книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Основные свойства гильбертовых пространств

49

Кроме того,

	J	f(t, u)dp =			[f(iit и) du		<	е2~
	Tt x u		т ^ х и
		Г f(th	u)d\L =	Tl	ff(tt, u) dp (th			u),
	Tt X U				и
Ti	I f(ti, u) dp (tlt «) — T i ^ f i i i ,					Uij) X			< e2
							а
		T t l i f (ti, Uij) hij = 'ytf (ti,				Ui/) Tij.
Поэтому		/(t, Un(t)) dt —			f t, и/)dp(
	[						< e2
	T,			Tt x u
и, следовательно,
		J f(t,	un(t))dt —		J f{t, u) dp.		<	e.
(Таким	образом,		основной шаг — это связать							Хц с ин­
тервалами		TiXij, а затем воспользоваться компактностью
пространства Q.)						начали.				Заметим,
Теперь вернемся к тому, с чего
что для	любой непрерывной				функции g (t)
	1
J g(t)P{Un (t)) dt= j g(t)p (и) dpn=
0			Q
			=	1
				Jg(t)dt J p (u)dpn(t, и),
			о		и

где Воспользуемся знаменитой теоремой Хелли о слабой компактности мер на компактных про­ странствах. Согласно этой теореме, существует такая подпоследовательность (мы снова будем обозначать ее

через Рп(- )). чт0 для любой непрерывной функ^

ции f{t, и)

j f(t, и) dpn-> J f(t, и) dp.

и °

50	Глава 1
Чтобы показать,	что ц ( - ) принадлежит	Щ, заметим.»
что последовательность {p(un(t))} слабо сходится. Обо­
значим ее предел через v(t). Тогда для каждой непре­
рывной функции g (t)
1
J 8 (0 Р (ип(0) dt =	J g (t) р (и) dßn ->
о	я	1
	-* J 8 (0 Р («) Ф =
		J g (0 V (0 dt.	о
	а

А так как функция g( •) произвольна, то

О (0 = J Р{и) dp (/, м).

и

В частности, это дает ответ на вопрос, с которого мы начали. Если мы распространим понятие измеримых функций на вероятностные меры на U, для которых для каждого многочлена интеграл

J Р(и) dp {t, ü)

и

измерим по Лебегу, то можно утверждать, что если {ц„} слабо сходится к и0, то и [р (ип)} слабо сходится к р (и0). Этот результат играет важную роль в теории суще­ ствования оптимальных управлений.

П р и м е р 1.9.	Пусть
un{t)	sin яntI	0 </< 1.
	I sin яnt \ ’

Какова предельная обобщенная функция? Заметим, что при каждом t функция dpn{t, и) претерпевает скачок либо в точке +1, либо в точке —1. Поэтому

J р{и) dpn(t, u) = an{f)p{l) + ( l - a a(t))p{-l),

Основные свойства гильбертовых пространств

51

где	0 ^ a „ ( f ) ^ l ,		и, следовательно,
		1			1) d	1	J	(1an(t))f{t,—		— 1)dt->
J f{t, u)dцп = I an{t) f {t,						/ +
Q		0	1			0	I
		- >			1) Л	+					l)df;
			Ja{t)f{t,				J—(1a(t))f(t, —
		о				о
Таким образом, предельная мера р такова, что dn(t, и)
претерпевает скачок в точке +1,							равный a(t),			и скачок
в точке		—1, равный 1 — a(t).				Но
	I	I		I			1	(1— а (t)) dt,
		Jи dp„ (/,и) -> J а (t) dt — j
	о	и		о			о
так	что		1
			J a(t)dt = - j .
Кроме того,			о
J	Judiin(t, и) =		( + 1\ )an{t)dt + { - \) /						( 1 - а	„ (	0 ) Л =
Д U			А					А
		= J ua ( t ) d t - > О,
и поэтому			д
Другими словами,
P (U a (0 )^+p(u)dn(t,J				a	) =	- j	p (	l )	+ y () lp (—		1),

ипредельная мера „вибрирует“ между значениями -}-1 и' —1 с равными вероятностями перехода. Заметим, что

un{tf

что и следовало ожидать.

52

Глава I

Теперь совершенно ясно, как обобщить полученный результат. Например, если функция un(t) принимает одно из конечного числа возможных значений ии . . . ,ит и последовательность {ы„} слабо сходится к нулю, то

	J p{u)d[in{t, и)-*- J" р (и) dp, {t,			т
				и) = 2 ak (f) р (и*).
	и	и		I
Для	определения	функций	ак (/)	достаточно заметить,
что	т
	SI fl*(0 = 1.		М * )> О,
	т	ak (t) ик =
	2		О,
	I
	т	ак(І) и\ =	Птик(tf,
	2
	т
	2	ак(0 и Г ' =	ііт « 4 (0т_І;
это	дает m уравнений с т неизвестными. Длина вре­

менного интервала,	коль скоро он конечен, очевидно,
не играет никакой	роли.

В качестве простого примера задач оптимизации, иллюстрирующего необходимость введения обобщенных кривых, рассмотрим следующую задачу.

Минимизировать JI x(t)2dt

о

при ограничениях

X (t) = Jt и (s) ds,

о

где « ( ' ) е і 2(0, 1) и

u(t)— ± 1 почти всюду.

Положим

“ « (0 =	sin nnt
	sin лnt I ’

Основные свойства гильбертовых пространств

53

тогда {ип( •)} — минимизирующая последовательность, поскольку интеграл

о

сходится к нулю при всех t, а последовательность {хп (/)} ограничена, так что

lim Jxn{tf dt — 0.

о

В то же время нижнюю грань последовательности {ип{ •)} не может достичь ни одна функция «(•) из L 2 (0, 1), удовлетворяющая принятому ограничению, так как такая функция почти всюду обращалась бы в нуль. Но если допустить, что функция «(•) может быть обобщенной, то эта нижняя грань достигается, если

меру	выбрать		так,	чтобы функция		dp(t, и) в точках
и = 1	и « = —		1 претерпевала скачок,			равный '/г- Таким
образом,		последовательность {xn(t)} сходится к
				о	и
Ясно,		что	все	эти	соображения	легко обобщаются

на случай, когда значения u(t) принадлежат некоторому

замкнутому ограниченному подмножеству		U «-мерного
евклидова пространства Еп.
Отметим,	наконец, одно важное следствие резуль­
тата, принадлежащего Каратеодори.
Т е о р е м а	1.7. Пусть функция g(t,	и), t е [а, Ь\,
и е Еп, непрерывна по обеим переменным		и принимает
значения из	Em, U — компактное подмножество в Еп

й p(t, •) — такое семейство вероятностных мер на лебе­ говых подмножествах в U, что для любого многочлена р(и) интеграл

J р (и) dp (t, и)

54

Глава 1

измерим по Лебегу относительно t. Тогда существуют такие пг + 1 функций ak (t), что

		m+1			1.
			ak (0 = 1,
		2
		fe=i
и такие m +		1 функций uk(t),			принимающие значения
из U,	что для	заданной	функции g(iy и)
Ь	Jg (t,	и) dp (0 “) =		Ь / т + 1
J dt				J	I akj (0g (t, uk (0)
а	U		а	'	1

Другими словами, всегда можно найти такое семей­ ство атомарных вероятностных мер, претерпевающих не более чем in + 1 скачков, что интеграл по этой мере будет равен исходному.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для каждого t рассмотрим выпуклую оболочку множества

C = {g(f, и): « £ [/} .

Поскольку функция g{t, и) непрерывна по и, а мно­ жество U компактно, то С также компактно. Следова­ тельно, его выпуклая оболочка компактна и замкнута. Согласно классическому результату Каратеодори (см. [1]), любую точку выпуклой оболочки можно представить в виде выпуклой комбинации не более чем т + 1 точек из С. При каждом t интеграл

J g (t, и) dp (t, и)

и

принадлежит выпуклой оболочке множества С, так как p(t, •) — вероятностная мера, а функция g(t, и) непре­ рывна по и. Но тогда в силу теоремы Каратеодори

	т + 1
J g(t, ü)dp{t, и) =	2 ak (t) g (t, uk {t)),
и	1

что и требовалось доказать.

Основные свойства гильбертовых пространств

55

Заметим, что здесь не утверждается, что каждая функция ak (t) измерима по Лебегу, хотя, конечно, из­

вестна измеримость по Лебегу суммы
т+І
І1і	ak{t)g{t, uk (t)).
Необходимо помнить,		что точки uk (t), а также весо­
вые коэффициенты	ak (і)	зависят от функции g (t, и).
В каждый момент	времени построенная обобщенная

кривая (ведь ей соответствует атомарная мера с ко­

нечным числом скачков) „принимает“	не более / п + 1
значений. Можно сказать, что она	перескакивает,

„вибрирует“ между этими значениями uk(t)\ отсюда и одно из названий такого типа управлений — вибрацион­ ное управление. Использование теоремы Каратеодори в этой связи было предложено Р. В. Гамкрелидзе.

Глава 2

ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

В теории оптимизации важную роль играют выпук­ лые множества и отделяющие гиперплоскости. В даль­ нейшем, для того чтобы избежать необходимости вы­ деления вещественной части скалярного произведения, мы всюду будем предполагать, что рассматриваемые

гильбертовы	пространства вещественны. Мы начнем
с изучения	теорем отделимости выпуклых множеств

в конечномерных пространствах. Напомним, что вну­ тренней точкой множества называется точка, вокруг которой можно построить некоторую (достаточно малую) сферическую окрестность, целиком содержащуюся в дан­ ном множестве. Множество всех внутренних точек некоторого множества называется его внутренностью. Естественно, что оно может быть пустым. Граничной точкой множества называется точка, не принадлежащая ни внутренности этого множества, ни внутренности его дополнения. Отсюда, в частности, следует, что каждая граничная точка является предельной точкой и самого множества, и его дополнения.

Опорный функционал выпуклого множества

С каждым замкнутым выпуклым множеством С в Я можно связать определенный на Я функционал

fs(A) = sup[A, у], А е Я ;

г/ес

при этом допускается, что он может принимать беско­ нечные значения на некоторых (а возможно, и многих) элементах h из Я. Такой функционал называют опор­ ным функционалом выпуклого множества С. Легко

Выпуклые множества в гильбертовых пространствах

57

проверить, что для каждого положительного числа /

fa Ш = tfs (h)

fs{h\ + h2) ^ fs (hi) + fs (h2), h[t Л2 e H.

Если обозначить через Pc (-) оператор проектирования на С, то, согласно (1.10),

f s ( h - P c (h)) = [ h - P c (h), Pc (h)].

Вообще если для iioéépè элемента h из Н

f s (h) = [ h , x ] ,

j£g C,

то точка X называется опорной точкой, а гиперпло­ скость

[h, у ] = fs (h ),

у ^ Н ,

называется опорной гиперплоскостью для С, проходящей через точку х. При этом в неявном виде утверждается, что X — граничная точка множества С, в чем легко убедиться непосредственно. В самом деле, если

	fs (h) = [h, х],		х е С,
то, согласно	(1.5),	х есть проекция точки x-\-h		на С.
В частности,	если	множество	С ограничено, то в	силу

свойства слабой компактности ограниченных замкнутых множеств (теорема 1.3) для некоторого элемента х из С

°°> fs (h) = [h, х].

Заметим, что опорные функционалы всегда слабо полу­ непрерывны снизу.

П	р и м е р	2.1. Простейшим примером может слу­
жить	случай,	когда С — шар:
		С = { у : ІІУ — У о І К « < °°}-

Тогда для любого h из Н

[A, y] = \h, Уо]+ [h, У— Уо[.

Применяя неравенство Шварца для оценки второго члена в правой части, получаем

sup [h, у] < [h, г/uj + m || h ||. yesC

58 Глава 2

Полагая

_ _ ,	mH
Х— Уо-t	| А|| ,

накодим

f s ( h) = [h, х].

Опорная точка д: единственна, поскольку неравенство

[h, у — уо] < т II h II

превращается в равенство только тогда, когда у — у0 отличается от h лишь скалярным множителем.

П р и м е р 2.2. Рассмотрим теперь пример конечно­ мерного множества, в котором опорная точка (и опорная плоскость) не единственна. Обозначим через {yk}, k = i , 2, ..., п, конечное множество элементов из Н, а через С их выпуклую оболочку (которая автоматически зам­ кнута). Тогда при некотором у/

fa (h) — \h, yj\

и, естественно,

[h, У\] — [Ь, у2],

если h — нормаль к У\—Уі- Ясно также, что через каждую „вершину" yj можно провести более одной опорной плоскости.

Приведем еще пример неединственности опорной

точки бесконечномерного множества.
П р и м е р 2.3.	В качестве	Н возьмем	пространство
L2(a, b)q, где интервал (а, Ь)		конечен, и пусть
C —	II f it) II	1 п о ч т и	в с ю д у ) .
Тогда для любой	функции h( - ) из этого		пространства
	ь

[h, f ] =\ [ h{ t ) , f { t ) ] dt

а

и для

\[h{t), f{t)} К II h (t) II почти всюду.

Неравенство Шварца превращается в равенство только тогда, когда f(t) отличается от h(t) лишь скалярным