книги из ГПНТБ / Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве

Полугруппы линейных операторов

209

Пусть, наконец, x(0) = Lu0. Тогда

I

x{t) = S{t)x{0)+ J S { t — a)Wu{a)dae=tR

F(x(t))= I W (t — о) «о(er)der +	J W (t — о) и (a) da = v (f).
—со	0

Далее,

t

Mx(t) = T(t)Mx(0) + f T(t — o)(MW)u(o)da,

6

где MW = B. Кроме того, F(Lu) — CM (Lu), так что

|F (Z ,« )K ||C |||U -,J< 1 ^ ||L « ||.

Таким образом, F( - ) определяет непрерывный линей­

ный функционал на 2Л. Заметим, что это нам при­ шлось бы предположить, если бы мы не знали, что такое W (t).

Обратно, если топология, индуцированная на 2Л как на подпространстве пространства Н (а), эквивалентна топологии на Я, порождаемой отображением М, то оператор R обязательно обладает указанным выше свойством, а именно

[Я*, х] ^ m [х, х], ш > 0.

Заметим, что это условие исключает компактность оператора R.

П р и м е р 4.5. З а д а ч а о п т и м а л ь н о г о по б ы с т р о д е й с т в и ю у п р а в л е н и я . Пусть S {t)~ сильно непрерывная полугруппа над гильбертовым про­ странством Я с инфинитезимальным порождающим оператором А. Очевидно, что система

x {t)= Лх(і!)+ u(t)

управляема. Обозначим через С (Г) класс функций и( ■),

принимающих значения в Я и таких,		что
(і) функция	u(t) слабо измерима	на отрезке [0, Т],
(ІІ)||«(0 ІК 1	почти всюду.

210 Глава 4

Множество С для каждого Т выпукло, замкнуто и ограничено в L2([0, Г], Я).

Пусть у — заданный элемент в Я, и пусть нам из­

вестно, что

т

у = J S(T — s)u(s)ds,

о

при некотором Т\\ и{ •) е С(Т).

Задача оптимального по быстродействию управле­ ния состоит в том, чтобы отыскать минимальное время Т, за которое можно перевести данную систему из начала координат в состояние у, и управление и ^ С ( Т ) , позво­ ляющее этого достичь. Легко видеть, что такое мини­ мальное время и соответствующее управление (или упра­ вления) действительно существуют. Гораздо труднее установить необходимые и достаточные условия, кото­ рым должно удовлетворять искомое управление. Эта последняя задача по сути дела сводится к отысканию опорных плоскостей для выпуклых множеств. Для ее решения положим

г
йь{Т) = {у: У ~ \	S(T — s)u(s)ds, и(-)<=С(Т)}.
о

Очевидно, что множество Qb(T) выпукло, замкнуто и ограничено. Обозначим через Т0 мңнимальное время достижения состояния у (из начала координат). Тогда точка у должна быть граничной точкой для Qb(T0).

Действительно,	пусть {ГД — такая	последовательность,
что Тп ^ . Т 0 и	ГП-> Г 0. Тогда у	не	может принад­
лежать Qn(T„).	Пусть zn обозначает ближайшую к у
точку в Q,n{Tn).	Тогда 2„->г/, т.е.	у ~	граничная точка.

Предположим временно, что у — опорная точка мно­ жества Qb(TQ). Тогда существует такой ненулевой вектор

г е Я ,	что [х, г]^[г/, z ] для	каждого лгеЙ 6 (Г0). Иначе
говоря,	для и ( - ) ^ С ( Т 0)
т		4fl
J S{T0— s)u{s)ds, z <■		J S(T0 — s)u0(s)ds, z
-о		-o

Полугруппы линейных операторов	211
где
У = Jт, S(T0 — s) u0(s)ds
о

для некоторого управления и0( ■) из С(Т0). Отсюда сле­

дует,	что			г»
т,
J	[U(s), S’ (T0- s ) z ] d s ^ j [«0(5), S’(Г0 - S )z]d s .
о				о
Пусть теперь			■S* (Гр - s) г
	и (s)	=
			S* (То - s ) z I
причем знаменатель отличен от нуля. Тогда
	То		г,
	J \\S, (T0- s ) z ] \ d s ^ J			K (s), S*(7*0- s ) z ] d s
	о		о
и потому управление			и0(-)	должно совпадать с «(•)

почти всюду. Это значит, что можно построить опти­ мальное управление следующего вида (так называемое

релейное управление):

</(о\-----

U[S)~~ II у (s) II ’

где y{s) удовлетворяет сопряженному уравнению

*/(*) + Л*г/(з) = 0, у { Т )Ф 0.

Как мы убедились выше, в общем случае беско­ нечномерного пространства не все граничные точки выпуклого множества могут служить опорными, и молено лишь утверждать, что опорные точки образуют плотное подмножество множества граничных точек. Для того чтобы каждая граничная точка могла быть опорной, достаточно, чтобы начало координат было внутренней точкой выпуклого множества. Легко видеть, что в нашем конкретном случае это условие выполняется всякий раз, когда начало координат принадлелеит резольвентному множеству оператора S(T0). А это значит, что множе­ ством значений оператора S(t) при любом t ^ T 0 должно быть все пространство. В частности, функция

u{s) = S(T0 — s)(S (Т0)~')х,

0 < 5 < Г 0,

212	Глава 4
непрерывна для	каждого х ^ Н , так что « (^ п р и н ад ­
лежит L2([0, Го],	Н) и

та

I S(T0- s ) u ( s ) d s = - ± - ,

о

откуда следует, что нуль принадлежит внутренности множества Qb(T0). Это условие выполняется, когда полу­ группа S(t) в действительности является группой, на­ пример в случае уравнения Шрёдингера или волнового уравнения. Это условие нарушается, если полугруппа оказывается компактной.

П р и м е р. 4.6. Простой пример (предложенный Фатторини) иллюстрирует невозможность релейного упра­ вления в бесконечномерном случае. Пусть {cpft}—полная ортонормальная последовательность в Н и полу­ группа S{t) имеет вид

оо

5 (0 h = 2 е~п‘ [!г, <р„]ср„.

о

Обозначим через А ее инфинитезимальный порождаю­ щий оператор. Положим

оо	оо
в = 1 і b kфь	b k Ф о, 2 l bk р < оо,
о	о

и рассмотрим задачу оптимального быстродействия для

системы	л: (0) = 0,
x(t) — Ax(t) + Би (t),

с (скалярным) управлением, удовлетворяющим условию

| «( ^) | ^1. Пусть для. некоторого у е Н		и f > 0
t
у = j S(t — о) Bu(a)da,	| u ( * ) l ^ l j
о
тогда
t	do>	n ^ o,
= I e-n (t-o)u

n о

Полугруппы линейных операторов

213

и главная особенность рассматриваемого примера со­

стоит в том, что	равенство
	t
О=	J е~п^~а)и(о) da,	О,
влечет за собой	о
и (а) =	0 почти всюду,	0 < а < t,

т. е. оптимальное управление единственно. Пусть

«(*) = у . 0 < / < 1 ,

и

1

y = Y J S(1 — а) В da.

о

Покажем, что состояния у нельзя достичь за время,

меньшее	1. Действительно,	если
і-і
y = f	S(1 — t — s)Bu(s)ds,		0 < t < l , |u(s)II< 1 ,
	— J e-rni-a) da =	J	e~n^~l~a)u{a) da,
откуда	о	о
I	1
Y J	da = I e~ll^~a)ü(a) da, ü{a) = u(a — t),
о	i

что невозможно в силу единственности оптимального управления. С другой стороны, оптимальное управление больше не является релейным. В частности, для мно­ жества

I J 5 (1 — s) Ви (s) ds: | и (s) | ^ 1 j

нет опорной плоскости, проходящей через точку у.

Глава 5

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Цилиндрические множества

Пусть Я — сепарабельное вещественное гильбертово пространство. Выберем в нем « элементов (различных или нет) хх, .. и пусть В — борелевское множество в евклидовом /г-мерном пространстве Еп. Назовем ци­

линдрическим	множеством множество таких элемен­
тов у ^ Н , что	«-мерный вектор {[г/, х,]} принадлежит В.

Обозначим через Нп конечномерное подпространство, натянутое на элементы хи ... , хп. Размерность про­ странства Я„ может быть меньше п. Если Р,t — опера­ тор проектирования из Я на Я„, то вместе с каждым элементом у в цилиндрическом множестве содержится и Рпу + (/ — Рп) Н\ этим и объясняется название „ци­ линдрическое множество“.

Это множество можно определить с несколько дру­ гих (и более общих) позиций. Рассмотрим конечномер­ ное подпространство Яш в Я. Определение борелевского множества В в Я,„ известно.

Цилиндрическим множеством будем называть мно­ жество, которое можно представить в виде суммы боре­ левского множества В и ортогонального дополнения к Нт. Борелевское множество В называют тогда осно­ вание.« цилиндра, а Нт— его базисным пространством.

Легко получить следующие свойства цилиндрических множеств.

(i)Теоретико-множественное дополнение цилиндри­ ческого множества есть также цилиндрическое мно­ жество. В самом деле, если цилиндрическое множество имеет основание В, то основанием для его дополнения будет дополнение множества В.

(ii)Пересечение двух цилиндрических множеств есть

также цилиндрическое множество. В самом деле, пусть С1

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве

215

и С2—цилиндрические множества с основаниями ß, и ß2 соответственно в подпространствах Я, и Я2. Заметим, что НІ П Яг совпадает с ортогональным дополнением под­

пространства, натянутого на Я| f] Я2, где Я? — ортого­ нальное дополнение к Я ( (г = 1, 2). Из определения ци­ линдрических множеств С, и С2 имеем

С, =	ß, +	н і =	ß, + (Я? - Hl) + Hl,
C2 =	ß 2 +	{Hl -	Hl) + Hl,

где Hl — H\{] Hl. Очевидно, что множество НІ равно сумме множества Hl и ортогонального дополнения к Я | в НІ. Отсюда

НІ - Hl с Hz

и аналогично

Hl - H l а Hz.

Положим

Я, = ß, + Я? - Я§,

ß2 = ß2 + Hl - Hl.

Тогда ß, и ß2 — борелевские множества в Я3. Наконец,

С , П С 2 = Л , П Я 2 + Я зс

и, значит, С, П Со — цилиндрическое множество. (Заме­ тим, что если у е С, П С2> то

	y =	b\-\-liz,		b \^ B \,	hl е Яз,
	y —	bi-\-hz,		bz^Bo,	hz е Яз.
Поэтому обязательно			Ь\ =	Ьь и hl = hl.)
Попутно мы доказали, что два цилиндрических мно­
жества с основаниями ß| в Я, и В2 в Я2 совпадают
тогда и только		тогда, когда ß, =			ß2.
Предупреждение.			Если	Л с: Z,	Z — цилиндрическое
множество, а пространство Я бесконечномерно, то мно­
жество	А не обязательно			цилиндрическое.
(ііі)	Объединение двух цилиндрических множеств есть
также	цилиндрическое множество.. Это следует из

216

Глава 5

свойства (і). Используя обозначения пункта (іі), получаем

CiUC2 = ß , U ß2 + н і

Таким образом, класс цилиндрических множеств ‘S образует алгебру. Более того, пространство Я можно представить (многими способами) в виде объединения счетного числа цилиндрических множеств, и, разумеется, само оно является цилиндрическим множеством. С дру­ гой стороны, ясно, что объединение счетного числа множеств из ‘S не обязательно принадлежит ‘S.

Борелевские множества

Наименьшая ст-алгебра множеств, содержащая все открытые множества (или, что эквивалентно, все замк­ нутые множества) в Я, называется борелевской ст-алгеб- рой пространства Я, а принадлежащие ей множества называются борелевскими множествами. Класс борелев-

ских множеств будем обозначать через $. Значение борелевских множеств основано на следующей лемме.

Л е м м а 5.1. Класс борелевских множеств $	со­
впадает с наименьшей а-алгебрэй, содержащей все	ци­
линдрические множества.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем сначала, что каждое цилиндрическое множество является борелевским. Пусть С — цилиндрическое множество с основанием В и ба­ зисным пространством Н,п. Предположим, что В замк­

нуто в Ят . Тогда очевидно, что множество С = В -\-Нст замкнуто в Я.

Рассмотрим теперь наименьшую ст-алгебру, содержа­ щую все цилиндрические множества, имеющие в ка­ честве оснований замкнутые множества в (фиксирован­ ном) базисном пространстве Нт. Эта а-алгебра должна быть а-подалгеброй в Поэтому все ее множества должны быть борелевскими в Я. Но борелевские мно­ жества в Нт— это не что иное, как элементы наимень­ шей ст-алгебры, содержащей все замкнутые подмножества в Нт. А это значит, что цилиндрические множества с борелевскими основаниями должны быть борелевскими

Вероятностные меры на гильбертовом пространстве

217

множествами в Я. Следовательно, наименьшая сг-алгебра, содержащая все цилиндрические множества, должна содержаться в

С другой стороны, пусть		А — борелевское	множе­
ство в Я.	Покажем, что А	принадлежит наименьшей
а-алгебре	$ с, порожденной	цилиндрическими	множе­

ствами. Рассмотрим сначала частный случай, когда А — замкнутый шар:

А = {х: | |x - * 0||2<M }.

Пусть {ф„} — полная ортонормальная система. Тогда для каждого п множество

А» = {*: Іі [* —*<>. Фг]2< м }

является цилиндрическим. Но так как

А = Г \ А п,

то А принадлежит $ с.

Далее, пространство Я сепарабельно, так что каждое открытое множество в нем можно представить в виде объединения счетного числа замкнутых шаров. Действи­ тельно, пусть U — открытое множество в Я, {.vfe} — по­ следовательность, плотная в Я, а {г*} — ее подпоследова­ тельность, содержащаяся в U. Для каждого zk положим

5 Ы = U 5 (zk; г„),

П

где {г,J — последовательность всех рациональных чисел и

5 (гк; /•„) = {х: ||гк — х ||< гп),

причем рассматриваются только те шары, которые со­ держатся в U. (Другими словами, 5 (zk) — объединение счетного числа содержащихся в U замкнутых шаров с центрами zk и рациональными радиусами.) Очевидно, что 5 (Zs) <= $ с. Более того,

и с Us (zk).

к

218

Глава 5

Действительно, пусть y ^ U . Тогда существует замк­ нутый шар 5 (у\ г) с рациональным радиусом, содер­ жащийся в U. Этот шар должен содержать подпосле­ довательность последовательности {zÄ} (обозначим ее снова {Zk}), сходящуюся к у. Следовательно,

У <= S (zk\ rk) сzS(y; г) с: U

для некоторого достаточно малого рационального числа

rk. Очевидно, что (JS (2 ft) c i7 , т. е,	U = U S (z Ä) и,
k	k
значит, U принадлежит $ с. Но так как $	есть сг-алгебра,

порожденная открытыми множествами (которые по дока­ занному принадлежат $ с), то $1 с $)с. Вместе с доказан­ ным ранее включением $)c cz $ это означает, что !%= $ с.

Заметим кстати, что $ — наименьшая сг-алгебра, со­ держащая все замкнутые шары (или, что эквивалентно, все открытые шары).

Итак, мы описали два объекта из трех, образующих вероятностное пространство: выборочное пространство Н и борелевскую ст-алгебру $ его подмножеств. Теперь введем на $ вероятностную меру.

Меры на цилиндрических множествах

Начнем с изучения вероятностных мер на алгебре цилиндрических множеств. Такие меры мы будем на­ зывать цилиндрическими мерами и обозначать через ц. Пусть Z — цилиндрическое множество с основанием В и базисным пространством Нт, Тогда по определению

H (Z) = Ут (В),

где ѵ„, (•) — счетно-аддитивная вероятностная мера на a-алгебре борелевских подмножеств в Нт. В частности, если {ZÄ} — попарно непересекающиеся цилиндрические множества с общим базисным пространством Нт и соответствующими основаниями {ßfc}, то

t i ( i 2 Äj = | p ( Z ft) = | v OT(ßft).