книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Функции, преобразования, операторы

109

следует, что найдется непрерывная функция f, для

которой f ==f		f ,	f = 0 почти		всюду и
	f (0) =	0,	Af' (t) =	f (t)	почти всюду.
Таким	образом,	f(t) = f(t) =		0 почти всюду, и ясно, что
для А =	0 это тоже справедливо. Далее, уравнение
		t	f (s) ds — g (0
	А/ (/) — J				почти всюду
		о

имеет единственное решение, коэффициенты Фурье КО'

торого удовлетворяют соотношениям
1	1
fn = { f (0 еШпІ dt,	gn= I g (t) e-nint dt,
о	0
+	&ck= £»•
ТоТда	2яin
z __
Tn —gn	! + 2ninX ’

и

	2nin	А 0.
	1+ 2яшА

Следовательно, оператор T квазинильпотентный, и его спектр состоит лишь из нуля.

Отметим, что спектр ограниченного линейного опе­ ратора не может быть пустым. Но, с другой стороны, в приведенном примере нуль не является собственным значением, так как

		77 =	0 = # / =	0.
Поэтому	линейный	оператор Т		1 замкнут, но не огра­
ничен. Этого и следовало			ожидать, поскольку		T~1f = g
означает,	что g7=
О п р е д е л е н и е		3.10.	Ограниченный линейный опе­
ратор Т,	отображающий		Я в Я,	называется	неотрица­

тельно определенным, если квадратичная форма [Тх, х]

, неотрицательна.

Заметим, что для всякого ограниченного линейного оператора Т операторы Т Т и Т’Т неотрицательно опре­ делены.

п о	Глава 3
О п р е д е л е н и е	3.11. Ограниченный линейный опе­

ратор, отображающий Я] в Я2, называется компактным,

{вполне непрерывным),			если		он отображает		ограничен­
ные множества	пространства				Н{ в подмножества ком­
пактных мнбжеств из Я2.						свойство	компактных
Важное характеристическое
операторов задается следующей теоремой.
Т е о р е м а	3.3.	Пусть		Т — компактный оператор,
отобраоюающий	Я,	в	Я2.	Тогда		для любой слабо схо­

дящейся последовательности {хп} из Я, последователь­ ность {Тх„} сильно сходится в Я2. Обратно, любой огра­ ниченный линейный оператор, обладающий этим свой­ ством, компактен.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть оператор Т компактен, а {х„} — слабо сходящаяся, скажем к х0, последователь­ ность из Я]. Тогда, согласно принципу равномерной ограниченности,

lU JK A f

для некоторого числа М, 0 < М < о о . Поэтому после­ довательность {Гх„} принадлежит некоторому компакт­ ному подмножеству в Я2 и, значит, из любой ее под­ последовательности можно извлечь еще более узкую сильно сходящуюся подпоследовательность. Обозначим такую сильно сходящуюся подпоследовательность через

{Тхп^\,	а ее предел через у.		Тогда для	любого Ле Я2
[у, h] =	lim [Txnk, /г] =	lim [xn<j,	ГЛ] = [*0,	Г/г] = [Тх0, h\,
откуда		У= Тхо,
так что у не зависит
		от выбора конкретной подпосле­
довательности, а значит,

Ііш Тхп= у.

П

Обратно, пусть Т — ограниченный линейный опера­ тор, переводящий любую слабо сходящуюся последо­ вательность в сильно сходящуюся. Пусть В — ограни­ ченное множество в Н{. Покажем, что замыкание множества ТВ компактно. Действительно, пусть {хп} — произвольная последовательность элементов из В. В силу свойства слабой компактности ограниченных

Функции, преобразования, операторы

111

множеств в гильбертовом пространстве найдется под­ последовательность {xnk}, слабо сходящаяся к некото­ рому пределу, скажем к х0. Тогда подпоследователь­ ность {Txnk} сходится сильно и, как мы видели, ее

пределом должна быть точка Тх0. Очевидно, что Тх0 — предельная точка множества ТВ, а это и значит, что оператор Т компактен.

П р и м е р	3.4.	Пусть		Q — абстрактное	множество,
$ — борелева	алгебра		его	подмножеств, ар , — счетно­
аддитивная a-конечная			мера, определенная		на	Обо­
значим через	L2(Q,		р)®	класс всех ц-мерных (ком­
плекснозначных)		функций,		измеримых относительно $
и таких, что

J II/II2йц < оо.

о

Скалярное произведение в этом пространстве зададим формулой

[/. g ] = / fgdii. Q

Обозначим через R(s, t) матричную функцию, опре­ деленную на произведении Q X измеримую относи­ тельно индуцированной алгеброй $ борелевой алгебры на этом произведении и такую, что

{ J IR (s, t) |2rfp (s) du (t) < oo.

Q Q

Тогда соотношения

g = T f,

g ( t) = J R(t, s) f (s) d\i (s)

а

определяют довольно важный класс компактных опера­ торов. Заметим, что в силу неравенства Шварца

Ig{t) l2< J I/?(*. s) fd \i (s) J If(s) |2dp(s),

a a

112 Глава 3

откуда

llgll2< J J W , S ) f d il ( s ) d ii{t)\\ff.

Q Q

Позже мы увидим, что это на самом деле особый под­ класс компактных операторов. Докажите компактность оператора Т, используя свойство, сформулированное в теореме 3.3.

З а д а ч а 3.3. Покажите, что если оператор Т ком­ пактен, то компактны и операторы 7", Т'Т, ТТ*, а также АТ и ТВ, где А и ß-»-линейные ограниченные операторы.

З а д а ч а 3.4. Пусть L — компактное линейное пре­ образование, отображающее Я в Я, а С — замкнутое ограниченное выпуклое множество в Я. Покажите, что множество LC замкнуто.

З а д а ч а 3.5. Пусть L — компактный оператор, ото­

бражающий Я		в Я, а С — замкнутое	ограниченное вы­
пуклое	множество в Я. Покажите,		что для любого
у е Я	найдется	такой элемент и0е С,	что

inf \\ Lu — у \\= КLu0 — у \\.

неС

Покажите, что и0 характеризуется соотношением

sup Re \L*y — L'LUq, u] = Re[L'y — L'Lu0, «„].

D E C

Как изменится этот результат в частном случае, когда С — замкнутый выпуклый конус?

Пусть, наконец, С — шар:

{х: ||х||< М }.

Покажите, что всегда можно найти такие числа Я^О, что

и0= lim ( П + %tI)~' L*у,

и последовательность {А,,} сходится.

З а д а ч а 3.6. Если Т — компактный оператор, то множество его значений сепарабельно (содержит счетное

Функции, преобразования, операторы

113

всюду плотное подмножество). Покажите, что множе­ ство значений компактного оператора не обязательно сильно замкнуто.

Спектральные свойства компактных операторов

Основное свойство компактных операторов связано с их спектрами. Поскольку все это очень хорошо из­ вестно, мы лишь сформулируем здесь основные резуль­

таты, а за доказательствами	отошлем	читателей к ра­
ботам, указанным в списке литературы.		отображающий
Пусть Т — компактный	оператор,

пространство Н в себя. Тогда любое отличное от нуля комплексное число Я принадлежит либо точечному спектру оператора Т, либо его резольвентному множе­ ству (так называемая альтернатива Фредгольма). Спектр этого оператора дискретный, он содержит не более счетного числа точек, и его предельной точкой (если таковая вообще есть) может быть лишь нуль.

Если компактный оператор Т самосопряжен, то соб­ ственные векторы, соответствующие различным собст­ венным значениям, ортогональны. Пусть {Я,-} — набор отличных от нуля собственных значений. Тогда для каждого Яі множество

Ж і = { х : Т х = %і Х}

образует подпространство собственных функций, соот­ ветствующих собственному значению Яг, и это подпро­ странство, очевидно, замкнуто. Обозначим через Ж0 нуль-пространство оператора Т. Ортогональное допол­ нение к Жо совпадает с замыканием множества значе­ ний R(T) оператора Т. Ясно, что

00

R (T )= Ъ1Ж і

и

DO

. Ж о + Ъ1Ж і

есть разложение пространства Н на ортогональные подпространства. Каждое подпространство Жі, іф О ,

114

Глава 3

не более чем конечномерно (это вытекает из того факта, что Т переводит ограниченные множества в компактные, а подпространство Жі отображает на себя). Выберем в каждом подпространстве Жі ортонормальный базис. Тогда, повторяя каждое собственное значение столько раз, сколько это необходимо, получаем

оо
Тх = і	[х, ег] б;,
1

где I hi I —>0, если чисел Л,г бесконечно много. Отметим, что нуль не принадлежит резольвентному множеству компактного оператора, если пространство, в котором определен оператор, бесконечномерно.

Вольтерровы операторы

Реакция физической системы может зависеть от сти­ мулов, поступавших на нее вплоть до настоящего мо­ мента. Если система линейна и ее реакцию можно пред­ ставить интегральным преобразованием входного сиг­ нала, то

		t
		g it) — j w	(t, s)f (s)ds,	a <t.
		a
Оператор, определяемый функцией W(t,					s),	называют
вольтерровым оператором. Точнее,				пусть	Нх= L2(a, b)p
и М (/,	s)	обозначает р-мерную вектор-строку, непре­
рывную	в треугольнике			Тогда		в предпо­
ложении,		что I 6 — а I <	оо, соотношения
		Lf = g>t
		g (t) = I M (t,	s) f (s) ds,	a ^ t ^ b ,
		a

определяют ограниченный линейный оператор, отобра­ жающий //, в Ь2(а, Ь). Этот оператор называют воль­ терровым. Он компактен и квазинильпотентен. Дейст­

вительно,

t

Lnf = g, g {0 = J Mn (/, s) / (s) ds,

	Функции,		преобразования, операторы						115
где для /г ^ 2				JIМ (t,
	M n (t,	s) =				ff) Af„_, (er, s) da,
	Mx(t,	s) = M(t, s )1).
Поэтому если		шах			II M (t, s) II = M,
ТО		а <Сs <		(
	IMn {t,			s) IK -- (~			1)1—-
так	что				Mnl2 (b - a)'1
	L" II <
				V {2n) (2n -			l)(rc- 1)!
и, следовательно,				II Ln||l/re —> 0.
	oo
Далее, ряд Уі Mn(t,			s)/Xn+l			равномерно		сходится	при
	1
	поскольку он мажорируется, например, рядом
	V W ~ n~ l м п (Ь - а)п~ 1 _ М_ м (Ь /к
	Zu	( п - 1)!					г?
	1	резольвенту (XI — L)~l можно предста­
Таким образом,
вить	в виде	(Л/				.
где	К — также	вольтерров				оператор,		определяемый
соотношениями		Kf = g,
					t		s)f (s) ds,
		g (t) =			J К (t,
	K(t,		s) =		2	Mn (t, s)
						Xn+1
')	При n — 2 следует			пользоваться			формулой
				t
	M , (/, s)		= J		M (t, a) АГ (a, s) ds.

— Прим, ped.

116

Глава 3

Вообще любой компактный квазинильпотентный опера­ тор можно назвать абстрактным вольтерровым опера­ тором (см. Гохберг и Крейн [4]). Выше предполагалось, что ядро M{t, s) непрерывно, но в этом нет необхо­ димости. Достаточно, чтобы оно было квадратично ин­ тегрируемо. Более того, не обязательно требование конечности интервала (а, Ь). Этот результат важен для приложений, так что мы приведем его в виде следую­ щей леммы.

Л е м м а 3.1. (Трикоми.) Пусть ядро M{t, s) квад­ ратично интегрируемо, т. е.

ь	t	o o ,
J	JII /И (t, s) Ipds dt <

аа

Тогда оператор L, отображающий Я, в Я, {как выше), компактен и квазинильпотентен.

Д о к а з а т е л ь с т в о .				Компактность очевидна. До­
кажем		квазинильпотентность.				Пусть
				t
			Л ( 0 =J II A f ( f ,				s ) dsIp.
			a
Тогда	функция		A{t) почти всюду конечна и
			ь			<	o o .
			J А (t) dt
			а
Далее,		так как порядок интегрирования можно изме­
нить,	то
J	ь	і	s )dsdt]р =	ь	ь	| | A	f ( s)\fdtds/ ,	< o o .
		J ИМ ( / ,		J	J
a		a		a s
Тогда		функция		ь

£ ( « ) = M{t,/ II s) \fdt

				Функции,		преобразования, операторы				117
почти всюду конечна и
						ь
						J В (s) ds <	оо.
						а
Определяя			Mn(t, s),			как выше,	получаем
				t		t
II	м 2 (t, s) IF <			J II ЛГ (t,		о) IF do j II M (a, s) ||2 d o ^ A (t) В (s) ,
				s		s
II				t		t		s) IF do <
	M3 (t, s) II <			J II M (t,		o) IF do J II M2 (o,
				5		$
				t				t	A (cr)
			< A {t) J		A(o)B(s)do = A (t)B(s) J					do,
				S				S
II	M4(t, s) IF			t	Л	a
			< A (t) J			( а ) Я (J5 A) ( t ) dx =
		=		1 Л ( / ) Я ( 5 ) ^			Л	( с т ) ^		.
По		индукции
		IIM,' «	s)IF< '(^ ~ 2)Г А w в (*) ( J					л	.
так		что
		\Ln\\2<
откуда				^		( / л ( Н	[ i A{ t ) dt J		2>
						п ііі/га ■0.
Кроме того,				функции

К п ( К t, =	я'+‘
1= I

118

Глава 3

сходятся по норме пространства Ь2(Д)р' (Л = {(t, s): a < s <

<t < b))-.

ь

t

j

I

II Kn {X,

t, s) — к {X, t, s) |pds dt

0,

a

a

так ЧТО

( х і - т ) - ' = і + к(х),

t

K(X)f = g,

g(t)*= I K(x,

t, s)f(s)ds

* a

и, значит,

К (X) — вольтерров

оператор.

З а д а ч а

3.7.

Пусть

H = L2(D)P, где

D — {(s ,,

s2, S3 ) £= Е2. 0

<

s „

S2 ,

S3 <

Т ^

-f-

сю}.

Покажите,

что оператор

t

Lf = g,

f{t> s2,

s 3)

=

КJ

{t,

s , ,

s 2)

/

(

s , ,

s 2, s 3) d s , ,

вольтерров,

если

0

т т т

l f

t

^

,

s , ,

dtds22)| p

<d

s0 0, .

J

J

J l

0 0 0

О п р е д е л е н и е

3.12.

Ограниченный

линейный

оператор Г, отображающий сепарабельное гильбертово пространство Я, в Я2, называется оператором Гиль­

берта — Шмидта, если	для	некоторой полной ортонор­
мальной последовательности {е„} из Я,
оо	[Теп,	Теп] < оо.
2
I

В дальнейшем, когда мы будем говорить об опера­ торах Гильберта — Шмидта, мы не будем оговаривать особо, что пространства, на которых они определены, сепарабельны.

З а м е ч а н и е 3.1. До сих пор мы рассматривали вольтерровы операторы типа Гильберта — Шмидта. Но