книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Функции, преобразования, операторы

129

где [UTx, UTx] = [Tx, Тх], и, следовательно, U — изо­ метрия на множестве значений оператора Т. Таким образом, Т играет роль абсолютной величины опера­ тора А, а абсолютной величиной оператора U является тождественный оператор. Полученное разложение на­ зывается полярным разложением оператора.

Ядерңые операторы

Нам понадобится, особенно в связи с теорией гаус­ совых случайных величин в гильбертовом пространстве, еще один тип операторов в сепарабельных гильбертовых пространствах.

О п р е д е л е н и е 3.13. Пусть пространства Я, и Я2 сепарабельны. Ограниченный линейный оператор А, отображающий Я, в Я2, называется ядерным, если для любой ортонормальной последовательности {еп} из и любой ортонормальной последовательности {§„} из Я2

оо
2	I [Аеп,	g„] I < оо,
1
Т е о р е м а 3.4.	Пусть	оператор А ядерный. Тогда

он компактен, и найдется такая ортонормальная после­

довательность {//} из Я 1,	что
ЛМ/; =	^ . , Я .> 0 ,

и для каждого х из Н {

оо

Ax=f= 2 Ы х>fi]hh
1
где {hi} — ортонормальная	последовательность из Я2.
Более того,
оо
21^ г	< 00•

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся сначала поляр­ ным разложением оператора А:

А = UT,

бЗак. 751

130

Глава 3

Положим hn— Uen. Тогда Ігп — 0, если еп принадлежит нуль-пространству оператора Т. Но в этом случае

Ге„ = 0 = Аеп,

так что [Аеп, gn] = 0. Поэтому будем рассматривать

лишь те элементы еп, которые			принадлежат множеству
значений оператора	Т.	В этом	случае
.	(	[^rti ^m] ==		fl =7^=til,
[Än,-Am] =	|	u		n = m.

Таким образом, из определения ядерности оператора А следует, что

2 1[Аеп, Ігп] I < оо.

I

Но либо

Аеп= 0,

либо

[Ае,„ hn) = [UTen, Uen] = [Ten, еп],

так что

оо

2 [ТеЛ, еп] < оо,

а так как из Т можно извлечь положительный квадрат­ ный корень, то

оо	Ѵ т е п] < оо.
2 [/74,,
1

Другими словами, / Г — оператор Гильберта — Шмидта и, следовательно, он компактен, а потому компактен и оператор Т. Если теперь воспользоваться ортонормаль-, ными собственными векторами {/,■} оператора Т с соот-. ветствующими собственными значениями Яь то получим

2 1[Afn,	Vfn] 1= 2 [Tfn, fn) =	2 v < °°-
I	I	л
Полагая	hi = Ufi, ЯI 0,

Функции, преобразования, операторы

131

видим, что последовательность (AJ в Я2 также орто-

нормалы-іа, так что Ах можно			представить в виде
00		оо
Ах = 2	[х>fi\ hit	2	< °°> А* >	0.
1		1
Верна также и обратная теорема.
Т е о р е м а	3.5. Пусть	А — ограниченный		линейный

оператор, отображающий Я, в Я2, а оператор Т = If А' А

00
компактен и 2 А,- < °о,	где Аг — собственные значения ,
1
оператора Т. Тогда оператор А ядерный.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть {/Л — ортонормальная

система собственных векторов оператора Т:

Tfi = hfi-

С помощью полярного разложения можно показать, что для любых ортонормальных систем {е„} из Нх и {§„} из Я2

\[Аеп, g„] | = | [Теп, U'gn] |

и

00

	Теп= 2		Am[e„, f m \ f m t
так что		I
оо	оо	оо
2 I	[Аеп, Ы 1 < 2	2	A J [еп, fn] [| [/т ,		[.
I	«= I т = І
Далее, .
2	I [еп, и II \fm, Wgn] |<			II f m II ■ II UfmII <	1,
я= І
откуда
	2 і [Аеп,		ы і <	2 Ат .
	1			т—I

5*

132 Глава 3

Ядерная норма

Класс £Г всех ядерных операторов, отображающих Я , в Я2, представляет собой линейное пространство. За­ дадим в нем норму

м н ,= 2 и ,= 2 1 № ft],
1	1
где Я£— ненулевые собственные		значения оператора
Т = У А А \ а /( — соответствующие		им ортонормальные

собственные векторы. Будем называть эту норму ядерной. Если А, В е Т то

поскольку для любого ядерного оператора А

05

М Н , = S l i p S I [Aen, g„]|,

где верхняя грань берется по всем ортонормальным последовательностям {еп} и {gn}, принадлежащим Н{ и Я2 соответственно. Отметим также, что относительно ядер­ ной нормы пространство 8Г полно.

Для частного случая Ht = Н2 = Я зададим след ядер­ ного оператора (отображающего Я в Я):

00

tr А = Ц [Аеп, еп],

1

где {е„} — любая полная ортонормальная последователь­ ность из Я. Легко видеть, что это определение не зависит

от выбора конкретной последовательности.				Действи­
тельно,	пусть	Хі — собственные значения		оператора
T = Y A * A , а		/( — соответствующие им собственные
векторы.	Тогда		оо
		Аеп — 2 ^г ІА> /і] Ufu
			I
где A — UT, и,		следовательно,
	Ѣ [ А е я, еп\ =		Ъ S M * * , M W h , e j.
	1		а—I 1=1

Функции, преобразования, операторы

133

Поскольку оператор А ядерный, можно в двойной сумме
изменить		порядок	суммирования:
2	[Аеп,	еп] = S	h	2 [еп, /,][£//„ еп] = І Я,,[/„ Uft],		г= I
1		і= і		п=1
так	как	оо
		2[в„,		П Ш и en\ = [ f i ,	Uh}
		n=I
в силу полноты ортонормальной последовательности {еп}.
Заметим, что в общем случае след оператора нельзя
выразить		через	его	собственные значения. Что же
касается ядерного			оператора, то для		него

I tr Л K t r /ЛМ.

Часто возникает необходимость рассматривать опре­ делитель самосопряженного положительно определен­ ного оператора, отображающего Я в Я. Определитель естественно задать формулой

det Г = П

і=-1

где %i — собственные значения оператора Т (так как опе­ ратор Т положительно определен, то > 0 для всех г). Но такое бесконечное произведение сходится к некото­ рой отличной от нуля величине тогда и только тогда,

когда

оо

2 і 1 - Я г | < о о .

1

Таким образом, определитель оператора Т корректно определен, если Т имеет вид

T = I + R ,

где R — неотрицательно определенный ядерный опера­ тор. Далее, можно определить и логарифм оператора:

(log (/ + R)) X= S (log (1 -f %k)) [x, фй] <pé> 1

134

Глава 3

где Хк — собственные значения оператора R, а ф* — соот­ ветствующие им ортонормальные собственные векторы.

Заметим, что log(det 7’) = tr(log Т).

П р и м е р	3.6. Пусть
	Hl = L 2{О, Т,) ,		Г ,	< о о ,
	Я2=	Г2 (0і Г2),	Т2<Г,оо,
и функция	R{t, s)	непрерывна в		прямоугольнике

0 < 5 < Г „ 0 < г < 7 Ѵ Тогда соотношения

Л! = ё,

г,

g (0 = { R (Л s) f (s) ds

о

определяют оператор Гильберта — Шмидта, отображаю­ щий Я) в Я2, так как

JГ3	ГJ, I R (t,	s) р dt ds < оо.
о	о
Далее,	г,	т,
II Л ||ң5 == J"		J ltftf, s)fdtds .

оо

Вэтом легко убедиться, выбрав в Я2 полную орто­ нормальную систему {ф„(і)}, в Я, — полную ортонор­ мальную систему M>;l(.s)} и заметив, что

R (t,	s) =		2	2	am,„фт (t) ф„ (s),
где			п	m
	Т,	г		,	_________
am,n =	J	о	JR (t,		s) фт (0 % (s) dt ds.
	о
Следовательно,				2
					&т, пфті

		Функции,		преобразования, операторы					135
откуда
		Лфп] == m Q-m, n'					Г,	Г,
	[Л%„. Л-ф«] =			У) ^	а«>.п =		I	I I R (t,	s) f dt ds.
							о	0
Заметим,		что оператор А"А имеет соответствующее ядро
		Т,
.	К (s2,	s{) = I	R (t, s2) R (t,			s,) dt,		0 < s ,,	s2^ : Tl.
		о
Это	значит, что					т,
	Л*Л/ =		г,	g (s2) =		J К (s2,		s,) f (s,) dst.
						0
Аналогично ядро оператора						ЛЛ’	имеет вид
		т,
		J R{t2, s) R{tu			s)ds,		0< ,tu t2^ . T 2.
		о

Как известно, оба оператора ЛЛ* и А*А ядерные, причем

г,

tr Л*Л = ^ЛЛ* = J K(s, s)ds.

о

В действительности операторы ЛЛ* и Л*Л имеют одина­ ковые ненулевые собственные, значения. Если Х„— не­ нулевое собственное значение оператора ЛЛ*, т. е.

ЛЛ ер,; = : Апф„,

то

II А'<РпII2= [А*ф„, Л*ф„] = [ЛЛ*ф„, ф„] = К Ф О

и

А*А (Л*ф„) = Л* (ЛЛ*Ф„) = Я„,(Л*ф^).

...

В самом деле, если ф„ — ортонормальные собственные векторы оператора ЛЛ*, соответствующие его ненулевым собственным значениям, то ортонормальные собственные

136	Глава 3
векторы оператора А*А имеют		вид
	Л*фп
поскольку	М’фі.11	’
Л*ф,„] =	[ЛЛ*ф„, фш] = 0 для п ф т.

Является ли оператор А ядерным? Очевидно, что для

того, чтобы оператор	А был ядерным,	необходимо (и
достаточно), чтобы условие
I [Л г|з„ ,	ф „] | У=і Iап,п I <	оо

выполнялось независимо от выбора ортонормальных

систем {г|>„} и {ф„}.	s) это выяснить
В общем случае по виду ядра R(t,
	со
нельзя. Для использования условия	21Ѵ \ і < ° ° і	где
Я„ — собственные значения оператора	А*А (или	АА*),

надо знать числа Я„, а в общем случае это практически невозможно. Но если множество значений оператора А конечномерно, то оператор А, очевидно, ядерный. Его ядро имеет вид

т

2 fi (0 gt ( А f=i

где /Д • ) е Я,, gi( ■) е Я2. Легко проверить, что ядерная норма в этом случае не превосходит

т

S u f i ни^ и.

г=і

Для того чтобы понять, что происходит в общем случае, рассмотрим следующий пример. Для каждого п

зададим ядро

П

а д s) ~ 2 Фт (0 ‘Фт ($)•

1

Обозначим через Ап соответствующий оператор. Оче­ видно, что он ядерный. Кроме того,

л	Т 2	Т \
І И п - Ап 11^ = 2	7 Г = 1	J і а д	S)-Rm (t,	s )\2dtds.
m	0 . 0		..............._	. . .

Функции, преобразования, операторы

137

Таким образом, последовательность {Л„} сходится к опе­ ратору Гильберта — Шмидта А с ядром

Со

R (і, s) = У ф,„ (0 фт (s).

Но оператор Л не может быть ядерным, поскольку

[Л щ, ф*] = lim [Апф*. ф*] = ~ .

С другой стороны, его ядро может быть непрерывным. Например, пусть Т1= Т2= \ и

Фа(і) = Фа(0 = ехр 2яikt.

Тогда можно (по классической схеме Карлемана, см. [4]) найти непрерывную функцию

оо

f (t) = 2 Ck exp 2nikt,

о

ряд в правой части сходится в среднеквадратическом на отрезке [0,1] и

		оо
	. . .	21 СА1= оо-
	Полагая	0
		со

R(t, s) = / (t —■s) = 2 ck (exp 2nikt) (exp — 2niks),

видим, что функция R(t, s) непрерывна в прямоуголь­ нике 0 t ^ 1, а обозначая соответствующий оператор . через А, получаем

	S i И ф'а. Фа] l= = S rC fc|= o o .
	о	о
Если Я[ =	# 2> т0	особый интерес представляет част­
ный случай,	когда	А — ядерный оператор. Так полу­

чается, например, когда ядро (с вещественными значе­ ниями) R{t, 0), 0<Js, t ^ . T , является корреляционной

138

Глава 3

функцией, т. е. для любых at и любых tt

тт

И

R(t, s) = R(s, О-

Предположим еще, что функция R(t, s) непрерывна на [О, Т] X [О, У]- (Если R (t, s) = R (t — s), то уже из одной измеримости этой функции вытекает ее непрерыв­ ность.) Тогда ясно, что А — самосопряженный оператор

Гильберта — Шмидта.	Кроме того, для непрерывных
функций ф
m m	Ф (ti) R (t i , tj) Ф (//) (А ti) ( А t,) > О,
И ф , ф] = ІІГП 2 2

а так как множество непрерывных функций плотно в пространстве всех функций и оператор А непрерывен, то для каждой функции ф из Н

[Лф, ф ]> 0 .

Пусть теперь Хп — ненулевые собственные значения опе­ ратора А, а ф„ — соответствующие им ортонормальные собственные функции. Тогда Хп > 0, а пространство, натянутое на {ф„}, совпадает с множеством значений оператора А. Положим

П

Rn З) = 2 ^тфт (О фm (®)і

1

а через Ап обозначим оператор с этим ядром. Тогда оператор Л„ ядерный (поскольку он вырожден: имеет конечномерное множество значений) и

П

tr Rn = 2 V I

Более того,

оо

[(Л — Ап) ф, ф ]= 2 Кп [ф> Ф/,.Р<

л-И

< sup

II ф IP —>- 0 при

OOj