книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

80 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ с ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

§ 13. Электрические цепи

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений находит свои применения в различных областях техники; она применяется в электро­ технике и, в частности, радиотехнике. При некоторой идеализации работа радиоприбора может быть математически описана системой обыкновенных дифференциальных уравнений, причем неизвестными функциями времени в этой системе являются величины токов, про­ ходящих через различные детали прибора, или падения напряжения между отдельными узлами прибора. Радиоприборы дают очень бога­ тый материал, иллюстрирующий применения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, гораздо более богатый, чем, например, задачи механики. Богатство это характеризуется, в частности, тем, что систему обыкновенных дифференциальных уравнений, возникшую

из какой-нибудь технической задачи, часто удае;сг		смоделировать
электрическим прибором, т. е. сконструировать такой		электрический
прибор, работа которого описывается	то й же системой уравнений,
что и интересующий нас технический	объект. Такой	моделирующий

электроприбор может до некоторой степени помочь в решении систе­ мы уравнений, так как, наблюдая за его работой, мы тем самым наблюдаем за поведением неизвестных функций, удовлетворяющих системе уравнений. Физические законы, управляющие работой электро­ приборов, формулируются настолько просто, что они легко могут быть сообщены даже человеку, почти незнакомому с физикой. Здесь в несколько догматической форме дается изложение простейших законов электротехники и приводится несколько примеров примене­ ния дифференциальных уравнений к изучению работы электроприборов

Э л е м е н т ы э л е к т р и ч е с к и х ц е п е й

К числу важнейших деталей, из которых конструируются электро­ приборы, принадлежат сопротивление, индуктивность (самоиндук­ ция) и емкость (конденсатор). Каждая из этих деталей является двухполюсником, т. е. обладает двумя контактами, которые при монти­ ровании электроприбора присоединяются к полюсам других деталей. Во время работы электроприбора через двухполюсник, вмонтирован­ ный в этот прибор, проходит электрический ток, и при этом электри­ ческое состояние двухполюсника характеризуется в каждый момент

времени t двумя величинами: силой тока 1аЬ(t),		идущего от полюса а
к полюсу b	двухполюсника ab, и падением напряжения		Uab{t)		от
полюса а к	полюсу Ь. Сила тока Iab(t) может	принимать	как	поло­
жительные,	так и отрицательные значения; если	ток «течет»		от	по­

люса а к полюсу b (имеется в виду так называемое техническое

направление тока), то число	lab (t) положительно; в противном случае
оно отрицательно. Падение	напряжения Uab(t) от полюса а к по­

§ 13.1

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

81

люсу b представляет собой разность Va(t)— Vb(t) потенциалов в по­ люсе а и полюсе Ъ. Таким образом, обе величины lab{t) и Uab(t), характеризующие состояние двухполюсника ab в момент времени t, зависят от того, какой из полюсов поставлен на первом месте и ка­ кой на втором. При перемене порядка полюсов каждая из величин 1аЬ (t), Uab{t), очевидно, меняет знак, так что мы имеем соотношения:

/*а(0 =	-	/ оь(0 . ,	(*)
Uba(t) =	-U a b (t).		(2):
Для каждого двухполюсника	ab	функции	U (О и Uabd) вре­

мени t не независимы, а связаны некоторым соотношением, представ­ ляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюс­ ника. Для сопротивления, самоиндукции и емкости физические за­ коны, управляющие их работой, даются нижеследующим предложе­ нием.

А) Для двухполюсника ab, представляющего собой сопротивле­

ние, имеет место соотношение (закон Ома):
(JabV) = ЯаЛЛО !	(3)

здесь Rab — положительный коэффициент, называемый сопротивле­ нием и могущий для различных двухполюсников принимать различ­ ные значения, но постоянный для каждого данного двухполюсника; при этом мы имеем всегда

Rba — Rab-

(4)

Для двухполюсника ab, представляющего собой индуктивность, имеет место соотношение:

U a b ( t ) = L a b ^ l a b (ty,

(5)

здесь Lab есть положительный коэффициент, называемый индуктив­ ностью и могущий для различных двухполюсников принимать раз­ личные значения, но постоянный для каждого данного двухполюсника. При этом

L b a =		L ab.	( 6)
Для двухполюсника ab, являющегося		емкостью (конденсатором), имеет
место соотношение
U ( t ) = C a b £	v a b ( t ) ,		(7)
где СаЬ есть положительный	коэффициент, называемый емкостью
и могущий принимать различные значения для различных			двухпо­
люсников, но имеющий для данного		двухполюсника вполне	опреде­
ленное значение; при этом мы	имеем:

Саь — Cba-

(8)

82	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл, 2

Интегрируя соотношение (7), мы получаем: t

Uab{ t)= U ab{h) + ^ I ab{f)dt. (9) to

Функция

Q a b V ) = C a b U a b ( t )

представляет собой физическую величину, связанную с состоянием

конденсатора в данный

момент времени

и.называемую зарядом кон­

денсатора ab. Соотношение (9) часто

пишут в виде:

</«>(0 = c b

f

/а»0 )Л .

где под

$ Iab (t) dt подразумевают

заряд конденсатора.

Соотношение (4) вытекает из (1),

(2)

и (3):

R a b h b ( 0 =

Uab (0 = -

U ba (0 = -

R b J b a (0 = R b a

h a (0) =

Аналогично устанавливаются соотношения (6) и (8).

= R b a h b (О-

Важную роль в работе электрических приборов играет явление

взаимоиндукции между двумя индуктивностями.

Б)

Две

индуктивности

аф 2

и

афг

с

величинами

La

= / . , и

La b = L i могут находиться

в состоянии взаимоиндукции, характери­

зующемся коэффициентом

взаимоиндукции

М = М

b

a

В

этом

случае падение напряжения

(J b

{ t)= U\il)

на двухполюснике

аф 2

связано не только с током

/а б1(0 =

Л(0 ,

ио также

и

с током

la^ i t ) = h_{t). Точно так же напряжение

Ua^bi{t)=

U%(t)

на

двух­

полюснике афч связано не только с током I.2(t), но и с током /, (t).

Соотношения, которые имеют здесь место, даются	формулами
	(Ю)
Ui it) = U - ^ k ( t ) - h M ^ I l (t).	( 11)

При этом для коэффициента Л1 6 0iftj взаимоиндукции выполнены равенства

^ а 1Ь1, а гЬл	^ а 2Ь$,	Q i f t i ‘	^ a 2bi, b^a*’
кроме того, для него имеет место неравенство
	М 2<	LtLt.

Чем больше «взаимодействие» двух индуктивностей, тем более коэф­ фициент взаимоиндукции М приближается по величине к значе­

нию ]/ L1Li.

§ 13]	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ	83
Описанные в предложении А) двухполюсники называются пассив­
ными;	сами они не могут вызвать появления в	приборе электричес­

ких явлений. Непосредственной причиной появления в приборе элек­

трических токов служат

активные двухполюсники — источники на­

пряжения и источники тока.

В) Для двухполюсника ab, представляющего собой

источник

на­

пряжения, имеет место соотношение

Uab(t)= U (t),

(12)

где U(t)— заданная

функция

времени

t,

характеризующая

источник

напряжения. Соотношение ( 12) можно

рассматривать

как

связываю­

щее функции U ь (0

и

Iab (I), только

связь эта такова, что функция

Iab(t) в нее не входит.

Для

источника тока

ab

аналогично

имеет

место

соотношение

/в*(9 =

/( 0 ,

где I (t)— заданная функция

от

t,

характеризующая

источник

тока.

Наиболее часто рассматриваются источники напряжения

и источники

тока, для которых функции

U(t)

и

l(i)

являются

либо константами,

либо периодическими

функциями

вида

г COS (at -)- а).

Таковы главнейшие и в то же время

простейшие детали, из ко­

торых

монтируются

электроприборы.

Сами

приборы

называются

э л е к т р и ч е с к и м и

це пями ,

а детали,

из которых они монтиру­

ются, — их э л е м е н т а м и .

Следует отметить,

что существуют

эле­

менты, отличные от описанных выше, в частности существуют много­

полюсные элементы. Примером т р е х п о л ю с н о г о			элемента служит
э л е к т р о н н а я л а мп а	(триод),	работа которой	будет разобрана
в дальнейшем (см. § 29).
З а к о н ы К и р х г о ф а
Перейдем теперь к формулировке		з а к о н о в К и р х г о ф а , управ­

ляющих работой электрических цепей.

Г) Электрической цепью называется конечная совокупность эле­ ментов (в частности, двухполюсников вышеописанных видов), полюсы которых соединены в так называемые узлы цепи, так что в каждом узле соединяются два или большее число полюсов различных элемен­ тов цепи. П е р в ы й з а к о н К и р х г о ф а утверждает, что сумма

всех токов, втекающих в каждый узел цепи из	всех элементов,
примыкающих к этому узлу, равна нулю. В т о р о	й з а к о н К и р х ­

г о фа	вытекает из	предположения, что	в каждом	узле а цепи име­
ется	электрический	потенциал Va(t), а	падение	напряжения Uab(t)

84	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

от узла а к узлу b представляет собой разность потенциалов, имею­ щихся в узлах а и Ь, так что Uab (t) = Va (t) — Vb (t). Из этого пред­ положения вытекает, что если а, Ь, с, ..., h, k есть некоторая по­ следовательность узлов электрической цепи, то имеет место соотношение

и аЬ (0+ и Ьс(0 + ... + u hk (0 + и ьа (О = о,

которое и представляет собой второй закон Кирхгофа. Его формули­ руют следующим образом: сумма падений напряжения вдоль всяко­ го замкнутого контура цепи равна нулю. (В этих формулировках

законов Кирхгофа не предполагается, что элементами цепи явля­ ются двухполюсники.) Дадим теперь более четкую формулировку

законов Кирхгофа		применительно			к цепям,		составленным из двухпо­
люсников.
Д)	Пусть 5 — некоторая			электрическая			цепь,		составленная из
двухполюсников. Первый			закон		Кирхгофа		утверждает,			что если а
есть произвольный		узел	цепи	5 , а Ьха,		Ьуз.,...,		bqa — совокупность
всех	двухполюсников, примыкающих к					узлу а (рис.			7),	то
		( О	Ь га ( 0 +		• • • h+ qa ( 0			=	0 .

Второй закон Кирхгофа утверждает, что если ab, bc,..,,hk, ka — не­ которая последовательность двухполюсников, входящих в цепь 5 (каждый следующий двухполюсник начинается в том узле, в котором кончается предыдущий, рис. 8), то

Uab (t) + Ubc(0 + . . .

+ Uhh (t) + Uka (t) = 0.

Рассчитать работу электрической цепи, составленной из двухпо­ люсников, — это значит найти ток и напряжение, соответствующие

§ 131	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ	85
каждому двухполюснику,	входящему в цепь; таким	образом, если

цепь состоит из п двухполюсников, то перед нами стоит задача отыскания 2п функций времени. Закон, управляющий работой каждого отдельного двухполюсника, дает одно соотношение между искомыми функциями, так что для 2п искомых функций мы уже получаем п

соотношений. Остальные п	соотношений		дают	законы	Кирхгофа.
Тот факт, что законы Кирхгофа дают		именно п		независимых между
собой соотношений, можно	доказать,	но	здесь	мы этого	делать не

будем. В результате использования всех соотношений мы получаем систему из 2л уравнений для 2л искомых функций. Уравнения эти частично дифференциальные, частично конечные (алгебраические). Законы Кирхгофа дают конечные уравнения и ими прежде всего нужно воспользоваться для исключения части неизвестных функций. При этом обычно пользуются одним из следующих двух путей. Можно за основные неизвестные функции принять токи и выразить через них напряжения. В этом случае нужно прежде всего восполь­ зоваться первым законом Кирхгофа: выразить все токи через мини­ мальное число независимых (в силу этого закона). Независимые токи называются контурными. После этого следует воспользоваться вторым законом Кирхгофа, заменяя в нем каждое напряжение его

выражением	через соответствующий ток. Этот способ называется
м е т о д о м	к о н т у р н ы х ток ов . Второй способ заключается в том,

что за основные неизвестные функции принимают напряжения на двухполюсниках, а токи выражают через напряжения (при помощи законов, управляющих работой каждого двухполюсника). В этом случае нужно при помощи второго закона Кирхгофа выразить все напряжения через минимальное число независимых (в силу этого закона). Независимые напряжения называются узловыми. Затем нужно использовать первый закон Кирхгофа, заменяя в нем каждый ток его выражением через соответствующее напряжение. Этот способ назы­ вается м е т о д о м у з л о в ы х н а п р я ж е н и й .

О п е р а ц и о н н о е с о п р о т и в л е н и е д в у х п о л ю с н и к а

Прежде чем перейти к разбору примеров расчета электрических цепей, запишем соотношения (3), (5), (9), (10), (11), т. е. законы, управляющие работой двухполюсников, при помощи символических обозначений.

Е) Пусть ab — двухполюсник, представляющий собой сопротив­ ление, индуктивность или емкость. Положим:

Uab(t)=U{t), lab(t) = I(t), Rab = R, Lab — L, Cab = C.

Если в дополнение к употреблявшимся ранее символическим обо­ значениям (см. стр. 42, § 7, А)) ввести естественное обозначение

86

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[Гл. 2

—j—/(*) =

^ f(p-)dx,

то

соотношения (8),

(5),

(9)

можно записать

одной

формулой

U ( t) = Z ( p ) I ( t)

(13)

(рис.

9),

где,

соответственно,

Z(p) = R,

Z(p) =

Lp, Z (p )=

.

Функция Z(p) называется

операционным сопротивлением двухполюс­

ника

ab.

Для емкости

она не является многочленом, а представляет

собой

рациональную

функцию ^

:

r

I

сопротивление""1—

'-‘Р

—

У (0 = < 5 г '<')•

(14)

индуктивность

Соотношение (14) после

умножения

на Ср приобретает привычный вид

l(t) =

CpU(t),

где

имеется лишь

взаимоиндукция

многочлен

от р.

Если

положить

° М =

Ш ’

емкость

то соотношение (13)

приобретает вид.

источники

напряжения-

постоянного

гармонического

ипроизвольного

переменного

Условные обозначения

некоторыхэлементов

электрических цепей

Рис. 9.

Рис. 10.

Функция Q(p) называется операционной проводимостью двухполюсника ab и имеет соответственно вид:

G(p) — -^-, G(p) = ~ , G(p) = Cp.

Соотношения (10), (11) в операционных обозначениях получают вид:

U i ( t ) = L l P I l (t ) + M p I 9 (t),

U-i (t )= L ipl-i (t ) -f-M p l \ (t).

Перейдем к разбору примеров. Для наглядности электрические цепи изображают графически, ставя в соответствие каждому узлу точку, а каждому двухполюснику — отрезок или кривую, соединя­ ющую соответствующие узлы; на каждом таком отрезке изобража­ ется условное обозначение соответствующего двухпрлюсника (рис. 10).

5 13]

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

87

П р и м е р ы

1

(Колебательный

контур).

Пусть

5 — электрическая цепь

с четырьмя узлами

a, b,

с, d, состоящая из четырех

двухполюс­

ников ab, be, cd, da (рис. 11). Двухполюсник

ab — индуктивность L,

двухполюсник

Ьс — сопротивление

R,

Ь

R

с

двухполюсник cd — емкость С; наконец,

двухполюсник

ad — источник

напряже­

ния Uai (t) =

U(t). Для расчета исполь­

зуем метод контурных токов. Приме­

няя первый

закон

Кирхгофа

к

узлу

Ь,

получаем Iab (I) -(- 1сЬ(0 =

0, или, иначе,

^abО0 =

lbc{t). Так обстоит дело всегда,

когда к одному узлу примыкают ровно

два двухполюсника. Таким образом,

мы имеем:

и ( 0

= h e ( 0

= h a ( 0

= h a ( 0

=

/ ( 0 -

Рис.

11.

Здесь

1(t)

есть

к о н т у р н ы й

ток.

Далее, выписывая для каждого двухполюсника закон,

управляющий

его работой,

получаем:

(15)

Второй закон

Кирхгофа дает:

и аЬ(0 +

и ьс(0 + и ы (0 +

u da (0 =

0.

(16)

Из соотношений

(15) и (16)

получаем:

(17)

Можно

умножить

обе

части

соотношения

(17) на р

(что означает

почленное дифференцирование); тогда мы получим:

[Lp* +

R p + ~ ) n t ) = pU(t).

(18)

Таково дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи.

Если изъять

из цепи

двухполюсник ad, то мы получим так на­

зываемую

р а з о м к н у т у ю

цепь,

состоящую из

трех пассивных

двухполюсников ab, be, cd. Эту цепь (всю целиком) можно рас­ сматривать как двухполюсник с полюсами a n d (рис. 12). Для такого двухполюсника закон, управляющий его работой, дается соотношением (17), аналогичным соотношению (13). Здесь фупк-

8 8	ЛИНЕЙНЫЕ УРАРНЕНИЯ с ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ						ГГл. 2
ПИЯ- Z{p) =		L p - \ - R - \ - ~		является о п е р а ц и о н н ы м		с о п р о т и -
в л е н и е м,		а обратная		ей	величина 0 ( р ) = LCp. ^	RCp+TP	яв­
ляется	о п е р а ц и о н н о й			п р о в о д и ­
мост ь ю.			U(t) = Q,		то это
Если положить
будет	равносильно		предположению, что

-------------------------	1
2{ р ) Чр * Я *
Рис . 12.	Рис. 13,

в нашей цепи отсутствует активный двухполюсник ad, и цепь со­ стоит из трех пассивных двухполюсников ab, be, cd, причем узлы а и d совпадают (рис. 13). Уравнение, описывающее работу этой пас­ сивной электрической цепи S*, имеет вид:

(/./>* +

+

7(0 =

0.

(19)

Как уже отмечалось раньше, в пассивной электрической

цепи элек­

трические явления

сами

по

себе

не

возникают,

и

это

отражается

в том, что частным решением

уравнения

(19)

является

функция

7 (<) = 0. Можно, однако,

рассмотреть

работу

электрической

цепи

5*,

считая, что ток в ней уже имеется, и

выяснить, как этот ток будет

изменяться со временем. Пусть X,

и Х.г — корни многочлена

Lp' + Rp +

^ .

(20)

Так как числа L, R, С больше нуля (см.

А)),

то

действительные

части корней X, и Х.2 отрицательны,

и

потому

электрический

про­

цесс в цепи 5* затухает со временем

(см. § 9,А)). Затухание

это

может проходить, однако, различными способами; если корни Х2 и X,

комплексны, то всякое ненулевое решение уравнения (19) имеет

ко­

лебательный характер (см. пример 3

§

7);

если

же корни X,

и Xs

действительны, то

затухание

происходит

апериодически,

именно

вся­

кое решение уравнения (19) становится, начиная с некоторого мо­ мента времени, монотонным. Вопрос о том, будут ли корни X, и Х9 комплексны или действительны, решается тем, какой знак имеет число

§ 13]		ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ	89
если	Д<^0,	то решения уравнения (19) имеют колебательный	харак­
тер,	если же	Д ^>0, то они апериодичны.

Особый интерес представляет колебательный контур S* в том случае, когда в нем вовсе отсутствует сопротивление R. В этом

случае наша цепь	состоит лишь		из двух	пассивных элементов ab и
cd, причем b = c,	a = d	(рис. 14). При		этом предположении уравне­
ние электрической	цепи	получает	вид:

вается	в	виде:
		/(О — s cos (ш,<-(-
где	ш, =		1	Таким		образом,		при
			LC
		V				в	пассивном
отсутствии			сопротивления
колебательном контуре					происходят			незатухающие	колебания	ча­
стоты							1
						U),
							у т	'
Величина			. 1 - называется собственной частотой колебательного
		V LC
контура 5 в общем случае.								колебательного	контура	Д’ и
Вернемся			теперь	к	рассмотрению
рассмотрим случай гармонического источника напряжения U (t).
Так		как	корни	многочлена			(20)	имеют отрицательные действи­

тельные части, то можно рассматривать в цепи 5 установившийся

процесс.	Решение	будем	искать	по способу		комплексных	амплитуд
(см. § 12). Пусть		(J(t) =	re,ml — комплексное			гармоническое	колеба­
ние с действительной амплитудой				г ^ > 0.	Тогда правая часть		уравне­
ния (18)	имеет вид:
Мы имеем:		pl/(t) = р (геш ) =			1гшеш .
			I ,» ®	= °ем ,

причем комплексная амплитуда о тока /уст(0 определяется формулой

__ inд________ __ ________ г_______

№+(-/-<*>2+т) RJri{Lv,~i)

(см. § 12, А)). Отсюда для действительной амплитуды получаем:

	5 = 0 =	г
		\ч
		Со) ]