1.3. Поверхности и кривые безразличия

Поверхностью безразличия(приn=2 кривой безразличия) данного потребителя, называется множество уровней его функций полезности.

Следовательно, каждая поверхность безразличия описывается уравнением , гдеC– любая константа.

На поверхности безразличия находятся всевозможные наборы товаров (то есть векторы ), которые равноценны для потребителя.

Множество всех поверхностей или кривых безразличия называют картой безразличия.

Изобразить схематично карту безразличия функции полезности возможно лишь при. Наиболее наглядная карта получается на плоскости, то есть приn= 2. Приn= 2 имеем, откуда

. (5)

График функции (5) строим на системе координат. В этом случае кривые безразличия – это просто семейство графиков функций , соответствующих различным значениям параметра C.

На рис. 1 показан фрагмент карты линий безразличия.

Рис. 1. Карта линий безразличия

Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Если линия безразличия расположена выше или правее («северо-восточнее») линии безразличия, то. Верно и обратное. Иными словами, чем «северо-восточнее» расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребности она соответствует.

Свойства функции полезности 1)-3) означают, что линия безразличия убывает (является нисходящей) и строго выпукла к началу координат (к точке О(0;0)).

Приведем примеры построения карт безразличия для конкретных функций полезности.

Пример 5.Построить карту безразличия для функций полезности:,x₁>0;x₂>0.

Решение.

1. x₁+2x₂ = C, (C = const); .

2. Так как x₁>0;x₂>0, то получаем свойство параллельных прямых в первом квадранте (см. рис. 2).

Рис. 2. Карта безразличия функции

Пример 6.

Построить карту безразличия для функции полезности:

, x₁>0;x₂>0.

Решение.

Составим уравнение:

, (C =const);

;

;

.

Графически это гиперболы в первом квадранте, например

а) при C= 1 получаем;

б) при С= 2 получаем(см. рис. 3).

Рис. 3. Карта безразличия функции

Наиболее общими для построения функций полезности являются методы регрессионного анализа, которые применимы при наличии подходящего статистического материала. Для выбранного вида функции полезности на основе этих данных оцениваются ее коэффициенты (параметры). Сложность метода зависит от класса функций (линейных, квадратичных, степенных и др.), в котором находят функцию полезности.

1.4. Предельный анализ и эластичность

Рассмотрим произвольный набор товаров . Если полезность отx_iобозначить черезu_i(x_i), то суммарная полезность набораесть

.

Среднюю полезностьнаборасхематично можно определить как вектор

,

где - средняя полезность товара видаi, то есть полезность, приходящаяся на единицу товараi.

Вычисляя частную производную , можно получить ответ на вопрос: как себя поведет полезностьпри изменении объема потребления того или иного товара. Полезность товара растет, пока справедливо условие (2) . Если с ростом потребления товара неравенство (2) переходит в обратное, то, очевидно, нет смысла и дальше увеличивать его потребление.

Если сравнивать среднюю и предельную полезности, можно обнаружить тенденцию средней полезности «стремиться» к предельной полезности. А именно, среднее значение полезности возрастает (при возрастании потребления), если оно ниже предельной полезности; среднее значение полезности остается постоянным (при изменении потребления), если оно равно значению предельной полезности; среднее значение полезности убывает (при возрастании потребления), если оно превосходит предельную полезность.

Предельную величину, как и среднюю, можно считать относительной величиной.

При помощи предельных величин формализуется понятие эластичности, играющую важную роль при анализе взаимосвязи между экономическими показателями и факторами.

Эластичность (коэффициент эластичности) является численной оценкой относительного изменения экономического показателя под действием относительного изменения некоторого экономического фактора при неизменности других влияющих на этот показатель факторов. Таким образом, эластичность показателя - это его чувствительность к изменению влияющего на него фактора.

(6)

коэффициент частной эластичности переменной у(функции) по переменнойв данной точке. Показывает, на сколько процентов изменится значение функции при измененииi-й переменной на один процент при неизменных прочих переменных.