На рис. 3.2 представлен вид зависимостей, описываемых соотношениями (3.32) – (3.36), которые часто называют изэнтропическими формулами.

1		1
		2
	5	3
		4
0	1	М

Рис. 3.2. Изэнтропические зависимости: 1 –

3 – ρ (M); 4 – p (M); 5 –
ρ0	p0

a (M); 2 – T (M);
a0	T0

v (M)

vmax

3.4. Одномерное установившееся течение газа в канале переменного сечения

Такое течение представляет собой важнейший пример среди задач газовой динамики, поскольку иллюстрирует принципиальное, качественное различие между дозвуковым и сверхзвуковым потоком газа. Более того, оно может быть полностью рассчитано с помощью простых соотношений.

Используем следующие предположения:

1)движение установившееся, т.е. не зависящее от времени;

2)движение одномерное, т.е. параметры потока зависят только от продольной координаты x . В этом случае параметры газо-

вого потока в каждом поперечном сечении принимаются постоянными и равными некоторым средним значениям;

173

3)газ невязкий и нетеплопроводный, а течение адиабатиче-

ское;

4)массовые силы не учитываем.

Тогда система уравнений, описывающих изменение параметров газа вдоль канала, включает в себя (2.8), (2.16), (2.71)

и(2.42):

•уравнение неразрывности – Q = ρvF = const ,

•уравнение количества движения – ρvdv = −dp ,

	•	уравнение адиабаты Лапласа – Пуассона –	p	= const ,
			ργ
	•	уравнение термодинамического состояния		(уравнение

Клапейрона) – p = ρRT .

Проведем качественный анализ характера изменения параметров газового потока вдоль канала, площадь поперечного сечения которого является заданной функцией продольной координаты: F = F (x) . Продифференцируем уравнение неразрывности:

dρ

+ dv + dF

= 0 .

(3.37)

ρ

v

F

Исключим отсюда плотность с помощью (2.16) и (3.20):

dρ

=

1

dρ dp =

1

(− ρvdv )= −M 2 dv .

(3.38)

ρ

ρa 2

ρ dp

v

Далее можно получить

dp

= −γM

2

dv

,

(3.39)

p

v

dT

= −(γ −1)M 2 dv .

(3.40)

T

v

Теперь, прежде чем продолжить анализ характера изменения параметров по длине канала, рассмотрим (3.38) и отметим следующее. Три последние уравнения (3.38) – (3.40) устанавливают связь между изменением плотности, давления и температуры с

изменением скорости течения. Формула (3.38) для dρρ оказалась самой простой, причем она не зависит от γ . Из нее видно, что

174

	при M =1 выполняется равенство	dρ	=		dv		. Соотношение
		ρ
					v

(3.38) отражает, пожалуй, наиболее важную качественную особенность газовых течений. Действительно, если в (3.38) M <1, то

dρ	<		dv		, если же M >1, то	dρ	>		dv		, следовательно,
ρ			v			ρ			v

в дозвуковом течении плотность изменяется медленнее, чем скорость, а в сверхзвуковом течении – наоборот. В этом одно из принципиальных различий дозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Далее мы увидим, что во многие важные соотношения

газовой динамики входит разность M 2 −1 , которая меняет знак при переходе от дозвукового к сверхзвуковому течению. С физической точки зрения это приводит к изменению ряда величин в

противоположном направлении. Подставляя (3.38) в		(3.37), по-
лучим
(M 2 −1)dv	= dF .	(3.41)
v	F

Уравнение (3.41) связывает изменение скорости потока вдоль канала с изменением площади поперечного сечения. Можно считать, что (3.41) характеризует воздействие изменения площади поперечного сечения канала (т.е. его геометрии) на изменение скорости вдоль потока. Дифференцируя (3.20) и используя соотношения из термодинамики, получим формулы, связывающие изменение скорости звука, плотности, давления и температуры :

2	da	= (γ −1)	dρ	=	γ −1 dp			=	dT	.	(3.42)
	a		ρ		γ p
									T

Соотношения (3.41), (2.16) и (3.42) позволяют определить характер изменения параметров газового потока в канале переменного сечения и тем самым указать условия ускорения или замедления дозвукового или сверхзвукового потоков, а также условия непрерывного перехода через скорость звука.

Рассмотрим различные типичные случаи течения. Дозвуковой поток ( M < 1) в сужающемся канале ускоря-

ется ( dv > 0 ), при этом давление, плотность и температура газа уменьшаются ( dp < 0 , dρ < 0 , dT < 0 ). Это свойство газового потока используется в сопловых аппаратах

175

авиационных воздушно-реактивных двигателей, для создания струй в различных агрегатах производственного назначения и т.п.

Дозвуковой поток ( M < 1) в расширяющемся канале замедляется (dv < 0 ), давление, плотность и температура газа при этом возрастают (dp > 0 , dρ > 0 , dT > 0 ). Полезным

свойством является возможность повышения давления на выхлопе для увеличения мощности газовых турбин или при создании устройств эжекторного типа и т.п.

Сверхзвуковой поток ( M > 1) в сужающемся канале замедляется ( dv < 0 ), при этом давление, плотность и температура газа возрастают (dp > 0 , dρ > 0 , dT > 0 ). Это

свойство используется в диффузорах сверхзвуковых самолетов с целью повышения давления на входе в компрессор двигателя, в сверхзвуковых аэродинамических трубах.

Сверхзвуковой поток ( M >1) в расширяющемся канале ускоряется ( dv > 0 ), давление, плотность и температура газа

уменьшаются ( dp < 0 , dρ < 0 , dT < 0 ). Это свойство

используется при создании сопл ракетных двигателей, для получения струй большой скорости и т.п.

Остается рассмотреть вариант течения, при котором dF = 0 . Практический интерес здесь представляют два случая.

В первом случае ( F = Fmax ) на некотором участке канала об-

разуется максимальное поперечное сечение. Здесь при дозвуковом течении реализуются минимальная скорость и максимальное давление. Такое явление возникает во многих газодинамических устройствах. А при сверхзвуковом течении реализуется максимальная скорость, что необходимо при создании сверхзвуковых аэродинамических труб с закрытой рабочей частью.

Во втором случае ( F = Fmin ) канал имеет локальное сужение.

В минимальном сечении происходит переход потока через скорость звука (при наличии необходимого перепада давления). Такое течение реализуется в соплах ракетных двигателей.

Получим теперь соотношения, позволяющие рассчитать изменение параметров газа по длине канала. Для этого целесообразно использовать зависимости параметров газа от числа Маха, а затем связать его с площадью поперечного сечения канала.

176

Соотношения, определяющие безразмерные параметры газового потока через число Маха, были получены выше (см. (3.32) – (3.36)).

Установим теперь связь числа Mаха с площадью поперечного сечения канала. Уравнение (2.8) запишем в виде ρvF = ρ1v1F1 , где параметры без индексов и с индексом "1" со-

ответствуют двум различным сечениям канала. Из этого равенства с использованием (3.32) и (3.35), находим искомую зависимость

γ −1

γ+1

+

2

2(γ−1)

F

1

M

2

=

M1

.

(3.43)

F1

M

γ −1

γ+1

+

2

2(γ−1)

1

M1

2

Обозначим Fкр такое значение F1 , при котором

M =1, то-

гда соотношение (3.43) перепишется так

γ −1

γ+1

+

2

2(

γ−1 )

F

1

1

M

1

2

=

=

,

(3.44)

Fкр

M

γ +1

γ−1

q (M)

2(

γ−1 )

2

откуда найдем

F

= q(M1)

.

(3.45)

F

q(M)

1

Последняя зависимость позволяет по значению площади поперечного сечения канала определить в нем число Mаха. График зависимости (3.44) представлен на рис. 3.3.

Таким образом, для данного газа при сделанных предположениях параметры течения полностью определяются геометрией канала. При этом сотношения (3.32) – (3.36) и (3.44) позволяют быстро производить необходимые расчеты.

177