uchebnik10

Отсюда можно вывести следующие рабочие формулы, удобные

при вычислении дисперсии непосредственно по значениям

варьирующего признака:
2_	1	[~2		(~X/)2].		(15)
SX-	n -1		~Xl -	n	,
2		I	( 2	-2)	;	(16)
SX= n -1			1:xi-nx
						(17)

или при повторяемости отдельных вариант

Sx	1	[1:/' 2 _ (~f/XI)2)			(15а)"
2	n- 1	'1 Х/		,
			n
	2	1	nx2);
SX= n - l (1: lix7 -					(16а)
s~=	1 l~ fiX; _ (~f/x/)2 ].				(17а)
	n-I	n	n
Среднее квадратическое		отклонение	sx.	Наряду	с диспер­

сией важнейшей характеристикой варьирования является сред­

нее квадратическое отклонение - показатель, представляющий

~opeHЬ квадратный из дисперсии:

Sx=11 ~(XI-x)2.		(18)
V	n - l

Эта величина в ряде случаев оказывается более удобной харак­

теристикой варьирования, чем дисперсия, так как выражается в

Тех же единицах, что и средняя арифметическая величина.

. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение наилучшим

рбразом характеризуют не только' величину, но и специфику j3арьирования признаков. Чтобы убедиться в этом, вернемся к

рассмотренным выше рядам распределения, у которых одинако­

вый размах вариации и одинаковые средние показатели, но раз­

личный характер варьирования, и вычислим для них дисперсию

и среднее квадратическое отклонение:

10	15	20	25	30	35	40	45	50	Хt- ЗО
-20	-15	-10	-5	О	+5	+ 10	+15	+20
400	225	100	25	О	25	100	225	400	};(Xi -х)2....
									... 1500

Отсюда Sz2=1500J(9-1} = 187,5 и sx=V187,5=13,7.

49

10	28	28	30	30	30	32	32	50
-20 -2 -2			О	О	О	+2	+2	+20
400	4	4	О	О	О	4	4	400

Отсюда 8%2=816/8=102 и 8х=У 102=10,1.

Из приведенных вычислений видно, что при одинаковых ли­

митах и размахе вариации дисперсия и среднее квадратическое

отклонение оказались неодинаковыми: на величине этих показа­

телей сказался различный характер варьирования признаков.

Поправка Шеппарда. При превращении интервального ва­

риационного ряда в безынтервальный ряд частоты распределе­ ния относят к средним значениям классовых интервалов без

учета внутриклассового разнообразия. Между тем варианты

внутри классов распределяются неравномерно, накапливаясь

больше у тех границ, которые ближе к средней арифметической

ряда. Отсюда следует, что при ВЫЧИСЛении обобщающих харак­

теристик для непрерывно варьирующих признаков допускают

систематическую погрешность, величина которой зависит от ши­

рины классового интервала: чем шире интервал, тем больше и

погрешность. На величине средней арифметической погрешность отражается слабо, тогда как на величине дисперсии она сказы­ вается более сильно. Учитывая это обстоятельство, В. Шеппард (1898) установил, что разность между расчетной и фактической величиной дисперсии составляет 1/12 квадрата классового интер­ вала. Следовательно, при вычислении дисперсии по формуле

(13) следует вносить поправку Шеппарда, т. е. вычитать эту

величииу (+ 1..2) из 8%2. Так, если взять распределение каль­

ция (мг%) в сыворотке крови обезьян, для которого известны

8,,2= 1,60 и 8,,= 1,26, то, учитывая ширину классового интервала

л=О,8 мг% и внося поправку Шеппарда, получим 8%2= 1,60--

-0,82/12=1,55 и 8х=1Il,55=1,24.

Поправка Шеппарда вносится далеко не всегда. Ее обычно

применяют или при высокой точности расчетов, ИЛИ при нали­

чии большого числа наблюдений (n;;;>-500) , распределяемых в

интервальный вариационный ряд. Для получения обобщающих числовых характеристик небольших и средних по объему (n< <500) совокупностей поправку Шеппарда не вносят.

Коэффициент вариации V, Cv. Дисперсия и среднее квадра­

тическое отклонение применимы и для сравнительной оценки

одноименных средних величин. В практике же довольно часто

приходится сравнивать изменчивость признаков, выраженных

разными единицами. В таких случаях нспользуют не абсолют­

ные, а относительные показатели вариации. Дисперсия и сред­

нее квадратическое отклонение как величины, выражаемые теми

же единицами, что и характеризуемый ими призиак, дли оцеики

50

изменчивости разноименных величин непригодны. Одним из

относительных показателей вариации является коэффициент

вариации. Этот показатель представляет собой среднее квадра­

тическое отклонение, выраженное в процентах от величины

средней арифметической:

CV= S: 100%.	( 19)
х

Прuмер 13. Сравнивают два варьирующих признака. Один

характеризуется средней XI=2,4 кг и средним квадратическим

отклонением 81=0,58 кг, другой - величинами Х2=8,3 см и 82= 1,57 см. Следует ли отсюда, что второй признак варьирует

сильнее, чем первый? Нет, не следует, так как среднее квадра­

тическое отклонение определяют по отклонениям от средних, а

они различны по величине. Кроме того, не вполне корректно

сравнивать величины, выраженные разными единицами меры.

Именно поэтому в подобных случаях уместно использовать без­ размерные значения коэффициентов вариации. Сравнивая их в

приводимом примере, находим, что сильнее варьирует не вто­

рой, а первый признак:

CV1 = 100(0,58/2,4)=24,2 % и Cv2=100(1,57/8,3)=18,9 %.

Различные признаки характеризуются различными коэффи­

циентами вариации. Но в отношении одного и того же призна­

ка значение этого показателя Cv остается более или менее

устойчивым и при симметричных распределениях обычно не пре­

вышает 50%. При сильно асимметричных рядах распределения

коэффициент вариации может достигать 100% и даже выше.

Варьирование считается слабым, если не превосходит 10%, средним, когда Cv составляет 11-25%, и значительным при

CV>25%.

Применяя коэффициент вариации в качестве характеристики

варьирования, следует учитывать единицы размерности изучае­

),{ого признака: линейные или весовые (объемные). Акад.

И. И. Шмальгаузен (1936) отмечал, что в таких случаях коэф­

фициент вариации оказывается неодинаковым. Иллюстрацией тому могут служить данные Ю. Г. Артемьева (1939), исследо­

вавшего варьирование величины внутренних органов у малых сусликов в зависимости от того, какими единицами меры выра­

Жены признаки (табл. 10).

Данные, приведенные в табл. 1О, показывают, что при линей­

ном выражении величины признака коэффициент вариации ока­ зывается примерно в три раза меньше, чем при кубическом вы­

ражении того же признака. Причина такого явления - в мате­ ldатических свойствах Cv, которые надо учитывать, чтобы избе­

Жать возможных ошибок.

51

Таблица tr

ко~ффициент вариации при разном

		выражеиии	призиаков
Органы		I
	лииейном		кубнческом
Сердце	3,4		10,2
Легкне	9,6		29,5
Селезенка	9,8		29,8
Почка	3,1		9,4
Печень	3,0		9,3

Нормированное отклонение t. Отклонение той или иной ва­

рианты от средней арифметической, отнесенное к величин~

среднего квадратического отклонения, называют нормирова1-­

ным отклонением:

(20

Этот показатель позволяет «измерять» отклонения отдельны:

вариант от среднего уровня и сравнивать их для разных при~

наков.

Пример 14. При обследовании группы подростков в возра

сте от 15 до 16 лет установлено, что средний рост юношей Ха

рактеризуется следующими показателями: х= 164,8 см			и sx=-
=5,8 см. В группе оказался	юноша,	рост которого	paBel-
172,4 см. Спрашивается: как	велико	отклонение роста	ЭТОГt

юноши от средней величины данного признака в этой группе

Нормируя рост юноши (_х=172,4), находим '='1724-1648'-

5,8

= + 1,31.

Получая значения нормированных отклонений для разны;­

признаков, можно сравнить места, занимаемые особью, ИНДИВl>

дом и т. п. по каждому из этих признаков в их распределень

ях. Пусть, например, нормированное отклонение у рассмаТрп

ваемого юноши по ширине плеч равно - 0,41. Тогда можно ут­

верждать что у него длина тела отклоняется от средней в сто рону больших величин этого признака, а ширина плеч - в ст(\-

u

рону малых, т. е. характерен относительно узкоплечии тип ТI=

лосложения.

Нормированное отклонение используют также при работе ~

так называемым нормальным распределением.

11.3.СПОСО&Ы ВЫЧИСЛЕНИЯ СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ

ИПОКАЭАТЕЛЕА ВАРИАЦИИ

Моменты распределения. Средние величины и показатели ва­

риации вычисляются как на группированном, так и негруппиро­

ванном в вариационные ряды исходном материале. Известны

три основных способа вычисления обобщающих числовых ха­ рактеристик: способ произведений, способ условной средней и

способ сумм или кумулят. Каждый способ имеет свои конструк­

тивные особенности, но любой из них приводит К одному И

тому же конечному результату.

Чтобы раскрыть сущность каждого способа и облегчить по­

нимание конструктивных особ~ностей других обобщающих по­ казателей, с которыми придется встречаться в дальнейшем, не­

обходимо познакомиться с понятием статистических моментов,

или моментов распределения.

Моментами распределения называют суммы отклонений ва­ риант Х! от какого-либо числа А, возведенные в k-ю степеиь и

отнесенные к общему числу вариант n, составляющих данную

совокупность. Иными словами, это величины, которые можно

выразить в виде следующей общей формулы:

м=-I ~(XI-A)1I.

n

Если отклонения вариант вычисляют по отношению к нуле­ вой точке, то моменты называют начальными (т); если от

средней арифметической, то моменты называют цен.тральн.ыми

И обозначают греческой буквой J..t (ми). Если же отклонения

вариант находят от произвольно выбранного числа А, моменты

называют условными (Ь). В зависимости от степени отклоне­

Ний статистические моменты подразделяют на моменты перво­

го, второго и больших порядков. В области биометрии исполь­

зуют обычно моменты первого, второго, третьего и четвертого

порядков. Формулы для их вычисления приведены в табл. 11.

Центральные моменты ряда распределения связаны с ус-

Jювными моментами следующим образом:

111=b1 -Ь1 =О;

IL -Ь bZ-sZ'

г2- 2 - 1 - ,

P-з=Ьз- ЗЬ1Ь2+ 2b~;

114 = Ь4 - 4ЬzЬз+6b~bz - ЗЬi.

Эти формулы используют при вычислении обобщающих ха·

рактеристик вариационного ряда. При замене в этих форму· ilax обозначений условных моментов Ь, на начальные т, можно

53

			Таблица С
МОlllенты
рас:преде-	Начальные	Центральные	Условные
лении

Первого по-	ml=	~ f (х - О)	-	11-1 =	~f(x -х)	Ь1	=	~f(x - А)
рядка		n			n			n

~fx

=n

		m2=	~f(x -0)2			-	11-2 =	~ f(x -	х)2	Ь2 =	~f(x _А)2
Второго	по-			n							n
рядка								n
				~fx2
			=
				n
Третьего	по-	mз= ~f(x -			0)3 -		II-з =	~ f(x -	х)3	Ьз =	~f(x-A)3
				п				n			n
рядка
				~fx3
			=
				n
		m4=	~ f (х -		0)4	=	11-4 =	~! (х -	х)4	Ь4 =	~f(x-A)4
Четвертого				n							n
								n

порядка		~fx4
	=
		n

получить выражения для вычисления центральных моментов

Способ произведениЙ. Основу этого способа составляет на­

хождение отклонений вариант от средней величнны, характерн­

зующей данную статнстическую совокупность. Каждое ОТКЛОНt:­

ние возводится в степень, затем эти степени отклонений CYMMh

руются. В простейшем виде эта операция записывается так:

~ (	Х/ -	- )	=	~ 2	(~х)2
D = ~		Х 2		~ Х/ -	N .
1-1				I~1

В совокупности варианты обычно повторяются, поэтому СУА..

мы отклонений вариант от средней должны умножаться на и;

веса или частоты (отсюда и название способа), т. е. раССЧИТl:-'

ваться по взвешенным суммам квадратов отклонений (девиат)

k	k	(~flx)2.
D= ~(XI-X)2= ~ f/x7-
1-1	1-1	n

54

Пример 15. По данным Г. Е. Бодренкова (1963), длина тела

у личинок щелкуна, отобранных случайным способом в посеве

озимой ржн и нзмеренных в миллиметрах, варьировала сле­

дующим образом: 7, 10, 14, 12, 15, 16, 12. Средняя длнна лн­

чинок х= (1/1) (7+10+14+ ... +12) =86/7= 12,3							мм. Чтобы
определить показатели вариации, предварительно							находим:
7	10	14	12	15	16	12'	1:Xj=86
49	100	196	Н4	225	256	144	1:xj2 ... 1114

Отсюда значение девиаты D= 1114-862/1=57,43.

.	2	D	5743		sx=9,57=3,094
	вариацин 8х=	n -1	= - ' - =9,57;
			6
	ент варнации Cf1= 100 3 '094			=24,2 %.
			12,3

Показатели и коэффицн-

Пример 16. Определить среднее число поросят в пометах 64 свиноматок (см. гл. 1) и вычислить показатели вариации для этого распределения. Предварительно рассчитаем вспомо­

гательные величины 1:Xi2, 1:!iXi И 1:!iXi2. Расчет проводится в

табл. 12.

Таблица 12

K.naccw	I	Частоты	X j 2	\
Х;		';
				I
5		4	25
6		7	36
7		13	49
8		15	64
9		7	81
10		9	100
11		6	121
12		3	144
Сумма		64	-

fjXj	f j X j 2
	\
20	100
42	252
91	637
120	960
63	567
90	900
66	726
36	432
528	4574

Подставляя найденные велнчины в формулы, имеем х=

.	1 (	5282)=	~=З 46's	=
р28/64=8,25 поросят; s; = 63 4574-
		64	63 "	z
... 1,85 и Cv= 100 1,86	=22,5 %.
8,25

Прuмер 17. Годовой удой 80 коров, содержащихся на ферме,

распределился следующи·м образом:

55

Удой, кг	2500--	2600--	2700--	2800--	2900--	3000--	3100--	3200--3300
Число коров	2	5	13	20	16	17	4	3

Вычислить характеристики для этого ряда. Предварительно

превратим интервальный ряд в безынтервальный: 2550 2650 2750 2850 и т. д. Чтобы облегчить вычислительную работу,

уменьшим каждую классовую варианту на А=2500 и разделим

полученную величину на К= 10. По преобразованным значе­

ниям классов: (2550-2500): 10=5; (2650-2500): 10= 15;

(2750-2500): 10=25 и т. д. - рассчитываем вспомогательные

величины (табл. 13).

Подставляя известные величины в формулы с учетом тех поправок, которые внесены в данном случае (см. табл. 9), на·

ходим: х= "l.flX/ К+А= 3250

n

80

10+2500=2906,25 кг;

s;'= 1	[~!x2- (~fiХi)З]К2=_1 (151500--32502)102=
n -- 1	I 1	n	79	80

=(151400-132031,25)/79= 1936875/7'9=24517,40; sx=

	=V24517,40=156,58 и Ср= 100 156,58 =5,4%.
				2906,25
					Таблица 13
	Преобразован,	Частоты
	НЫе ЗНачення
		';	fjXj	Xjl	fjXjl
	Xj*
	K.naCCOB
	5	2	10	25	50
	15	5	75	225	1125
	25	13	325	625	8125
	35	20	700	1225	24500
	45	16	720	2025	32400
	55	17	935	3025	51425
	65	4	260	4225	16900
	75	3	225	5625	16875
	Сумма	80	3250	-	151400
	Способ условной средней.		Нельзя	не заметить,	что вычисле­

ние статистических характеристик способом произведений, осо­

бенно при наличии многозначных чисел, представляет собой

трудоемкий процесс. Гораздо легче рассчитать статистические

характеристики упрощенным сnособо'м условной средней, назы­

ваемым также сnособо'м условного нуля. Суть этого способа за­

ключается в следующем.

Одну из вариант условно принимают за среднюю величину,

обозначив ее через А. Обычно в качестве условной средней, илИ

56

нулевой точки отсчета, берут варианту или класс с наиболь­

шей частотой, хотя это и не обязательно: в качестве условной

'средней можно принять любую варианту (при наличии негруп­

пированных данных) или любой класс вариационного ряда. На­

метив величину А, остается найти поправку, которую необхо­

,\имо прибавить или вычесть (смотря по знаку) от условной

..;реднеЙ, чтобы получить значение средней арифметической Х.

Такой поправкой служит условный момент первого порядка

jl= ~fl(Хi-А) (см. табл. 11). Обозначив отклонения вари-

n

ант от условной средней через а, получим b1 = ~fia 'Отсюда

n

:рормула для определения средней арифметической

(21 )

LLисперсия, определяемая этим способом, равна

между условным моментом второго и квадратом

момента первого порядка, умноженной на величину

~оторая называется поправкой Бесселя:

2 _ n	(	Ь2)
sx- n-I	I\	ь2 - l'

~ развернутом виде эта формула выглядит так:

,'

;'	s~=	1 [:l'f.a2_(~f;a)2] или
.	n-I		l	n
'.	s;=		[~fia2 _( ~fja )2J.
		n
		n-I	n	n

разности

условного

n! (n-l),

(22)

(23)

(24)

Ниже приведены конкретные примеры применения этих фор­

!4ул.

, Пример 18. Вычислить способом условной средней основные ~арактеристики ряда распределения кальция (мг%) в сыворот­

~e крови обезьян. Предварительно рассчитываем вспомогатель-

1ые величины Щiа и Щiа2 (табл. 14).

~ В качестве условной средней А взята классовая варианта, равная 11,4. От этой величины находим отклонения классов:

1)0-11,4=-2,4; 9,8-11,4=-1,6 и т. д. (см. третью графу

!lбл. 14). Подставляем найденные величины в формулы:

,	. x=11,4+53,6/l00=11,936:::::: 11,94			мг%;
S2=~[187.52_(5з.6)2]= 100 (18752-02873)=160.
х	99 100	100	99'	•	, ,

57

Кnассы	Частоты
Х!	l!
1	2
9,0	2
9,8	6
10,6	15
11,4	23
12,2	25
13,0	17
13,8	7
14,6	5
Сумма	100
Отсюда	sx=Vl,60=I,26

				Табnица 1·
a-(xj-A)			l j a	l j a2
	3		-
			4	5
-2,4			-4,8	11,52
-1,6			-9,6	15,36
-0,8			-12,0	9,60
О			О	О
+о.в			+20,0	16,00
+1,6			+27,2	43,52
+2,4			+16,8	40,32
+3,2			+16,0	51,20
-			+53,6	187,52
и С	u	=100	1,26 10,6%.
			11,94

Вычисление вспомогательных величин можно значитеЛЬНl

упростить, если отклонения классовых вариант от условноf

средней А относить к величине классового интервала, т. е. BMeL то а= (xi-A) брать а= (Хi-А)/Л. Тогда во всех без ИСКЛЮЧt:­

ния случаях (для равноинтервальных рядов) отклонения клаL

совых вариант от условной средней А, где а=О, превращаютс}

в ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4 и т. д., которые, как и в Прt:­

дыдущем случае, рассматриваются в сторону меньших, чем r

значений вариант с отрицательным, а в сторону ббльших, чеl\

А, значений - с положитетельным знаком. При этом в форм', лы (21), (23) и (24) вносятся поправки на величину классовог

интервала:

х=А+л У. f/a ;	(25
n

s;=	1.,2	(~f,a2 _	Y.f/ a ]
	n - l	~ I	n
s~	).2n	[У. f;a'!	_ ( У. fja
	п-l	n	n

или (26

)2]. (27

Применив эти формулы к рассматриваемому примеру, раССЧI'

тываем 'Щiа и 'Щiа2 (табл. 15).

Подставляя известные величины в формулы (25) и (26

находим:

-х=II,4+0,8 67 =11,4+0,536=11,936::::::::-11,94 мг%;

100

i= 0,82 (293672)= 0,64				(293-4489)	]58,79=160.
х	99	100	99	'	99	•

58