- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •Содержание
- •Предисловие
- •1.Модельповедения потребителя
- •Предпочтения потребителей
- •1.2. Функция полезности
- •1.3. Поверхности и кривые безразличия
- •1.4. Предельный анализ и эластичность
- •Перекрестная эластичность спроса по цене
- •Эластичность спроса по доходу
- •Предельная норма замещения
- •1.5. Модель поведения потребителя
- •1.6. Геометрическая интерпретация задачи максимизации полезности
- •1.7. Аналитическое решение задачи максимизации полезности
- •I способ. Приведение функции к одной переменной
- •II способ. Использование функции Лагранжа
- •1.8. Эффект компенсации. Уравнение Слуцкого
- •2. Модель поведения производителей
- •2.1. Производственная функция
- •2.2. Реакция производителей на изменение условий
- •2.3. Функции издержек
- •Задача на минимизацию издержек
- •2.4. Модели установления равновесной цены Дискретная паутинообразная модель рынка с запаздыванием предложения
- •Модель спроса и предложения Гудвина
- •Паутинообразная модель
- •Модель Эванса
- •3. Модели поведения фирмы на конкурентных рынках
- •3.1. Построение модели
- •3.2. Несовершенная конкуренция
- •3.3. Совершенная конкуренция
- •3.4. Монополия
- •3.5. Задача на максимизацию прибыли
- •4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •4.1. Балансовые соотношения
- •4.2. Линейная модель многоотраслевой экономики
- •4.3. Продуктивные модели Леонтьева
- •Вопросы для самоконтроля
- •Список литературы
- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •650992, Г. Кемерово, пр. Кузнецкий, 39
2. Модель поведения производителей
2.1. Производственная функция
Под производством понимается процесс взаимодействия экономических факторов, завершаемый выпуском какой-либо продукции. Пусть фирма производит только один вид продукции, используя n видов ресурсов (затрат). Обозначим через хj количество ресурса (затрат) j-го вида, . Тогда любая возможная комбинация ресурсов (затрат) представляет собой n-мерный векторх = {x1; … ; хj; … ; xn} 0, называемый вектором затрат.
Зависимость между максимально возможным объемом выпуска за определенный промежуток времени и затратами ресурсов описывается производственной функцией. При этом ресурсы рассматриваются как аргументы, а выпускаемый продукт – как функция.
Обозначим через q – объем выпуска. Тогда производственную функцию можно записать в виде:
(28)
= {x1; … ; xi; … ; xn} – величина векторная, .
Средние и маржинальные значения, а также эластичность производственной функции являются одними из основных характеристик, используемых в экономике.
Средней производительностью j-го ресурса, или средним выпуском по j-му ресурсу, называется величина
. (29)
Предельной (маржинальной) производительностью (предельным продуктом) j‑го ресурса называется частная производная производственной функции по переменной хj.
. (30)
В приращениях функции и аргумента частную производную можно приближенно представить в виде
.
Следовательно, предельная производительность j-го фактора производства приближенно показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска при росте объема затрат j-го ресурса на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов.
Отношение предельной производительности j-го ресурса к его средней производительности
(31)
называется эластичностью выпуска по j-му ресурсу (частной эластичностью выпуска).
В экономической теории для эластичности часто используется разностный аналог формулы (31):
. (32)
Из этой формулы следует, что эластичность выпуска по j-му ресурсу равна относительному изменению объема выпуска при изменении затрат этого ресурса на один процент.
Сумма всех эластичностей
(33)
называется эластичностью производства.
Производственная функция называется неоклассической, если она при удовлетворяет условиям:
или f(0;x2) =f(x1 ;0) = 0.
Это означает, что без ресурсов нет выпуска или, что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска продукции.
Свойство 2 содержательно означает, что с ростом затрат одного ресурса (любого) при неизменном количестве других ресурсов объем выпуска соответственно увеличивается (растет).
Производственная функцияявляется строго вогнутой функцией, то есть
.
С точки зрения экономики свойство 3 означает, что с ростом затрат одного, например, j-го ресурса при неизменном количестве других ресурсов величина прироста выпуска (предельная производительность) на каждую дополнительную единицуj-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности).
Свойство 4 означает, что при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает.
При неограниченном увеличении одного из ресурсов, например, хiвыпуск растет неограниченно, т.е.
.
Свойство 6 означает, что производственная функция является однородной функцией степени р. Иными словами, при переходе от вектора затрат ресурсов к вектору объем выпуска изменяется в tp раз. При р > 1 имеем рост выпуска в tp раз с ростом масштаба производства в t раз; при р < 1 имеем снижение выпуска в tp раз с ростом масштаба производства в t раз. При р = 1 имеем постоянную эффективность производства независимо от роста его масштаба.
Примечание. В прикладных задачах допускается использование производственных функций, удовлетворяющих ослабленным условиям монотонности и вогнутости:
.
Пример 12. Оцените возможность использования функции в качестве производственной:
Решение.
Условия положительного значения частных производных первого порядка (предельных производительностей) выполняются.
Условия отрицательности частных производных второго порядка выполняются.
Вывод. Функция может быть использована в качестве производственной.