ ность таких линейных функционалов, что для каждого х из Н последовательность {/„(*)) сходится. Тогда найдется непрерывный линейный функционал f( - ), для которого

П

||/(.)1 К И т ||/„ (')1 |.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно принципу равномер­ ной ограниченности,

І І / Л - ) І К М < о о .

40	Глава 1
Положим	/(*) =	lim/„(*)•
Очевидно,	что функционал f ( - ) линеен.		Пусть
II хт — д:II—>- 0. (Сходимость		такого типа, т. е.	сходи­

мость по норме, мы в случае необходимости будем

называть	сильной, чтобы отличать	ее от слабой схо­
димости.)	Тогда
\f(xm — x)\ = lim I fn(xm — x) К		M II xm— x || 0
	n

и, следовательно, функционал f ( - ) непрерывен. Кроме

того, для любого X,	для которого IIX ||= 1 ,
I f(x) I =	lim 1fn{x) К lim IIМ •) Il-
С л е д с т в и е 1.5.	Пусть [fn( - )}—последовательность

непрерывных линейных функционалов, для которых

IП\

и{/„(*)} сходится при каждом х из некоторого плотного подмножества в Н. Тогда найдется непрерывный линей­ ный функционал f{-), для которого

lim f„{x) = f{x),

П

если только этот предел существует. Более того, указан­ ный предельный функционал единствен.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы докажем, что на самом деле {/„(х)} сходится при любом х из Н. Обозначим через {х„} аппроксимирующую последовательность эле­ ментов данного плотного множества:

IIX хпИ >0 .

По условию {fm (хп)) сходится по пг. Возьмем число р настолько большим, чтобы для заданного е > 0 вы­ полнялось неравенство

\ \ х - х р\\< w -

а затем выберем такие числа п и пг. что

І Ы * р ) - и * р Ж | .

Основные свойства гильбертовых пространств	41
Тогда
I fm(x) — fn(x) К
< 1 fm{x — Xp) — fn{x — Хр)\ + \ fm(хр) — fn (хр) I <

< 2 А Г |и - * р || + | < е

и, следовательно, ff„(x)} сходится. Теперь осталось при­ менить следствие 1.4.

Подчеркнем, что в этом следствии нельзя опустить ни условия плотности множества, на котором сходится (f„(x)}, ни условия ограниченности.

Определенный интерес представляет вопрос: когд^а слабая сходимость влечет за собой сильную сходимость?

Удобных	общих условий	нет.	Но на следующее стоит
обратить	внимание.
Т е о р е м а 1.5. Пусть		{хп}	слабо сходится к х и

{||л:„||} сходится к ||х[|. Тогда {хп} сильно сходится к х.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В самом деле,

\\хп — * II2 =	I U „ ! P + !I*[хпI P, —х] —		]х,	хп]	>
	- 4 1	я	II2 +	1*	II2 —	2 х[]лг=, 0.
Гораздо	более удобный для	приложений				результат

ослабой сходимости принадлежит Банаху и Саксу.

Те о р е м а 1.6. Пусть {хп} слабо сходится к х. Тогда можно найти такую подпоследовательность {.хпft], что

последовательность средних арифметических

—m	У1—1 ХПу
сильно сходится К X.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Очевидно, что без ограниче­

ния общности можно считать х = 0. Будем выбирать x-k следующим образом. Положим

Хп, = Х[.

42			Глава 1
В силу слабой сходимости можно выбрать хПі так,					чтобы
		I	[х,і„ хп.,] I <С 1.
Выбрав	хП{,	xnk,	можно,	очевидно, взять	Xnk+]
таким,	чтобы
	І[*лг,	*nft+I] | < y ,		і = 1, 2,

А так как, согласно принципу равномерной ограничен­ ности,

< О О ,

то с помощью обычных правил вычисления скалярных произведений находим

I V	- У [ ш +	2(fe~ 1)	2 (А — 2) ,	, 2 1
Ь Z J		k — 1	~ 7 = Г +	+ t J -

что доказывает сильную сходимость к нулю средних арифметических.

Приведем один важный пример применения этого результата.

П р и м е р 1.8. Пусть Н = L2(0, 1) и {«„(/)} —после­ довательность таких функций, что почти всюду по t

un(t)E=Cv,

где Сѵ — замкнутое ограниченное выпуклое множество. Тогда существует подпоследовательность [unk{ •)), слабо сходящаяся к и0(•), где и0(t) е Сѵ почти всюду по t. {Указание-, если через С обозначить множество

{/ (0: f V) е с ѵ почти всюду},

то, как уже отмечалось, С замкнуто и выпукло; к тому же здесь оно еще и ограничено. Поэтому (в силу слабой

компактности) можно найти подпоследовательность {“"*(')}• слабо сходящуюся к и0(-)> а по теореме 1,6

М - ) е С . )

Основные свойства гильбертовых пространств

43

Если	множество		С не	выпукло, то этот	результат
неверен.	В самом деле, пусть С — множество,				состоящее
из двух	точек	—1	и +1,	Н = L^(— 1, +1) и
			un(t)	sin nt
				I sin nt I
Легко видеть,		что в этом случае {ип( •)} слабо сходится
к нулю.

Наконец, отметим, что теорему 1.6 можно было бы сформулировать иначе: всякое выпуклое сильно замкну­ тое подмножество слабо замкнуто. (Этот результат приписывают Мазуру, доказавшему его для рефлек­ сивных банаховых пространств.)

Приведем еще одно следствие, относящееся к случаю выпуклых функционалов. Напомним, что вещественный функционал / ( • ) называется выпуклым, если

f(Qx + (1 - Ѳ) г/)< Bf (X) + (1 - Ѳ)/ (у), 0 < Ѳ< 1.

С л е д с т в и е 1.6. (Слабая полунепрерывность снизу выпуклых функционалов.) Пусть f (•) — непрерывный выпуклый функционал на Н. Тогда если {хп} слабо сходится к X, то

1іmf(x n)>f{x) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Построим такую подпоследо­ вательность, при необходимости перенумеровав ее члены, что

lim / jxn) = lim f jxm),

а затем еще раз перенумеруем ее, чтобы (по теореме 1.6) последовательность средних арифметических1

1

сильно сходилась к х. Тогда в силу выпуклости

44		Глава /
и, следовательно,
lim п	f ^	= limf W ^ limf	S xkj = / (*),

что и требовалось доказать.

З а д а ч а 1.10. Пусть С — замкнутое выпуклое мно­ жество в Н. Обозначим через Р(х) проекцию элемента х на С. Доказать, что отображение Р ( - ) непрерывно.

Решение. Пусть {хп} (сильно) сходится к х. Тогда, поскольку для любого у е С (в предположении, что С не пусто)

\\ Хп-Р{х п)\\^\\Хп - у \ \ ,

ясно, что нормы IIР (хп) II ограничены. Согласно тео­ реме 1.3, для любой подпоследовательности найдется своя подпоследовательность, слабо сходящаяся к эле­ менту из С. Обозначим этот элемент через z. Для про­ стоты перенумеруем подпоследовательность (Р(х„)} так, чтобы она слабо сходилась к z, и рассмотрим ее под­ последовательность, для которой сходится и {Л (дг„) II}. В силу следствия 1.4

||z||< lim ||P (x „)||.

С другой стороны, из неравенства (1.5) следует, что

Re [хп —Р (хл), у] < Re [хп — Р (хп), Р (*„)], і / е С .

Полагая y = z и переходя к пределу (здесь придется воспользоваться сильной сходимостью последователь­ ности {.*„}), получаем

Re[х — г, z ]< R e [х, z] — lim[Р(х„), Р (*„)],

откуда ||2 | | ^ 1іт|ІР (хп)|| и, следовательно,

lim ИР (хп) IK II г IK lim у Р (хп) ||.

Это означает, что {||Р(х„)||} сходится к ||z||. В силу теоремы 1.5 (Р(х„)} сильно сходится к г. Переходя к сильным пределам в неравенстве

Re [хп — Р (*„), у] < Re [хп — Р (хп), Р (х„)], j/s C ,

Основные свойства гильбертовых пространств

45

получаем

Re [х — z, у] ^ Re [х — г, г], у ^ С ,

или z = P{x). Таким образом, для любой подпоследо­ вательности последовательности [Р(хп)} найдется своя подпоследовательность, сильно сходящаяся к единст­ венному пределу Р{х), а значит, и сама исходная по­ следовательность сильно сходится к Р(х), что доказы­ вает непрерывность отображения Р(-).

Нелинейные функционалы и обобщенные кривые ')

Пусть р( - ) — многочлен (вещественной) переменной и u ( t) ^ L 2(О, 1). Разумеется p(u(t)), вообще говоря, не принадлежит L2(0, 1). Предположим, однако, что нас интересуют лишь ограниченные функции:

« ( • ) e L 2(0, 1), \u(t)\^ . m почти всюду.

Тогда, конечно, p{u(t)) будет принадлежать Ь2(0, 1).

Пусть {ип (t)} — слабо		сходящаяся	последовательность,
для которой | «rt(f) | ^		яі почти	всюду;	обозначим	ее
слабый	предел через	u0(t). Ясно,	что |и 0( / ) |^ т . Рас­
смотрим	последовательность {p(un(t))}.			Это также	по­
следовательность ограниченных функций, а значит,					из
нее можно выделить слабо сходящуюся				подпоследова­

тельность, которую после подходящей перенумерации мы будем снова обозначать через {р (ип (•))}• Вопрос состоит в том, к какому пределу она сходится. Совер­ шенно ясно, что в общем случае

»о( • ) = s-limp(u„( •)) Ф р(и0{ •));
в качестве примера можно	взять
, , ,	sin яnt
Un' '	I sin m t I

Ответить на этот вопрос (играющий центральную роль в ключевой теореме существования теории оптималь­ ного управления) можно, воспользовавшись понятием „обобщенной“ кривой, введенным Янгом. Рассмотрим

') Этот раздел при первом чтении можно опустить.

46

Глава 1

для этого прямое произведение пространств

а = і х и ,

где / — отрезок [0, 1], а U — замкнутое ограниченное подмножество множества вещественных чисел. Пусть обозначает ст-алгебру измеримых по Лебегу подмно­

жеств в Q, °У — класс (регулярных) вероятностных мер, определенных на SS и таких, что для р е ^

р ( Д Х Я ) = j dtix (B \t),

д

где Д — интервал в I, В — лебегово подмножество в С/, а условная вероятность р (5 |/) измерима по Лебегу относительно t. Предположим, что p(ß |/) для каждого/ определяет некоторую вероятностную меру на лебеговых подмножествах в U, за исключением множества с лебе­

говой	мерой нуль,			причем			множество исключительных
точек	не	зависит		от	В.	Пусть		f(t, и) — непрерывная
функция		на Q,	/ е	/,	« e t / .		Тогда для каждого ц е ^
		J f {t,	u)d]i= J dt				J f (/, и) d\L (t, u),
		Q			I	V
где через				J f (t,
						и) dii (t,		и)
				и

обозначен интеграл функции f(t, •) по условной вероят­ ностной мере р (В I /). Легко видеть, что функция

J	f (/, и) dii (/, и)
и

измерима по Лебегу относительно t и ограничена. Далее, пусть «(/) — произвольная измеримая по Ле­

бегу функция, для которой u { t ) ^ U почти всюду. Тогда

Основные свойства гильбертовых пространств

47

для любой непрерывной функции /((, и) интеграл

			J	f (t, и (0) dt
			I
	определяет непрерывный линейный функционал на C(Q).
	Более того,	каждой		функции	и (t) можно поставить
	в соответствие некоторую вероятностную меру р из
	положив			В) = J dtL (/, В),
		р (Д X
	где			д
			[ 1, если		« M e ß ,
	L (t,	В) =
			„	в противном случае.
	4		1 0

Другими словами, р ( В \t) — атомарная мера, т. е.

1, если u ( t ) ^ B ,

р (ß 1/) =

О в противном случае.

Кроме того,

p ( / X ß ) = /\t)dtи (=Д

1

= лебегова мера множества {t'. u(t) e ß } .

Обозначим класс таких атомарных мер через Ща. Тогда множество Ща плотно в в слабой »-топологии, т. е. для кансдой непрерывной функции f(t, и) интеграл

J /(*,«) dp,

й

можно приблизить с помощью атомарной меры из Ща\

{ f (t, и (t)) dt,

/

где функция u{t) измерима по Лебегу и почти всюду принимает значения из U.

Наметим теперь схему построения понятия обобщен­ ной кривой (принадлежащего Янгу), что позволит

48

Глава /

выявить некоторые принципиальные моменты. Итак, по­ скольку пространство Q компактно, для любого п можно построить сетку

о = и X t//,

и

где множества £/? попарно не пересекаются, | Ті | < 2~п, \U[\< 2~п ( I • I — лебегова мера). В качестве множеств Т/

удобно взять полуоткрытые интервалы. Каждому такому разбиению поставим в соответствие следующую функ­ цию un(t), 0 < / < 1 . Выберем в 7 \ Х Д / произвольные ТОЧКИ (/*, Uij) и положим

		Хц=	Jd\i{th и).
			иі
Легко видеть,	что	2 ^ г / = 1		и, следовательно,
		і
		2 Ті%ц — ТI.
Разобьем	Т{ на	подинтервалы Т ^ц , также полуот­
крытые. Зададим un(t) равенствами
	un(t) = Uii		на	Т[кц = Ти.

Ясно, что функция u(t) измерима (она кусочно-по­ стоянна). Далее, пусть f(t,u) — любая непрерывная функция. Тогда для всякого е > 0 можно найти такое п, что

	|/(/, u ) - f ( t h « , / ) ! < ! ,			(/, u)e=Tt X U h
	\ f(t,	и) — f (th и) \<	J ,	t ^ T { , и любое.
	Имеем
		f(t, un(t))d t= '2 i		j f(t, Иц) dt
	и		'	ГЧ
					82-"
	S I	un)dt —	(^> “u ) Tn < e T t <
					3 •

I Tц

/