книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве	219
У с л о в и е с о г л а с о в а н н о с т и . Для того	чтобы

мера р, была корректно определена, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: если

Z = B + H en = B + Hp + (Hm+ н ру,

где Нр — подпространство, ортогональное к Я;„, то

V« (В) = ѵт+р (В + Нр),

где ѵт+р — борелевская мера на Ят + Я р.

Заметим, что так как ѵп1 — счетно-аддитивная мера на борелевских множествах конечномерного простран­ ства Ят , то

ѵт {В) — inf ѵт(G),

где G — произвольное		открытое	множество	в Нт, со­
держащее В.	Отсюда
	[1 ( я + //;*) = inf |x(G + Нет).
		а
З а д а ч а	5.1. Обозначим через Sn (т) шар радиуса т
с центром в	начале	координат	некоторого	«-мерного

подпространства Докажите, что. при любом задан­ ном е > 0 найдется такое достаточно большое число т, что

Р (Zm) > 1 — е>

где Zm = Sn (in) + Нп.

П р и м е р 5.1. Приведем пример цилиндрической меры, имеющей первостепенное значение. Пусть R — са­ мосопряженный неотрицательно определенный опера­ тор, отображающий Я в Я. Зададим меру ѵ на боре­ левских множествах конечномерного пространства Нт следующим образом. Выберем ортонормальный базис {еь ... , ет} в Нт. Борелевским множествам в Нт можно поставить во взаимно однозначное соответствие борелевские множества в „координатном“ пространстве:

ег]: £ = 1, .... т).

Введем теперь на борелевских множествах гауссову меру с матрицей вторых моментов {гц}, где гц = [ В еи ej],

220	Глава 5
а R — данный оператор.	Очевидно, что эта мера не

зависит от выбранного базиса. Заметим, что (тУ,т)-ма­ трица {/•;/} может быть вырожденной. Легко видеть, что введенная мера удовлетворяет условию согласован­ ности. Обозначим эту цилиндрическую меру через ц.

Пусть NR обозначает нуль-пространство оператора R, а Нт — подпространство в NR. Тогда мера ц любого цилиндрического множества с основанием в Нт равна 1 или 0 в зависимости от того, содержит это множество нулевой элемент или нет.

Более важную роль играет следующее свойство рас­

сматриваемой	меры. Пусть {ср,} — полная					ортонормаль­
ная система в	множестве значений				оператора			R.	Обо­
значим через Еп цилиндрическое множество
		2 [* .	Ф,]2< М 2		М > 0.
Так как
	Еп er f l		{* : [х,	Фі]2 <	/И2},
то		; = і
		р (Б „ Х (Ф (МД„))'\
где
			X
ф		( х ) =	7 І й е х р (		-	т	)	й
И				IRy. ф]
		Хп —	Щ ІП
			ФеЯ„	[ф . Ф]
(Нп — пространство, натянутое				на векторы			фі,	. .. ,	ф„).
Но в этом случае
	j	log ц {Еп) < log Ф (МД„)
и, следовательно,
Нш		log р, {Еп) <		log Ф (МД),

где Л = 1ішЛ„. В частности, ц{Еп)-> 0, если А > 0.

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве					221
Пусть 5 (0; М) — шар	радиуса	М с центром		в на­
чале координат. Тогда	5(0; М ) а Е п для		каждого		п.
Это показывает, что на классе борелевских			множеств		р,
нет счетно-аддитивной меры, совпадающей			с мерой
на цилиндрических множествах.		Действительно,		пусть

Р— такая счетно-аддитивная мера. Тогда

Р(S (0; /л)) </>(£„),

а так как Р (Еп) = р (Еп), то Р (5 (0; М)) = 0 для всех М. Но

// = I J 5 ( 0 ;m), л = 1, 2, 3, . . . ,

П

и потому

1 = lim Р (5(0; л));

мы пришли к противоречию.

Итак, если R — положительно определенный самосо­

пряженный оператор,	для которого
[Rx, х]	m \х, х], in > 0,
то индуцированную	им цилиндрическую меру нельзя

продолжить так, чтобы она стала счетно-аддитивной ме­ рой на $ (при условии, что пространство Я бесконечно­ мерно). А так как „прототипами“ невырожденных гаус­ совых распределений являются, положительно опреде­ ленные операторы, мы вынуждены ограничиться лишь конечно-аддитивными мерами.

Однако класс функций, которые можно интегриро­ вать по конечно-аддитивным мерам, не так уж малочислен. Например, пусть функция g(t......... tn) измерима по Борелю на Еп. Зададим функцию

h(x) = g ( [х, ф,], [*, ф2], . . . . [х, ф„]),

где {ф„} — заданный конечный набор элементов из Я. Обозначим через р цилиндрическую меру. Тогда функ­ ция h (•) измерима относительно ’S7 и

J h {х) du = J g (•) dvn.

222 Глава 5

Например, если /г (.ѵ) = ехр / [х, ф], ф е / / , то

00

J /г (х) d \i= С е‘!Іdv (у).

—оо

Отметим кстати, что

Сц (ф) = J е‘|д:' 4,1 dy,

есть характеристическая функция (вероятностной) ци. линдрической меры р.

З а д а ч а . 5.2. Пусть р — цилиндрическая мера, ин­ дуцированная самосопряженным неотрицательно опре­ деленным оператором R. Покажите, что характеристи­ ческая функция этой меры равна

Сц(ф) = ехр( —4-[Яф> ф])-

Найдите цилиндрическую меру, характеристическая функ­ ция которой равна

Сц (ф) = ехр ( — Y [Яф, ф] + і [ф, ф]), ф 6= Я.

З а д а ч а . 5.3. Пусть Я —компактный оператор, для которого

ЯФа= ]-Фй. k = l ’ 2’

где фй — собственные векторы, образующие полную ортонормальную систему. Обозначим

Еп(т) = |х: 2 [х, Фг]2 < m 2j , т > 0.

Покажите, что если р — соответствующая цилиндриче­ ская мера, то

lim р (£„(/«)) = О,

П

и,	значит, эта мера, индуцированная оператором R,
не	может быть счетно-аддитивной.

Прежде чем развивать теорию интегрирования по конечно-аддитивным мерам, установим условия, при

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве

223

которых самосопряженный неотрицательно определен­ ный оператор R индуцирует счетно-аддитивную меру.

Сначала вспомним несколько основных и необходи­ мых нам сейчас результатов теории меры. Класс 'g’ цилиндрических множеств образует алгебру. Пусть ц — цилиндрическая мера. Ее можно продолжить на а-алгебру борелевских множеств (порожденную обеспечив счетную аддитивность, тогда и только тогда, когда для любого цилиндрического множества Z, для которого

со

Z a UZ„, I

где Z,, — цилиндрические множества, справедливо не­ равенство

ос

tt(ZK2n(Z„).

I

Это условие можно сформулировать по-другому. Пусть

я = (J z,„ 1

где {Z„} — последовательность попарно непересекающихся цилиндрических множеств. Тогда для возмож­ ности указанного продолжения меры ц необходимо и достаточно, чтобы

2 n (z „ ) =	i.
I
Эквивалентность этих условий	легко доказать. Всякую

цилиндрическую меру, обладающую таким свойством,

будем называть счетно-аддитивной.

Для наших целей нам потребуется распространить это понятие на один частный случай гильбертова про­ странства. Прежде всего, следуя обычным методам

продолжения мер,	определим внешнюю меру, или
меру Каратеодори,	индуцированную произвольной

224

Глава 5

цилиндрической мерой ц. Для произвольного подмно­ жества F в Я положим

оо

Ре (F) = inf 2 Р (Zk),

I

где {Zk} — последовательность цилиндрических множеств,

/

со

\

покрывающая F ^т. е. /•'cr(JZ ftj, а нижняя грань бе­

рется по всем таким последовательностям. Совершенно ясно, что (Z) р, (Z) для любого цилиндрического множества Z. Более того, если F]er F2, то любая по­ следовательность цилиндрических множеств, покрываю­ щая /-'о, покрывает и Fu а значит,

Ре (^ ) -

Это позволяет дать следующую характеризацию счетно­ аддитивных цилиндрических мер.

Т е о р е м а 5.1. Для того чтобы цилиндрическая мера была счетно-аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы для любого наперед заданного числа е > 0 су­

ществовало	такое замкнутое ограниченное множество К,
что ре (К) ^	1 — е.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость. Предположим, что мера р счетно-аддитивна. Тогда очевидно, что мера ре счетно-аддитивна на $ и последовательность множеств

5 (0; in) — {.ѵ: || х |]2< in2}, пг— 1, 2, ....

монотонно возрастает по пг, причем

1 = lim ре (S (0; пг)).

ГП

Следовательно, для данного е > 0 всегда можно найти такое достаточно большое число пг, что

pe(S (0; /п ))> 1 — е.

Достаточность. Пусть для произвольного е > 0 су­ ществует такое замкнутое ограниченное множество Д, что

Ре(Ю > 1 - е .

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве	225
Но K c z S (0; Я) для достаточно большого Я, так	что
|хе (5 (0; Я)) 1— е. Пусть {Zk} — последовательность	по­

парно непересекающихся цилиндрических множеств и

\ J Z k = H.

1

Для каждого k можно найти такое открытое цилин­ дрическое множество Z'k, что для заданного е > 0

i i ( z ; ) < Ii(Zft)+-i é T , z'h =>zk.

Далее,

00

5(0; Я) с: Я = (J Z*, 1

а множества Zk открыты в слабой топологии. Так как шар 5 (0; Я) слабо компактен, то

		N
5(0; Я) с= ( J 4 ,
откуда
	■ N	\	N	N
1 — е < це (5 (0; Я)) <	це
и потому	N
00
^ { Z k) > ^ ( Z k) > l - 2 z .
1	I

Так как е произвольно, то

00

а так как очевидно, что для всех N

1

ТО

21 й (2*)= і ,

что и требовалось доказать.

1Д7 Зак. 751

226

Глава 5

Выведем теперь условия, которые нужно наложить на R для того, чтобы соответствующая мера была счетно­ аддитивной.

Т е о р е м а 5.2. Пусть R — неотрицательно опреде­

ленный самосопряженный оператор,	отображающий Н
в Н. Для того чтобы цилиндрическая	мера, индуциро­

ванная оператором R, была счетно-аддитивной, необхо­ димо и достаточно, чтобы оператор R был ядерным.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Достаточность. Обозначим
5(0;'Я) =	{ х : | | х ||2 < Я 2}

и возьмем последовательность {Z„} цилиндрических мно­ жеств, покрывающую S (0; Я). Тогда найдутся такие открытые цилиндрические множества Zu, что для лю­ бого е > 0

Z'k =э Zk,

и, значит,

ооОО

I

1

Так как е произвольно, то

Ре (S (0; Я)) = inf S М- (-Zfe), k

где

оо

\J Z k =o 5(0; Я) 1

и цилиндрические множества Zk открыты. Далее, так как шар 5 (0; Я) слабо компактен, то из любого его открытого покрытия можно выделить конечное по­ крытие. Поэтому

Ре (5 (0; Я)) = inf р, (Z),

где Z — объединение конечного числа открытых цилин­ дрических множеств, покрывающее S (0; Я), т. е. открытое цилиндрическое множество, содержащее 5(0; Я). Таким образом, мы видим, что нижнюю грань можно брать по классу цилиндрических множеств, содержащих 5(0; Я).

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве

227

Возьмем теперь произвольную полную ортонормаль­ ную систему {і|)г} и положим

Ѣ [лг,^]2< Я 2}.

Покажем, что можно выбрать такое достаточно боль­ шое число X, чтобы для заданного е > 0 и для каж­ дого п выполнялось неравенство

р (£„ (А,)) > 1 — е (независимо от выбранной ортонормальной системы).

Для этого заметим, что если		Нп — пространство, натя­
нутое на векторы opj, ... , t|>„,		а Рп — оператор проекти­
рования на	то

En(X) = Pn (S(0-, Х)) + Нсп,

где Нп — ортогональное	дополнение к Нп. Но для ве­
щественных t
«?[*• »il'	dp ■	1
/		У \l-2 itQ n\
н
где
Q n — Р nR>

11 - 2itQn I = det I / - 2itPnR |.

Оператор PnR вырожден (т. e. его множество значений конечномерно), самосопряжен, неотрицательно определен

и, значит, оператор	det j / — 2itPnR I корректно	опре­
делен. Более того,	PnR-+R по ядерной норме	при

п —.>оо и

det I / - 2itPnR |-► det | / — 2UR I, oo

det I / — 2itR I = П (1 — 2itXk), k=i

где Xk — собственные векторы оператора R\ бесконечное произведение сходится, поскольку R — ядерный оператор

4J*

228	Глава 5
ОО
и для него 2 Ä ft<oo.	Отсюда следует, что
1
п

и, значит, для заданного е > 0 можно найти такое до­ статочно большое число Я, что неравенство р. (Еп(Я)) ^ ^ 1 — е будет выполняться для каждого п, поскольку

ОО

и не зависит от конкретной ортонормальной системы, которой мы пользовались.

Обозначим через Z произвольное цилиндрическое множество, содержащее S(0; Я) для выбранного только

что числа Я. Запишем	Z = Вп -\- Нсп, где Вп — борелев-
ское множество в	Ясно, что	Я„(5(0; Х ))аВ п, где
Рп — оператор проектирования на		Таким образом,

M Z )> 1 - е,

откуда

Ji.(S(0; Я ) ) > 1 - е ,

и можно применить теорему 5.1.

Необходимость. Докажем сначала, что оператор R

компактен. Пусть {/„} — последовательность,		слабо схо­
дящаяся к f, и пусть
gn (х) = exp i [х, fn],	xz=H.
Функция gn{x) непрерывна (следовательно,		измерима
относительно і%) и для каждого х
gn (х) -> g (х) = exp i [х, f],	I gn (jc) |= 1 .

Согласно обычной теореме Лебега об ограниченной сходимости для счетно-аддитивных мер,

е [Äf«- in]/2= J gn (х) d\x, ->■ I g (x) dp = e,-Wf. fiß

откуда	_	_
;a

[Rfn, fn] = W R f n f - * \ V R f T ‘