Вища Математика для Економістів

U n x u1 x u2 x ...

un x ...

(19)

При кожному фіксованому x0 D будемо мати числовий ряд.

Значення x0 D , при якому ряд збігається, називається точкою

збіжності ряду.

Сукупність усіх точок збіжності називається областю збіжності функціонального ряду.

Приклад 11. Визначити область збіжності функціонального

ряду

				1							1		1			1
																	... .
						n							2			3
n 11 x										1 x			1 x	1 x
Всі члени ряду визначені і неперервні на всій числовій прямій,
крім точки х=-1. Якщо		x				1, то										1
lim xn 0										і limU n x lim								1,
n											n			n 1 xn
тобто не виконується необхідна умова збіжності (8).
Якщо х=1, то U n				1			1			і необхідна умова збіжності також не
				2

виконується.

Якщо x 1, то даний ряд збігається абсолютно, бо збігається

ряд з модулів. Це випливає з теореми порівняння. За теоремою 2 ряд з модулів поводить себе так само, як ряд з загальним членом

1

Vm x xn .

Дійсно,

1

lim

U n x

Vn x

lim

1 xn

1.

1

n

n

1

xn

1

Але ряд

є геометричною прогресією із знаменником

.

n

x

n 1

x

З того, що x 1, випливає, що знаменник менший за одиницю і прогресія збігається. Тобто наш ряд збігається абсолютно при x 1.

Область збіжності: D , 1U 1, .

501

Правильна і рівномірна збіжність

Функціональний ряд (19) називається правильно збіжним в інтервалі a,b , якщо його члени на цьому інтервалі задовольняють

нерівності
Un x an .	(20)

де an , an 0 - числовий ряд з додатними членами, що збігається.

n 1

Такий ряд називається мажорантою даного функціонального ряду. Якщо ряд збігається правильно, то він збігається рівномірно. Зворотне твердження в загальному випадку не виконується. Приклад 12. Знайти область правильної збіжності

функціонального ряду

sin x

sin 2x

sin 3x

...

sinnx

... .

22

33

nn

х

sinnx

1

, тому

Для

всіх

буде

виконуватись

нерівність

nn

nn

мажорантою даного

функціонального

ряд

буде числовий

ряд

1

1

1

...

1

...,

збіжність

якого

можна

встановити

за

nn

22

33

допомогою ознаки Коші:

1

1

lim n

lim

lim

0 1.

un

n

n n nn

n n

З цього можна зробити висновок, що даний ряд збігається на всій числовій осі.

Функціональний ряд (19) називається рівномірно збіжним в області D , якщо послідовність його частинних сум Sn x збігається рівномірно в цій області. Це буде за умови, якщо для будь-якого 0 існує такий номер N , що нерівність

S x Sn x

(21)

справджується при всіх n N і всіх x D .

Ознака Вейєрштрасса

Якщо члени ряду (19) задовольняють нерівності (20)

Un x an

502

для всіх x D , n N і числовий ряд з додатними членами	an
	n 1
збігається, то ряд U n x збігається в області D рівномірно.
n 1
Властивості рядів, що збігаються рівномірно

1. Неперервність суми ряду.

Якщо функції U n x визначені і неперервні в деякій області D і

ряд (19) збігається в області D рівномірно до суми S x , то ця сума

буде неперервною в області D .

2. Почленний перехід до границі.

Нехай кожна з функцій U n x , де n N , визначена в області D

і має при x a скінчену границю
limUn x Cn .	(22)
x a

Якщо в області D рівномірно збігається ряд (19), то збігається і

числовий ряд Cn до суми С, а сума функціонального ряду також

n 1

має границю при x a , причому
limS x C .	(23)
x a

3. Почленне інтегрування ряду.

Нехай ряд (19) збігається рівномірно в деякому проміжку a,b

до неперервної функції S x , а члени ряду U n x , де n N , також неперервні в проміжку a,b . Тоді ряд, утворений з інтегралів функцій, також збігається рівномірно до функції, яка дорівнює інтегралу від S x на , (a b ):

S x dx
									(24)
			U n x dx U n x dx .
		n 1			n 1
Тобто якщо ряд збігається рівномірно, то його можна почленно
інтегрувати.
4. Почленне диференціювання ряду.									a,b і
Нехай	функції		U n x	визначені				в деякому проміжку
						x		. Якщо в цьому проміжку не
мають на ньому неперервні похідні U n

тільки збігається ряд (19), але й рівномірно збігається ряд, створений з похідних,

			x ... ,
				(25)
U n	x u1	x u2

n 1

503

то сума S x ряду (19) має в a,b похідну, яка дорівнює сумі ряду

похідних.

Тобто при виконанні наведених умов стає можливим почленне диференціювання ряду

d			U	x			d U n x .		(26)
		n
							dx
dx n 1						n 1

§5. Степеневі ряди

Степеневим називається функціональний ряд, який має вигляд

an xn	a0	a1x a1x 2 ... ,	(27)
n 0
або в більш загальному вигляді
		a1 x x0 a1 x x0 2 ... .
an x x0 n	a0		(28)

n 0

Числа an (n 0,1,2,...) називають коефіцієнтами ряду.

Ряд (27) завжди збігається при x 0 , а ряд (28) при x x0 . Ряд (28) легко звести до ряду (27) заміною

y x x0 .

(29)

Теорема Абеля. 1. Якщо ряд (27) збігається при деякому

0 ,

x

то він абсолютно збігається при всіх x , для яких

x

.

x

2. Якщо ряд (27) є розбіжним при деякому

ˆ

, то

він є

x

розбіжним при всіх x , для яких

x

ˆ

.

x

Інтервал збіжності

Область збіжності степеневого ряду (27) – це коло з центром на початку координат. Область збіжності степеневого ряду (28) – це коло з центром у точці x0 , x C .

Якщо x R , то коло вироджується в інтервал на осі ОХ. Цей інтервал симетричний відносно початку координат для ряду (27) або відносно точки x0 для ряду (28).

Число R називається радіусом збіжності степеневого ряду. Радіус може змінюватись від 0 до . Для обчислення радіусу збіжності застосовуються формули

504

	R lim			an				;			(30)
		an 1
	n
	R lim					1				.	(31)
						an
	n n
	Коли обчислено радіус,			треба покласти x R							і дослідити

отримані числові ряди на збіжність, бо самі точки x R можуть і не входити в область збіжності.

Властивості степеневих рядів

1. Степеневий ряд (27) рівномірно збігається на будь-якому проміжку , , який розміщений всередині інтервалу збіжності. Тому:

1.1. на проміжку , сума степеневого ряду є неперервна функція;

1.2. якщо границі інтегрування a і b розташовані в середині інтервалу збіжності степеневого ряду, то його можна інтегрувати почленно.

2. Якщо степеневий ряд (27) має інтервал збіжності R,R , то ряд, отриманий почленним диференціюванням ряду (27), тобто ряд

nan xn 1 a1 2a2x 3a3x 2 ... ,	(32)
n 1

має той самий інтервал збіжності R,R і в кожній точці інтервалу похідна від суми S x степеневого ряду (27) дорівнює сумі ряду (32).

Приклад 13. Знайти область збіжності степеневого ряду

n(n 1)xn

2x 6x 2 12x 3 ... .

n 1

Знайдемо радіус збіжності ряду

R lim

an

.

an 1

n

Маємо

n n 1

n

1

R lim

lim

lim

1.

n 1 n 2

2

n

n n 2

n

1

n

При x 1 дістанемо числовий ряд

n n 1 .

n 1

505

Загальний член ряду прямує до нескінченності при n :

limn(n 1) .

n

Ряд розбігається.

Нехай x 1. Отримуємо числовий ряд

1 n n n 1 .

n 1

Необхідна умова збіжності не виконується. Тому ряд збігається тільки всередині інтервалу 1,1 .

Приклад 14. Знайти область збіжності степеневого ряду

	n 1	x	n 1		x	2		x	3		x	4
	1												... .
	n n 1
n 1				2 3 12

Знайдемо радіус збіжності ряду, як і в попередньому прикладі:

1

n 2

R lim

n n 1

lim

lim

1

1.

1

2

n

n n

n

1

n 1 n 2

n

При x 1 отримаємо знакозмінний числовий ряд

1 n 1

n 1 n n 1 .

Його члени монотонно спадають за абсолютною величиною, і

lim an

lim

1

0 . За ознакою Лейбніца ряд збігається. Ряд з

n

n n n 1

модулів

1

n 1

n n 1

можна порівняти із збіжним рядом

1

:

2

n 1 n

1

1

1

.

n n 1

n 2 n

n 2

За теоремою порівняння І ряд з модулів збігається, тобто при x 1 маємо абсолютно збіжний ряд.

При x 1 отримаємо ряд з додатними членами:

	n 1	x	n 1		1
	1					.
	n n 1
n 1				n 1 n n 1

Цей ряд, який вже розглядався, є збіжним.

Заданий ряд збігається як всередині, так і на кінцях інтервалу

1;1 .

506

Приклад 15. Знайти область збіжності степеневого ряду

1 n x 3 n

x 3

x 3 2

.... .

5

n

n 1

3 5

2

n 1

2 5

Знайдемо радіус збіжності ряду

1

R lim

.

Отримаємо

1

n n

an

R lim

lim n

5 5 ,

n 1

n

1

n

n

n 1 5n

тому що

lim n

1.

(33)

n

n

У заданому ряді центром інтервалу збіжності є точка

x 3 ,

тому ряд збігається у внутрішніх точках інтервалу 2;8 .

Дослідимо ряд на збіжність на

кінцях цього інтервалу. При

x 2

1 n 5 n

1 2n 5n

U n

2

1

.

n 1 5n

n 1 5n

n 1

1

Числовий ряд

розбігається, як і гармонійний ряд. При

n 1 n 1

x 8

1 n 8 3 n

1 n

U n 8

.

n 1 5n

n 1

n

Знакозмінний ряд

1

збігається умовно. Дійсно,

ряд з

n 1

n 1

модулів отримано при x 2, він розбігається. Члени ряду монотонно спадні за модулем і

liman	lim	1		0 .
n	n n 1

Тому за ознакою Лейбніца ряд збігається умовно. Область збіжності степеневого ряду: 2 x 8 .

Розвинення функцій у степеневі ряди. Ряд Тейлора

З’ясуємо, коли можна стверджувати, що задана функція є сума деякого степеневого ряду.

507

По-перше, сума степеневого ряду має нескінченну кількість похідних в інтервалі збіжності. Це необхідна умова того, що f x є

сума. Достатню з’ясуємо, коли побудуємо ряд для f x .

Припустимо, що функція f x має нескінчену кількість

похідних в околі точки x0 і вона є сумою степеневого ряду в цьому околі:

f x a0	a1 x x0 a2 x x0 2 ... an x x0 n	... .	(34)
Коефіцієнти	ряду a0 ,a1,... залежать від функції	f x .	Вони

невідомі, і треба їх визначити.

Візьмемо n похідних від обох частин рівності (34): f x a1 2a2 x x0 ... nan x x0 n 1 ...;

		n 2
		3 2a2 x x0 ... n n 1 an x x0	...;	(35)
	f x 2 1 a2

……………………………………………………………………..

f n x n n 1 n 2 ...2 1 an ... .

Покладемо в рівностях (34) та (35) x x0 . Тоді визначимо коефіцієнти a0 ,a1,...,an ,... через значення функції f x та її похідних в точці x , а саме:

a0 f x0 , a1 f x0 , a2		f x0	, …, an		f n x0	.	(36)
		2!
					n!

Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у формулу (34), отримаємо остаточно степеневий ряд, сумою якого є функція f x :

f x f x0 f x0 x x0

f x0

x x

0 2

...

f n x0

x x

0 n

...

2!

n!

(37)

або в скороченому записі

f n x

0

n

f x

x

x

0 .

(38)

n!

n 0

Ряд (37) або (38) називається рядом Тейлора для функції f x .

Частинний випадок, коли x0 0 , дає так званий ряд Маклорена:

f

0

2

f

n

0 n

f x f 0 f

x

...

x

...

0 x

2!

n!

або

f n 0

n

f x

x

.

(39)

n!

n 0

У записах через суму мається на увазі, що 0!=1.

508

Отримали розвинення функції f x у степеневий ряд,

припустивши, що це можливо. Тепер повернемось до достатньої умови розвинення функції у степеневий ряд.

Нехай

Tn x -

многочлен

n -ого

ступеня,

який

є

n -ою

частинною сумою ряду Тейлора:

Tn x f x0 f x0 x x0

f x0

x x0 2

...

f n x0

x x0 n .

(40)

2!

n!

f x

Хоча коефіцієнти ряду Тейлора для функції

визначені

через значення функції f x та її

похідних у точці x0 ,

це ще не

забезпечує збіжність ряду Тейлора саме до функції

f x .

Якщо ряд

Тейлора збігається до

f x , то, за визначенням, буде виконуватись

рівність

limT

x f x

n n

або

lim f x Tn x 0 .

(41)

n

Вираз

f x Tn x rn x - залишок ряду Тейлора для функції

f x . Таким

чином,

отримуємо достатню умову

розвинення

функції в ряд Тейлора: для того,

щоб функція f x

при деякому

значенні була сумою степеневого ряду, необхідно, щоб вона була диференційована нескінченну кількість разів, і достатньо, щоб

залишок ряду Тейлора

прямував до

нуля при

n

при цьому

значенні x , тобто щоб справджувалась рівність

lim r x 0 .

(42)

n n

При дослідженні залишку ряду користуються його виразом у

формі Лагранжа:

n 1 x

x x

f

0

0

n 1

r x

x x

,

(43)

n 1 !

0

n

а також виразом залишку у формі Коші:

		f	n 1 x	0	x x	0				n			n 1
r	x								1		x x	0		,	(44)
n					n!
де const - правильний додатний дріб:
			0 1 .												(45)

Практично при розвиненні функції у степеневий ряд беруть конкретне число членів, щоб витримати точність обчислення. Залишок rn дає помилку, яка виникає при заміні функції

многочленом Тейлора Tn x .

509

Зауваження. Якщо в околі точки x0 функція f x може бути

розвинена у степеневий ряд, то останній може бути тільки рядом Тейлора.

Коефіцієнти степеневого ряду (34) визначаються однозначно, вони є коефіцієнтами Тейлора (36).

Приклад 16. Розвинути у степеневий ряд функцію f x ln x в

околі точки x0

1.

Знайдемо n похідних заданої функції:

2 3

2 3 4

1

1

2

v

v

f

x x 3 ; f

x

x 4

; f

x

x 5

; . ;

f x x ; f

x x 2 ;

fn x 1 n 1 n 1 ! ;… .

xn

Обчислимо коефіцієнти Тейлора в точці x0 1:																																							1
																																	f		1
	a0 f 1 0 , a1 f																		1				, a2
																					1													2!			;
																																							2
		f							2					1									IV
a3				1													, a4				f				1										2 3						1	;
			3!																																2 3 4
									2 3 3														4!																	4
					a5					f V 1									2 3 4										1				, …;
																		2 3 4 5												5
									5!
		an					f n 1				1 n 1									n 1 !							1 n 1									, … .
							n!													n!										n
Підставимо ці значення у ряд (34):																																					n 1
				2					3										4
ln x x 1	x 1							x 1									x 1					...												1				x 1 n , 0 x 2 .
																			4																n
	2								3																				n 1

Застосування степеневих рядів у наближених обчисленнях

У наближених обчисленнях найчастіше використовують так звані стандартні ряди, які являють собою розвинення в ряд Маклорена основних елементарних функцій.

1. Розвинення у ряд Маклорена показникової функції f x e x :

x

2

x

3

n

e x

1 x

...

x

, x R

(46)

2!

3!

n 0 n!

2. Розвинення у ряд Маклорена основних тригонометричних

функцій f x sin x та f x cos x :

x 3

x 5

x 7

n 1

x 2n 1

sin x x

... 1

,

x R

(47)

3!

5!

7!

n 0

2n 1 !

510