книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Функции, преобразования, операторы

159

Т е о р е м а 3.6. (Люстерник.) Пусть / (•) — непрерыв­ ный однородный полиномиальный функционал четной сте­ пени, отображающий вещественное гильбертово простран­ ство X в Еі, а Р (х) — производная Фреше, т. е.

6f(x,h) = [P(x),h].

Предположим, что оператор Р ( -) компактен и поло­ жительно определен, т. е. для х Ф О

[Я (х), х] > 0 , х Ф 0.

Тогда существует последовательность положительных чисел Хп, для которой Р (хп) = Кпхп, А,, ^ Х2 ■• • ^ А,„ ^ • • •

и нуль — единственная предельная точка.

Степенные ряды

После того как введено понятие полиномиального оператора, исследуем вопрос о возможности разложе­

ния нелинейного	оператора f(x-\-h)	в ряд	Тейлора
в точке X . Как и	следовало ожидать,	такое	разложе­

ние потребует обобщения понятия голоморфной аналити­ ческой функции. Этому посвящена обширная теория, с которой можно познакомиться, например, по книге Хилле и Филлипса [8]. Здесь же мы коснемся лишь некоторых аспектов этой теории, тем более что разло­ жение в степенной ряд, как и в числовом случае, не слишком полезно как метод приближения нелинейных операторов.

Прежде всего,нам придется заняться более простым (и более .частным) вопросом: теорией функций комплекс­ ной переменной, принимающих значения в гильбертовом пространстве. При этом вопрос о том, вещественно или комплексно это гильбертово пространство, оказывается вопросом первостепенной важности. Поскольку мы будем

заниматься	лишь	функциональными		пространствами,
мы сможем,	как уже отмечалось ранее, в общем случае
легко переходить		от	вещественнозначных		функций
к комплекснозначным.			Так или иначе, для		целей на­
стоящего раздела		и для того, чтобы		построить теорию

аналитических функций, мы будем считать все рассма-: трнваемые гильбертовы.лространстца комплексными.

ІбО

Глава 3

Функция /(А.), определенная в области D комплекс­ ной плоскости и принимающая значения в комплексном гильбертовом пространстве, называется аналитической в области D, если скалярное произведение [/(А), h] обла­ дает одинаковыми свойствами при всех / і е Я . В этом случае функция f( А), в частности, слабо дифференци­ руема по А, т. е. скалярное произведение [/(А), /г] диф­ ференцируемо при любом /г. Функция /(А) называется

сильно дифференцируемой по А, если найдется такой элемент /'(А) пространства //, что

/ (А + Ѳ) — / (А)

Нт

|0|Н»0 Ѳ

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сформули­ ровать и доказать основной результат теории аналити­ ческих функций.

Те о р е м а 3.7. Пусть f (А) — аналитическая функция

впросто связной области D. Тогда /(А) имеет сильные

производные всех порядков. Более того, если точка А0е£ ) находится на расстоянии г от границы области D, то

со

п = 0

где ряд справа сходится при | А — А01< г.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В основу доказательства по­ ложено следующее тождество, справедливое для любой

комплекснозначной функции			g (•), голоморфной в D.
Пусть S — компактное подмножество в D. Тогда если А,
А +	і и	A + s принадлежат 5, то
t - s	' g (А + t) —g (А ) _ g (А + s) —g (А ) \
	\	t	s
		1	С_ _ _ _ _ _ _ _ _ _g ( z ) dz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
		2 ш J ( г — A )(z — А — t) ( г — А —s) '
		Г

где Г — простая замкнутая спрямляемая направленная кривая в D, охватывающая S и проходящая на поло­ жительном расстоянии от S и от границы множества D. Поскольку длина кривой Г ограничена и ограничена

Функции, преобразования, операторы

161

подинтегральная функция, абсолютная величина инте­ грала в правой части равенства не превосходит M(g, s)< o o . Устремляя s к нулю, получаем

	g f r + O - g W		— g'W	<1	s)
	t
для всех	Заметим, что в качестве g (Я) можно
взять [/(Я), /г]. Поэтому если
ДЯ, t,	- ) - 1	Ж * + 0 -/(*•)			/ (Я + а) —/ (Я)\

то для Яe S

I [/(Я, t, s), А ]|< М (/, /г, s).

В силу принципа равномерной ограниченности

II/(Я, t, s)||< M (/, s),

откуда

ЬТ (/ (Л + *) - f W) - 1	(f (Я + s) - / (Я))|| <		U - s IМ (f, s),
так что существует (сильный) предел отношения
f(l + S) - f ( S)
		S
при S —>0; обозначим	его через /'(Я). Тогда
/ (Я. + 0 — f (X)		г (Я) < U | M ( f ,	s),
t
так что сходимость равномерна в 5. Поскольку
[Г (Я),	А]*=^-[/(Я), h\,

функция /'(Я) обладает теми же свойствами аналитич­ ности, что и / (Я), и, значит, f (Я) имеет сильные произ­ водные всех порядков.

Далее, если Я0 — точка, удовлетворяющая условиям теоремы, то

т	ч	-	Ё	а ] ( я	- ѵ
		О

6 Зак. 751

162	Глава		Я
для I А — А0 I <	г. Но тогда
lim	п\			= 0
N->00
при любом h,	откуда
			(А - A0f	- > 0 .
Наконец,			[M W ]
[А, Г М = -^7		f		сГК.
	2 m	J (Я-Я0)п+|

Поэтому, выбирая в качестве Г окружность радиуса г с центром в точке Я0, получаем

	[А, f(A 0)]<		М II h II п\
так что для I А — Я01< г
II	(Я0)|| I я —Яо I“	^	2и	М ( Я - Я 0)"	< оо,
S	и!			гп

З а м е ч а н и е . 3.4. Понятие криволинейного интеграла Коши можно ввести двумя эквивалентными способами: либо понимать под

гJ f W d l

такой элемент из Я, что скалярное произведение его и любого другого элемента h из Я совпадает с

J [f(A), h\d%,

г

либо ввести это понятие непосредственно, как интеграл Римана, повторяя аналогичный процесс в числовом случае [6].

Пусть Р (х) — однородный полиномиальный оператор степени п. Тогда очевидно, что Р {х + АА) — полином

Функции, преобразования,	операторы		163
по X при фиксированных х я h я,	в частности,	является
аналитической (целой) функцией	от X. Напомним,		что
оператор Р(х) не обязательно	дифференцируем		по
Фреше. С другой стороны, для любых hu ....		hn из Я

Р(х X\h\ + Х2ІІ4 + ... + Xnhn)

определяет полином относительно п комплексных пере­ менных Xh В частности, если обозначить

К (^1) ^2і • • • ) ^rt) ===:

		+ Мя + ... + x nhn)
то станет ясно, что	К {' • •) — симметрическая п-линей-
ная форма и
P(h) = K(h,	h,	h ) = - £ r P m

Попутно мы получили явное выражение для симметри­ ческой полилинейной формы, если известен соответствую­ щий ей полиномиальный оператор.

Теперь мы можем приступить к изучению случая, когда X — гильбертово пространство.

	О п р е д е л е н и е			3.19.	Функция		f(x),	отображаю­
щая X в Y, называется локально						ограниченной,			если
для любой точки X найдется такой шар S (х) с центром х
и	ненулевым радиусом				(вообще говоря, зависящим
от х),		что f(x) ограничена			на S (х).
	О п р е д е л е н и е			3.20. Функция f(x) называется ана­
литической .по Фреше в области D, содержащейся в Y,
если		она	локально	ограничена		и	дифференцируема
по	Фреше		в каждой точке из D.				(Под	областью	мы
'понимаем			здесь открытое		связное множество, т. е. от­

крытое множество, любые две точки которого можно соединить ломаной конечной длины.)

Т е о р е м а	3.8.	Пусть f (■) — аналитическая	по
Фреше функция в области D. Тогда для любой наперед
заданной точки	x e Ö	найдется такой шар S (х),	что

6*

164

Глава 3

в любой точке у из S(x) функция f(y) допускает раз- лэжение в ряд Тейлора

	оо	6 4	(JC, У - -V)
	f(y) = y
			/гі
	О

где

а п

Ьп!{х, h) = ± K f { x + \h)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку множество D от­ крыто, для любой его точки х найдется открытый шар

S{x)	(скажем, радиуса г) с центром ,ѵ, содержащийся
в D,	на котором функция f ( - ) дифференцируема по

Фреше и ограничена. Поэтому для любого заданного

элемента h		из Н	функция		f (х + Xh)		аналитична		по X
для	всех X,	удовлетворяющих, например, неравенству
I X I < г/|| /г II.		Тогда, согласно теореме 3.7,
		п х + щ = ^ П ( ; , А)Я-В,
где	(*, Л)- ^ т П х + Щ				L_o=		j	И £ + !Ц dt,
в качестве Г можно				взять	окружность			радиуса /'/||А||,
Отсюда					-	,M{x)\\h\\n
	ІІбНСг		\
	II б /	(X, /1)		(Г /||А ||)В —		п \		Ja
где	М (х) — верхняя			грань	функции		f( - ) на S(x).		По­
этому для II h II < г
	V'	II bnf (х, Іі)\\			M(x)\\hr
	JU	n\		^ Zj,		rn
	1			I

итеорема доказана.

Заметим, что

II67 (х, /г)11<4^11/гГ

для всех / г е Я . Теперь можно показать, что при вы­ полнении условий доказанной только что теоремы

Функции, преобразования, операторы

165

6nf (х, h) — однородный полиномиальный оператор сте­ пени п по Іг и этот оператор непрерывен. Чтобы убе­ диться в этом, заметим, что для любых /г,, . . ., 1гп из Н функция f(x + X\h\ + ... + является аналитиче­ ской функцией п комплексных переменных Лг, если

S1u m hi к г,

и ее можно" разложить в степенной ряд по {Я,г}. Легко проверить, что

д д	“Ь ^nhn) ^ — К [hi, . . . , hn)
~дХ^~дХ[

есть непрерывная симметрическая /г-линейная форма и

W , h) = - y f [ x + Xh) ь=о

так что оператор bnf[x,h) непрерывен.

П р и м е р	3.10. Рассмотрим дифференциальное урав­
нение	A (t) х(і) + В (t) и ( t ) X (0 + С (t) и (t),
x[t) =
X(0) =	xQ,

где u{ ■) принадлежит пространству H = L2{0, Т)4 (на­ помним, что все рассматриваемые пространства ком­ плексны), а матрицы А (t), В [t) и С (t) квадратично ин­ тегрируемы на (0, Т). Перепишем это уравнение в виде

		t
	x[t) =	I (Л (s) + В (s) и (s)) X(s) ds -f h (t),
	где	о
		t
	>
		h[t) = x0+ J C (s) и (s) ds,
		о

и заметим, что для каждой функции и{- ) оно имеет единственное решение, принадлежащее X = L2(0, Т)п. Это обычный результат, но для наших целей его легко

166

Глава 3

получить, заметив, что приведенное интегральное урав­ нение имеет вид

		а = Lux + h,
где	я' = л:(•), а Ьи — вольтерров оператор, определяе­
мый	соотношениями
	L J = g,
	І
	g (t) =	(AJ (s) + B(s)u (s)) f (s) ds.
	0
Решение уравнения		можно представить в виде

00

X= (/ — L „ r‘ А = 2 Luh = F {и).

о

Покажем, что функция F{u) аналитична по Фреше во всем пространстве. Докажем сначала ее локальную ограниченность. Для этого вернемся к нашему диффе­ ренциальному уравнению и применим стандартный прием оценки скорости роста решения. Пусть

т (0 = [ а (t), x(t)}.

Тогда

/n(/) = 2Re[(i4(/)-f B{t)u{t))x(t), а(0] +

+ 2 Re [С (0 и (t), а (І)\

и, следовательно,

Iт (f) I< ( IА (О I+ IIВ (О IIII и (t) I+ IIС (t) ИIи (/) II) т (t) +

+ 11С (О INu(t) II,

где мы воспользовались тем, что

т (О,	1,
1,	m{t) < 1.

Таким образом,

т (0 <11 и\\е(с + &)|| и

0 <

Т,

откуда следует локальная ограниченность функции F(u). Покажем теперь, что функция F (и) дифференцируема до Фреше. Для «(•) и р(-) из Я обозначим через х{Х, t)

Функции, преобразования, операторы

167

решение		уравнения, соответствующее и + Хѵ,								где	Л —
вещественное (или комплексное)								число. Тогда
							■t	Гу (Я, s) ds
			Х(К і) — X (0 , t) _
					Я		J	я
где							о
				ß (s) (и (s) + Хѵ (s))) X (X, s) —
У(Л, s) =		(А (s) +
		-	(А (s) +		ß (s) ы(s)) * (0, s) + XC (s) V (s) =
	=	(А (s) +		ß	(s)и (s)) J у {X, о) do + XC (s) v (s).
Пусть							0
						s)— J у (X,
				z(X,				a) do.
							о
Так как для любого числа X
- ^z(X,	s) =		(A (s) +		ß (s)(u(s) + Xv (s))) z(X, s) +
			+ ß (s) ü (s) X (0, s) + XC (s) V(s),
z(X,	0) = 0,
то тот же прием оценки, что и раньше, дает
			sup	sup		II z (Л, s)||^ M (r) < оо.
Далее,		| Я | < г		0 <	s <	T
					ß	(s)и (s))z (X, s) +			XB (s) v (s) z (X, s ) +
z {X, s) =			(A (s) +
						+	^ß (s) V (s) X(0, s) + XC (s) V (s),
так что		на	самом		деле		|| z (X, s) ||		стремится	к	нулю
вместе с X:			sup	II z (Л, s) II -> 0				при	Л-»0.
		0 < s <		г

Так как

é (тг^ )= (лм + в м и w)(і&Д) +

+ В (s) V(s)X(0, s) + ß (s) V (s) z (A, s) -f C (s) v (s),

168

Глава 3

то при Я,-»-0 функция z{X,s)/X равномерно на отрезке [О, Т] сходится к функции z (s), где z (s) — решение уравнения

г (s) = (А (s) + В (s) и (s)) г (s) +

+ В (s) V (s) X(0, s) + С (s) V(s), z (0) = 0.

Наконец, при А,—>0

т

X (Я., і ) — X ( 0 , t)	z{t) d t—>0.

Таким образом, функция F (и) дифференцируема по Фреше. Ее дифференциал равен

бF {и, ѵ) = z,

а производная, естественно, принадлежит пространству ограниченных линейных операторов, отображающих Н в X. Поэтому если

6F(u,v) = Nu(v),

то	N,i (ѵ) — z,	2 = (/ — L„)~lМиѵ,
где оператор	Ми отображает Я в X:
	і	t
Ми (о) = w ,	w(t)= J B(s)o(s) a:(0, s)ds-{- J C(s)v(s)ds.
	о	0
Следовательно,

NU= ( I - L U)- 1MU.

Заметим, что если и — нулевой элемент соответствую­ щего пространства, то оператор Nu имеет вид

t	t
N0(V) = до, до {t) — J В (s) V(s) X(0, s) ds +	J C (s) v (s) ds.
о	0

К этому же результату можно было прийти, восполы зовавшись тем, что

F{u) = ( I - l u)-'h.