Вища Математика для Економістів

	x 2		x 4		x 6		n	x	2n
cos x 1						...	1			, x R
	2!		4!
				6!		n 0		2n !

3. Біноміальний ряд:

1 x m 1 mx m m 1 x 2 m m 1 m 2 x 3 ...

			2!	3!
			m m 1 ... m n 1
				xn ,		x		1, m R \ N
			n!
	n	0

(48)

(49)

За допомогою стандартних рядів можна майже автоматично, не обчислюючи похідних та їх значень, отримати розвинення у ряд деяких функцій. Інтегруючи чи диференціюючи ці ряди у проміжку збіжності, отримаємо розвинення у ряд інших функцій.

Ряди використовуються для наближеного обчислення визначених інтегралів і, насамперед, таких, підінтегральні функції яких не мають елементарних первісних функцій.

Розвиненням функцій у ряд також користуються при визначенні частинного розв’язку диференційних рівнянь.

Розвинення деяких елементарних функцій у ряд Маклорена

Приклад 17. Побудувати ряд для обчислення числа е. У формулі (46) покладаємо x 1. Отримаємо

e 1	1		1		...	1	...	(50)
	2! 3!					n!
Цей числовий	ряд				збіжний (перевірте			це самостійно,

користуючись ознакою Даламбера).

За формулою (50) можна обчислити число е з будь-яким

степенем точності.
Приклад 18. Обчислити									e		з точністю до 0,001.
У формулі (46) покладемо x												1		. Отримаємо
								2
		1	1		1		1			1					...	1	... .	(51)
	e
					2		3			4						n
2					2!2		3!2	4!2								n!2

Збіжність цього також досить легко перевірити. Підберемо число n членів ряду. Розглянемо залишок rn , враховуючи, що ряд Тейлора починається не з першого, а з нульового доданка:

r4		1		1	...	1		1			1	0.0026 .
				5!25		4!24		24 *	16		384
	4!24

Бачимо, що чотирьох членів розкладу ще замало:

511

r5		1	...	1	...	1			1		1	0.00027 .
				n! 2n		5! 25		120 * 32			3864
	5! 25

Щоб помилка була не більшою, ніж дозволено умовою, скористуємось виразом залишку у формі Лагранжа (43) при x0 0 :

r

x

f n 1 x

xn 1 .

(52)

n 1 !

n

Оскільки f x e x , то

f n x e x ,

n N .

Тому

r

x

e x

xn 1

.

(53)

n 1 !

n

Враховуючи, що x

1

, отримаємо

2

1

2

1

r5

e

0.00054 .

2

5! 24

5! 25

5! 25

Останню нерівність одержано з властивостей числа е. Відомо,

що 2 e 3 , тому

2 e

3 2 .

Таким чином, для обчислення

з точністю до 10 3

треба

e

взяти п’ять доданків з ряду (51):

1

1

1

1

1

1.649 .

e

2!22

2

3!23

4!24

Приклад 19. Розвинути у ряд Маклорена функцію y

1 x

і

обчислити

з точністю до 10 5 .

26

1

1 x

.

1.

Задана

функція

є

біном

: y

1 x

2

Скористаємося рядом (49), поклавши m 1 :

																																2
																			1			1									1 1								1
						1							1											1											1						2
																			2			2								2				2					2
					1 x			2		1					x												x 2																	x 3
																						2!															3!
												2
	1 1			1		1
				1		2				3														1				1										1 3						1 3 5
	2 2			2		2								4												x								x	2							x	3			x	4
												x				...						1																										... ,
				4!																				2														3!23
																												2!22																4!24
або остаточно																									1 n 2n 3 !!
																			x																			n
										1 x			1																								x		,									(54)
																															n
																	2					n 2						n!2

де

512

	2n 3 !! 1 3 5 7 ... 2n 3 , n 2,3,... .											(55)
2.	Щоб застосувати отримане розвинення в ряд, треба
подати число		26	як біном:
									1
				26		25 1		25 1		5		1 0.04 .
									25

Тепер у формулі (54) покладемо x 0.04 .

			2			1 3		1 3 5
	26 5 1 0.02			0.02			0.02 3			0.02 4	... .
			2!		3!			4!
Це – знакозмінний ряд. Він збігається										абсолютно, і тому
залишок r x , яким			оцінюється похибка,					не	перевищує першого

відкинутого члена. Враховуючи, що нумерація елементів починається з нуля, перевіримо r3 та r2 :

r3 1 3 23 10 6 4 10 6 ; 3!

r3 1 22 10 6 2 10 4 . 2!

Таким чином, треба брати три доданки ряду (49):

		2
26		0.02		5 1.0198 5.0990 .
	5 1 0.02
		2!

Приклад 20. Розвинути у ряд Маклорена функцію y 1 . 1 x

Задана функція є біномом: 1 1 x 1 . Скористаємось

1 x

рядом (49), поклавши m 1:

1 x 1

1 x

1 2

x 2

1 2 3

x 3 ...

1 2 ... n

xn ... ,

2!

3!

n!

або остаточно

1

1 x x 2

x 3

... 1 n xn .

(56)

1 x

n 0

Це – знакозмінний ряд, а точніше – геометрична прогресія із знаменником x . Ряд абсолютно збігається при x 1,1 .

Приклад 21. Розвинути у ряд Маклорена функцію y arctgx .

Скористаємось тим, що функція arctgx				виражається
визначеним інтегралом
x	dx
arctgx			.	(57)
	1 x	2
0

513

Розвинемо у ряд функцію			1		. Для цього у формулу (56)
				1 x 2
замість x підставимо x 2 :
	1
		1 x 2 x 4	x 6 ... 1 n x 2n .			(58)
	2
1 x					n 0

У кожному інтервалі, який належить проміжку збіжності 1,1 , цей ряд можна почленно інтегрувати, і інтервал від суми, тобто

arctgx , буде сумою ряду,

створеного

з

інтегралів. При

x

1

матимемо

x 3

x 5

x 7

n x 2n 1

arctgx

x

...

1

.

(59)

3

7

2n 1

x 1

5

n 0

При

отримаємо відомий ряд Лейбніца для визначення

числа :

1

1

1

n

1

... 1 n

...

1

.

(60)

4

2n 1

3 5

n 0

2n 1

Цей

знакозмінний ряд

збігається

умовно і

дуже повільно.

Підрахуємо число доданків, яке забезпечить точність 10 5 . За ознакою Лейбніца:

	r	1	10 5 , або 2n 10 5			1, n	10 5 1	.
	n	2n 1				2
	Таким чином, щоб забезпечити точність 10 5 , треба брати 50
	тисяч доданків ряду (50), що не раціонально.								ln 1 x
	Приклад 22. Розвинути у ряд Маклорена функцію y									.
	Відомо, що								x
			x	dx
		ln 1 x			.	(61)
				1 x
		0

Підінтегральна функція розвивається у ряд за формулою (56). У кожному проміжку, який належить проміжку збіжності 1,1 або

збігається з ним, цей ряд можна почленно інтегрувати, і сумою ряду, створеного з інтегралів, буде інтеграл від суми, тобто

		x 2		x 3		x 4		n	xn 1
ln 1	x x						... 1			.	(62)
		2		3		4
							n 0		n 1

Розділивши почленно на x , отримаємо потрібний ряд:

ln 1 x		x		x 2		x 3		n	xn
	1						... 1			.	(63)
						4
x		2 3					n	0	n 1

514

При x 1 з формули (62) отримаємо знакозмінний ряд для обчислення ln 2:

	ln2 1	1		1		1		... 1 n		1	... ,			(64)
	2		3		4			n 1
	який збігається умовно і дуже							повільно.		Щоб обчислити		ln 2 з
	точністю до 10 5 , треба брати 105							членів.					1	x
	Приклад 23. Розвинути у ряд Маклорена функцію y ln
														x
												1

і, користуючись цим розвиненням, обчислити ln 2 та ln3 з точністю до 10 4 .

1.Отримано розвинення

x 2

x 3

x 4

n 1

xn

ln 1 x

x

... 1

....

2

3

4

n

Замість x

покладемо x . Матимемо

ln 1 x x

x 2

x 3

x 4

...

xn

....

n

З того, що

2

3

4

1 x

ln

ln 1 x ln 1 x ,

1 x

у проміжку збіжності можемо додавати збіжні ряди. Тому

1 x

x

2

x

4

x

2m

ln

2x 1

...

... .

(65)

m 1

1 x

3

5

2

2.Для обчислення ln3 покладемо x 1 . Отримаємо

				1																																			2
1														1						1							1								1									1									1
ln		2						ln 3 1																																														....
		1												3 22						5 24							7 26								9 28
																																									11 210										13 212
1
		2
		Оцінка залишку при взятих шести членах розвинення дає
		r6						1						1										1											1									1					1
																												...													1												...
								13 212
												15 214								17 216													13 212											22					23
								1					0.000038
				13 1024 2
		Тоді												1						1							1								1									1
								ln 3 1																																									1.0986868 .
														2	2			5		2		4						2	6			9			2	8			11					10
										3														7																				2
		3.							Для обчислення ln 2 покладемо x																																			1				, n N .
																																											2n 1

515

Перетворимо аргумент логарифму:

												1
			1		x				1											2n 2								n 1
														2n 1
																																.
			1 x
												1									2n								n
									1
														2n 1
Підставимо цей аргумент у формулу (65). Отримаємо
	n 1							2											1										1
ln												1																					...	(66)
		n				2n 1										3 2n 1 2									5 2n 1 4
При n 1 матимемо ряд для ln 2:
			2					1								1				1									1
ln 2					1																										...			(67)
			3						3 9							9	2				7 9		3						9	4
												5													9

Щоб одержати точності 10 4 , візьмемо перші чотири члени ряду. Помилку, якої припущено, визначимо, розглянувши залишок:

r4			2 1								1							1						2		1			1		1
																						...						1					...
						9		9		4					5			9		6				3		9	5		9		9	2
			3									11 9				13
	2			1				9				1			1.27				10 5
	3		95					8				94 12

Зрозуміло, що вже чотирьох членів ряду (67) достатньо, щоб витримати задану точність. На відміну від (64) ряд (67) збігається абсолютно і досить швидко.

Таким чином,

	2			1				1				1
ln 2			1												0.693108 .
					3 9			9	2		7	9	3
	3					5

Наближене обчислення визначених інтегралів

Приклад 24. Обчислити з точністю до 0,001 визначений інтеграл

0.5

x 3 1 dx .

0

Підінтегральна функція є біном. Розвинемо її в ряд, для чого у формулі (54) замість x візьмемо x 3 . Отримаємо

1
1 x 3		1	1	x 3	1		1 3	x 9		1 3 5	x12		1 3 5 7	x15
	2					x 6									....
					2!22		3!23
		2							4!24			5!25			(68)

Цей ряд збігається при 1 x 1. Дійсно,

516

		R lim									an													2n 3 !!										n 1 !2n 1																	2 n 1
																	lim																													lim													1.
										an 1																n!2n									2n 1 !!
						n													n																												n 2n 1
	Таким									чином, у проміжку 0;0,5 його можна інтегрувати
почленно. Отримаємо
0,5																			x 3								1 x								7					1 3 x10									1 3 5 x13													0,5
			x		3	1dx x
																																																												...
																											2! 2		2					7					3! 2			3		10							4! 2		4
0																			2 3																																			13								0
		1				1												1									1							1 3								1							1 3 5										1
																																																													...
	2					2 3			2			3						2! 2		2							2	7									3							10					4! 2			4		13					13
																							7									3! 2									10 2																		2
		1				1											1											1 3													1 3 5								...
								4					2! 7 2							9															13						17
		2 3 2																								3! 10 2															4! 13 2

Це знакозмінний числовий ряд, тому, згідно з ознакою Лейбніца, похибка не перевищує першого відкинутого члена. Оцінимо похибку, яку припустимо, взявши тільки два перших доданки:

1							1			1
											0.00014 .
	2! 7	2	9				10			7168
				7			2
Тому вже два перших доданки забезпечують задану точність.
Остаточно маємо:
		0,5
					x 3 1dx 0.5208 .
		0
Наближений розв’язок диференціальних рівнянь

Розглянемо лінійне рівняння другого порядку, коефіцієнти якого є неперервні, нескінченно диференційовані функції в деякому проміжку a,b :

y p x y q x y f x .

(69)

Будемо шукати частинний розв’язок рівняння, що задовольняє

початкові умови Коші в околі точки x0 :

y x

x x0

y0 ;

y x

x x0 y0 .

(70)

- деякі задані числа.

Тут y0 та y0

Частинний розв’язок шукаємо як розвинення у ряд Тейлора в

околі точки x0 :

y y x 0

y x0

x x

0

y x0

x x0 2 ...

y n x0

x x0 n ...

1!

2!

n!

(71)

Таким чином, задачу зведено до знаходження значень похідних

невідомої функції

y x в

точці x0 . Значення

самої функції та її

517

першої похідної беремо з початкових умов (70). Значення другої похідної визначимо з рівняння (69), підставивши в нього замість y та

y їх значення в точці x0 :

	f x0 p x0	y		q x0 y0 .	(72)
y x0			0

Щоб знайти значення похідних вище другого порядку, треба послідовно диференціювати рівняння (69) та підставляти значення x x0 . Таким чином, отримаємо

y

x

0

f

x

0 p

x0 y

x

0 p x

0 q x0

y0

q x

0 y0 ;

x0

y

IV

f x0 p x0 y x

0 2p x0 q x0 y x0

(73)

p

x0

y0 ;

2q x0

y0 q

x0

………………………………………………………………….

Обчисливши достатню кількість похідних, знайдемо розв’язок задачі Коші в формі (71) з будь-яким степенем точності.

Приклад 25. Зайти три перших, відмінних від нуля, члени розкладу в степеневий ряд розв’язку диференційного рівняння, що задовольняє початкову умову

y xy2 1

при y

x

0 .

1

Частинний розв’язок шукаємо як розвинення деякої функції в

ряд Тейлора за степенями

x 1,

бо початкова умова задана у точці

x 1:

n

1

y

y

y y 1

y 1

x 1

1

x 1 2

...

x 1 n

....

2!

1!

n!

З початкової

умови

y 1 0 ,

з

рівняння

y 1 1.

Диференціюємо рівняння:

y

y

2

2xyy ,

y

4yy

2xy

2

2xyy ,

y

IV

6y

2

6yy

6xyy

2xyy

,

......................................................

Тепер у отриманих рівностях покладемо x 1:

2

y 1 y 1 2 1

y 1 y

1 0,

y

1 0 2 0 2,

y IV 1 6 0 0 0 6,

......................................................

Отримаємо

x 1 3

x 1 4

y x 1

2

x 1 3

6

x 1 4 ...

x 1

....

3!

4!

3

4

518

Приклад 26. Знайти шість перших відмінних від нуля членів розкладу в степеневий ряд розв’язку диференційного рівняння, що відповідає початковим умовам:

y 1 x 2 y 0 ;	y		x 0 2;	y		x 0 2 .

Розв’язання. Частинний розв’язок шукаємо як розвинення деякої функції у ряд Маклорена за степенями x , бо початкові умови задані у точці x 0 :

y

n

0

y y 0

y 0

x

0

y 0

x 0 2

...

x 0 n

....

1!

2!

n!

З початкових умов y 0 2, y

0 2.

З рівняння маємо y 0 1 x 2 y

x 0

2 .

Знайдемо ще три похідні в точці x 0 :

2

2,

y 0 2xy 1 x

y

x 0

y IV 0 2y 4xy 1 x 2 y

6,

x 0

yV 0 6y 6xy 1 x 2 y

16.

Отримаємо частинний розв’язок у вигляді

x 0

y 2

2x x

2

x 3

x 4

7x5

....

3

4

60

§6. Ряди Фур’є

Тригонометрична система функцій

Тригонометричною називається система функцій

1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,..., n N .

				(74)
Ця система ортогональна на відрізку ; .
Система функцій n x (n N )				називається ортогональною на
відрізку a,b , якщо
b	const 0		при	n m,
n x m x dx		0	при	n m.
a

519

Ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є.

Розглянемо функцію f x , яка визначена на всій числовій осі і має період 2 , тобто

f x 2 f x

x R .

(75)

Нехай ця функція буде неперервною або матиме тільки точки розриву першого роду. Тоді вона буде інтегрованою на відрізку

; .

За допомогою цієї функції введемо числові послідовності за формулами

	a0		1			f x dx;	(76)
	an			1		f x cosnxdx;	(77)
	bn		1			f x sinnxdx.	(78)
	Величини a0 ,an ,bn				називаються коефіцієнтами		Фур’є

функції f x .

Якщо утворити тригонометричний ряд, коефіцієнти якого є коефіцієнтами Фур’є, то цей ряд називають рядом Фур’є функції f x :

		a0
			an cosnx bn sinnx .	(79)
	2
			n 1

Розвинення функції в ряд Фур’є.

Для кожної з розглянутих періодичних інтегрованих функцій можна обчислити коефіцієнти Фур’є a0 ,an ,bn та побудувати ряд Фур’є. З’ясуємо, як буде зв’язаний цей ряд з самою функцією f x .

Найбільш цікавим є питання, чи буде сама функція f x сумою ряду Фур’є для цієї функції, а якщо буде, то за яких умов.

Якщо функція f x є сумою ряду Фур’є або якщо ряд Фур’є

функції f x	збігається саме до функції f x , вважають, що			f x
розкладається в ряд Фур’є, тобто має місце рівність
		a0
	f x		an cosnx bn sinnx .	(80)
	2		n 1
				520