Задача на минимизацию издержек

Обратимся к рассмотрению задачи минимизации издержек, имеющей вид:

1. переменные: х₁их₂;

2. функция цели:;

3. система ограничений: .

Для решения такого рода задач мы пользовались несколькими техническими приемами.

Одним из них была подстановка ограничения в целевую функцию. Этим методом по-прежнему можно пользоваться, когда мы имеем дело с функцией конкретного вида , однако, в общем случае он имеет ограниченное применение.

Вторым методом был метод множителей Лагранжа, и он подходит для решения рассматриваемой задачи. Чтобы применить этот метод, мы строим функцию Лагранжа

и берем ее производные по х₁,х₂и. Это дает нам условия первого порядка:

Последнее уравнение есть не что иное, как ограничение. Мы можем преобразовать первые два уравнения и поделить первое уравнение на второе, получив при этом

.

Обратим внимание на то, что это технологическая норма замещения, которая должна равняться отношению цен факторов.

2.4. Модели установления равновесной цены Дискретная паутинообразная модель рынка с запаздыванием предложения

Эта модель описывает динамику изменения цены р на рынке отдельного товара в предположении, что спрос на него формируется по ценетекущего периодаt, а предложение в текущем периодеt определяется по цене предшествующего периодаt-1, то есть предложение запаздывает на период.

Спрос же на этот товар формируется по ценетекущего периода.

Одной из причин такого запаздывания предложения является необходимость иметь запас времени для того, чтобы производители могли перейти на новый уровень выпуска продукции с момента реагирования на уровень рыночной цены.

Если - функция спроса от ценыр,

- функция предложения от цены р,

то модель описывается соотношениями:

(41)

Последнее равенство является уравнением для определения текущей цены из условия, что весь объем предложенного товара должен быть распродан, то есть в каждом периоде на рынке поддерживается равновесие между спросом и предложением за счет изменения цены товара.

Если

, ,

то

;

Модель спроса и предложения Гудвина

Если посмотреть на равенства (41), мы увидим, что продавцы ориентируются на цену предшествующего периода (), ожидают сохранения этой цены, но на практике то и дело разочаровываются в своих ожиданиях: ведь если в течение одного периода цена была выше равновесной, то в следующем периоде она может оказаться ниже равновесной. И модель предполагает, что продавцы ничему не научились.

Гудвин предложил модификацию данной модели, в которой под влиянием опыта ожидания продавцов меняются:

, (42)

- это прирост цены по сравнению с периодом ;

- параметр .

По этой модели продавцы ожидают изменения цены в направлении, противоположном тому, в котором она изменялась в предыдущий период. В соответствии с такой посылкой функция предложения примет вид:

.

Паутинообразная модель

На основе теории полезности известно, что функция спроса на товар есть убывающая функция цены.

На основе теории фирмы было установлено, что функция предложения однопродуктовой фирмы при максимизации прибыли является возрастающей функцией цены.

Рассмотрим рынок с одним-единственным продуктом, спрос на который характеризуется убывающей функцией совокупного спроса , а предложение – возрастающей функцией совокупного предложения.

Предполагается, что функции идля всехр:

1. определены;

2. непрерывны;

3. , ;

4. , .

Состояние равновесия характеризуется равенством спроса и предложения:

.

В силу сделанных предположений 1 – 4 это уравнение имеет единственное оптимальное решение , так что состояние равновесия

единственно.

На рис. 12 показаны графики функций спроса и предложения при сделанных предположениях.

Рис. 12. Паутинообразная модель

Паутинообразная модель позволяет реализовать процесс поиска равновесной цены. Пусть в начальный момент времени установлена начальная цена , при этом спрос оказался меньше предложения, т.е., тогда понижаем цену до уровня, при котором спрос равен предложению при первоначальной цене.

При новой цене спрос превышает предложение, поэтому повышаем цену до уровня, при котором, и так далее. Таким образом, как видно из рис. 12, процесс, описываемый рекуррентным соотношением,, сходится.

На рис. 12 функция - выпуклая, а функция- вогнутая. Если быбыла выпуклой функцией, то описанный процесс был бы расходящимся, хотя имелось бы единственное решение уравнения равенства спроса и предложения.