Модель Эванса

В модели Эванса рассматривается рынок одного товара. Время t считается непрерывным.

Введем обозначения:

- цена единицы товара в момент времени t;

- совокупный спрос в момент времени t;

- совокупное предложение в момент времени t.

Предполагается, что спрос и предложение являются линейными функциями цены:

, (,, спрос с ростом цены убывает)

, (, , предложение с ростом цены растет).

Естественно считать, что (так как при нулевой цене спрос превышает предложение).

Итак,

, ,,

, , ,

.

Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

, . (43)

Из равенства (43) следует, что потребители и производители взаимодействуют так, чтобы цена непрерывно приспосабливалась к ситуации на рынке. В случае превышения спроса над предложением цена возрастает, в противном случае – падает.

Чтобы иметь равновесную цену, спрос должен равняться предложению. Из следует, что

, ,

- стационарная равновесная точка.

Равновесная цена есть абсцисса точки пересечения прямых спроса и предложения.

Примечание. Из ,, t – непрерывно следует, что или

.

Если ,, тои,

или

, (44)

есть дифференциальное уравнение первого порядка.

Решение.

1. Метод подстановки: ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ; ;

6. ; ;;

7. ;

; ;

8. ;

9. ; ;

10. ;

11. Вычислим частное значение С при ,:

; .

Окончательный ответ:

.

Рис.13. Дискретный аналог модели Эванса

Решением дифференциального уравнения (44) является формула вычисления цены р в момент времени t:

.

Дискретный аналог модели Эванса представлен на рис. 13.

На рисунке 13 изображены прямые совокупного спроса и предложения и показан механизм возникновения последовательности , возрастающей от начальной цены, при которой спрос не равен предложению, к равновесной цене, при которой спрос равен предложению.

Все время разбито на интервалы длиной , цена в моментравна

,

где .

3. Модели поведения фирмы на конкурентных рынках

3.1. Построение модели

Пусть , , - вектор объемов затрачиваемых фирмой ресурсов (факторов производства),

, , - вектор рыночных цен на соответствующие ресурсы,

- производственная функция фирмы, которая выражает общий объем qпродукции выпускаемой фирмой, используя ресурсов,

- рыночная цена единицы выпуска фирмы.

Рассмотрим такие понятия как доход, издержки, прибыль фирмы.

Доходом(выручкой)Rфирмы в определенном временном периоде (например, в определенном году) называется произведение общего объемаqвыпускаемой фирмой продукции на рыночную цену единицы этой продукции.

ИздержкамиСфирмы называют общие выплаты фирмы в определенном временном периоде за все виды затрат, например,

,

где х₁их₂– объемы затрачиваемых (используемых) фирмой ресурсов (факторов производства),

р₁ир₂– рыночные цены соответственно на эти ресурсы (факторы производства).

ПрибыльюПфирмы в определенном временном периоде называется разность между полученным доходомRи ее издержками производстваС, т.е.

. (45)

Последнее равенство есть выражение прибыли фирмы в терминах затрачиваемых (используемых) ресурсов.

В теории фирмы принято считать, что если фирма функционирует в условиях чистой (совершенной) конкуренции, на рыночные цены р₀,р₁ир₂ она влиять не может. Фирма «соглашается» с ценамир₀,р₁ир_2. Случаи функционирования фирмы в условиях чистой монополии, монополистической конкуренции и олигополии специально рассматриваются в рамках курса по микроэкономике.

Неоклассическая теория фирмы построена на предположении, что цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем выбора комбинации количеств затрат при заданных производственной функцией , рыночной цене единицы выпускар₀и ценах затрат.

Формально задача максимизации прибыли в определенном периоде имеет вид: .

Такая постановка задачи максимизации зависит от того, какой конкретно временной промежуток (долговременный или краткосрочный) предшествует периоду, в котором фирма максимизирует свою прибыль.

Итак, с точки зрения временного промежутка можно различать задачи двух типов:

• задача текущего производства (краткосрочная задача);

• задача перспективного развития (долгосрочная задача).

Краткосрочная задача. Эта задача планируется с учетомналичных запасов ресурсов на данный период, которые формально могут быть записаны, вообще говоря, в виде нелинейного неравенства

(ограничений вида может быть несколько); с постоянными рыночными ценами на эти ресурсы. Исходя из этих условий, модель задачи строится на условную оптимизацию:

при условии, что

, , .

Решая долгосрочную задачу, фирма может выбрать любой вектор затрат, поэтому оптимальная стратегия фирмы сводится к решению задачи:

(46)

Оптимальный вектор затрат решения задачи (46) будет, естественно, зависеть от заданных цен на продукцию и цен на ресурсы, то есть является функциейр₀и :

, (47)

где компоненты вектора есть

Функция (46) носит название функции спроса на затраты.

Подставим функцию спроса на затраты в производственную функцию. Получим выпуск как функцию аргументов р₀и

.

Тем самым получаем объем продукции фирмы, который отвечает ее рациональной стратегии и носит название функции предложения фирмы.