- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •Содержание
- •Предисловие
- •1.Модельповедения потребителя
- •Предпочтения потребителей
- •1.2. Функция полезности
- •1.3. Поверхности и кривые безразличия
- •1.4. Предельный анализ и эластичность
- •Перекрестная эластичность спроса по цене
- •Эластичность спроса по доходу
- •Предельная норма замещения
- •1.5. Модель поведения потребителя
- •1.6. Геометрическая интерпретация задачи максимизации полезности
- •1.7. Аналитическое решение задачи максимизации полезности
- •I способ. Приведение функции к одной переменной
- •II способ. Использование функции Лагранжа
- •1.8. Эффект компенсации. Уравнение Слуцкого
- •2. Модель поведения производителей
- •2.1. Производственная функция
- •2.2. Реакция производителей на изменение условий
- •2.3. Функции издержек
- •Задача на минимизацию издержек
- •2.4. Модели установления равновесной цены Дискретная паутинообразная модель рынка с запаздыванием предложения
- •Модель спроса и предложения Гудвина
- •Паутинообразная модель
- •Модель Эванса
- •3. Модели поведения фирмы на конкурентных рынках
- •3.1. Построение модели
- •3.2. Несовершенная конкуренция
- •3.3. Совершенная конкуренция
- •3.4. Монополия
- •3.5. Задача на максимизацию прибыли
- •4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •4.1. Балансовые соотношения
- •4.2. Линейная модель многоотраслевой экономики
- •4.3. Продуктивные модели Леонтьева
- •Вопросы для самоконтроля
- •Список литературы
- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •650992, Г. Кемерово, пр. Кузнецкий, 39
1.6. Геометрическая интерпретация задачи максимизации полезности
Если на каком-то потребительском наборе (x1, x2), бюджетное ограничение будет выполняться в виде строго равенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор, максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, то есть. Графически это означает, что решениезадачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (см. рис. 7), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукти.
Рис. 8. Геометрическая интерпретация к определению
функции спроса исходя из модели поведения потребителя
Следовательно, при графическом решении задачи максимизации полезности, будем решать задачу вида:
Для построения графиков выполняем следующие шаги.
Строим бюджетную прямую , на графике это прямаяAB, которая проходит через точки и;
Строим кривые безразличия .
Определяем точку на бюджетной прямойAB, в которой кривая безразличия касается ее и получает в этой точке максимально возможное значение C*.
В случае строгой вогнутости такая точка всегда единственна и совпадает с точкой касания кривой безразличияс бюджетной прямой.
Выводы.
1. Треугольник AOB–ограничение множества выборов потребителя (бюджетное множество; бюджетное ограничение).
2. Точка - точка касания кривой безразличия и бюджетной прямой есть оптимальное решение задачи.
3. Линии AB и A1B1 соответствует одному и тому же размеру дохода, но разным ценам на товары x1 и x2.
4. Линия A2B2 (A2B2//AB) соответствует большему размеру дохода.
Пример 8. Найти геометрическое решение задачи максимизации индивидуальной функции полезности при наличии бюджетных ограничений:
,
, , ,
если ,.
Решение.
1. Из при p1 = 1, p2 = 3 и J = 5 получаем:
–это бюджетная прямая.
Запишем ее уравнение в отрезках .
2. Построим на системе координат (см. на рис. 9)
а) бюджетную прямую АВ;
б) кривую безразличия , то есть.
Рис. 9. Графическое решение примера 7
3. Решим систему уравнений графически
, ,–гипербола.
1) при С = 1; 2) при ;
3) при .
Ответ: x1 2; x2 1.
1.7. Аналитическое решение задачи максимизации полезности
Задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум
(22)
при условии
Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.
Выписываем функцию Лагранжа
, (23)
где - неопределенный множитель Лагранжа.
Экономический смысл этого множителя: если цены pi и доход J меняются в одно и то же число раз , то функция полезности, а значит, и решение задачи потребительского выбора не изменится.
Далее находим ее первые частные производные по переменным x1, x2 и , приравниваем эти частные производные к нулю:
Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную (разделив поэлементно первое уравнение на второе), получим систему двух уравнений с двумя неизвестнымиx1и x2:
Решение этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставим решениев левую часть равенства
.
Получим, что в точке локального рыночного равновесия индивидуума отношениепредельных полезностейипродуктов равно отношению рыночных ценp1и p2на эти продукты:
. (24)
В связи с тем, что отношение равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия, из (24) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных ценна продукты. Приведенный результат играет важную роль в экономической теории.
А именно,
; , (25)
то есть отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений кобъемов продуктов в локальном рыночном равновесииприближенно равно отношению рыночных ценp1 и p2на продукты.
Равенство (25) позволяет давать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, то есть набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя.
Пример 9.Найти аналитическое решение задачи максимизации индивидуальной функции полезностипри наличии бюджетного ограничения , если иJ=5.
Решение.
Известны:
Требуется найти значения .