1		7
		4	6
		8	3
	x		5
		1
p0	p00	2
pн
	p00
	0			t
		критический	докритический
		режим	режим

Рис. 3.13. Изменение газодинамических параметров в процессе опорожнения сосуда: 1 − p0 p00 ; 2 – QQ0 ; 3 − ρ0 ρ00 ; 4 − T0 T00 ; 5 − va /va0 ;

6 − a0 a00 ; 7 − Ma ; 8 − pa p00

4.ВОЛНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ТЕЧЕНИИ

4.1.О качественном различии дозвуковых и сверхзвуковых течений. Течение разрежения. Ударные волны

Для иллюстрации качественного различия дозвуковых и сверхзвуковых течений и пояснения физической природы возникновения течения разрежения либо ударных волн (скачков уплотнения) на рис. 4.1 приведен ряд характерных примеров. В отечественной литературе наряду с термином «ударная волна» используется термин «скачок уплотнения». Скачками уплотнения называют стационарные ударные волны в стационарных течениях. С физической точки зрения стационарные и нестационарные ударные волны имеют одинаковую природу, поэтому выделение первых в особый класс является, в определенной мере, данью традиции. В дальнейшем изложении используются оба термина.

193

v = 0	3a
	σ

	a	2a		M1 >1
	a	2a		σ
	v < a			M1 >1
		3a
	v	2v
	3v	sinα =	1	M 2′′ >1
	v > a a		M
		2a α
	v			M1 >1

2v

M 2′ <1

a

σ

M1 >1

pa

a

M1 >1

vп

β

β

pн > pa

N

Рис. 4.1. Качественные особенности сверхзвуковых течений газа

194

В примерах на рис. 4.1 показано, что при обтекании сверхзвуковым потоком тел или твердых поверхностей возникают скачки уплотнения, либо течения разрежения.

При удалении от тела конечного размера скачок уплотнения ослабевает и вырождается в поверхность слабого разрыва параметров – звуковой фронт. След от пересечения такого звукового фронта с плоскостью течения или с меридианальной плоскостью называют также линией Маха. Линия Маха, наклонена к скорости набегающего потока под углом α = arcsin 1M , который называ-

ется углом Маха. Скачок уплотнения (как и любая ударная волна) представляет собой поверхность разрыва параметров газа в поле течения. Такие поверхности могут возникать в результате наложения волн сжатия.

Оценим толщину ударной волны (рис. 4.2). Полагая, что в области ударного перехода силы вязкости и силы давления

имеют одинаковый порядок,					т.е. τxx ≈		p ,	где р = р2 − р1 ;
						∂vx	;		v1 −v2		,
p2 − p1 = ρ1v1(v1 −v2 ),					τxx ≈ μ				τ ≈ μ1
						∂x				δ
			v1					p	2
								v2
				p1
					δ
			Рис. 4.2. К оценке толщины ударной волны
получим	δ ≈	μ1		. Рассмотрим стационарную ударную волну,
		ρ υ
	1		1

возникающую в потоке с числом Маха M1 = 2 , в котором плотность и температура соответствуют нормальным атмосферным условиям. В этом случае v1 = 680 м/с , μ1 / ρ1 =1,45 10−5 м2 / с и для толщины ударной волны получим такую оценку:

δ ≈ 2 10−8 м . Как видно, толщина ударной волны составляет лишь несколько длин свободного пробега молекул. Поэтому, если характерный линейный размер течения составляет несколько

195

метров, что характерно для задач авиационной и ракетной техники, то ударную волну можно рассматривать как поверхность разрыва. Более того, если рассмотреть элементарную площадку на этой поверхности, то можно во многих задачах пренебречь ее кривизной, а течение в малой окрестности по обе стороны скачка уплотнения считать плоским. При этом соотношения, связывающие параметры потока до и после скачка уплотнения, можно получить из уравнений основных физических законов, записанных для идеального (и соответственно нетеплопроводного) газа. Ясно также, что действующие на газ массовые силы тяжести в сверхзвуковых течениях не играют роли. Скачок, перпендикулярный направлению потока, называется прямым, в противном случае – косым.

4.2. Течение Прандтля - Майера

Рассмотрим сначала случай бесконечно малого поворота потока на угол dβ и перехода через обусловленную этим возмущением линию Маха. Из рис. 4.3 с точностью до бесконечно малых первого порядка следует:

tg(dβ )≈ dβ ≈	BC	=	dv j ctgα	≈ ctgα	dv j	.	(4.1)
	AB
		v j +dv j			v j

	π2	dv j
α		v j
А			В
		α
dβ			С

Рис. 4.3. Расширение сверхзвукового потока газа

Отсюда получаем дифференциальное уравнение, устанавливающее связь изменения угла поворота потока и его скорости при сверхзвуковом течении:

dβ = ctgα dv	,	(4.2)
v
196

где ctgα = M2 −1 . Более строгий вывод последнего соотношения приводится ниже при изложении метода характеристик.

Здесь, как и ранее, M = av – число Маха. Так как мы рассматри-

ваем установившееся течение идеального (и соответственно нетеплопроводного) газа, то имеем интеграл Бернулли

v 2

+

a 2

= H = const . Комбинируя приведенные выше соотно-

2

γ −

1

шения, получим

dβ =d ω(M) , ω(M ) =

γ +1

arctg

γ −1

(

M2 −1

−arctg M2 −1 . (4.3)

γ +1

γ −1

)

Функция ω(M) называется функцией Прандтля – Майера. Вывод выражения для нее будет дан ниже (см. формулу (4.89)).

Интегрируя (4.2), получаем
β = ω(M )+const .	(4.4)

Рассмотрим теперь задачу обтекания сверхзвуковым потоком тупого выпуклого угла (рис. 4.4). Используя граничное условие

M = M1 при β = 0 , получаем
		β = ω(M)− ω(M1 ).		(4.5)
		y	С
M1	>1			i
		α1		ϕi
		0		x
		α2	β2	D
			В	M 2

Рис. 4.4. Обтекание сверхзвуковым потоком тупого выпуклого угла

197

Полагая β = β2 и M = M 2 , находим значение функции Прандтля – Майера в области 2 после поворота потока на угол β2 :

ω( M 2 ) = ω( M1 ) + β2 .	(4.6)
Отсюда определяется значение числа Маха	в этой области.

Далее, используя изэнтропические формулы (3.32) – (3.36), вы-

числяем все параметры потока: p2 , ρ2,		T2 , a2 , v 2 .
Для определения параметров потока в области поворота (в
пределах угла COD) можно поступить так. Согласно рис. 4.5,
ϕi = Θi + αi ;	θi = −βi .		(4.7)
Тогда из (4.5) −Θi =ω(Mi )−ω(M1),		−ϕi +αi =ω(Mi )−ω(M1),

где αi = arcsin (1/ Mi ) . Отсюда получим соотношение для Mi на луче φi :

	ϕ − arcsin	1		+ ω(M		) = ω(M	1	) .	(4.8)
	i	Mi			i
	y
						αi			vi
						θ
			ϕi
									x
Рис. 4.5. Связь углов ϕi , θi					и αi в области поворота потока

Далее, используя изэнтропические формулы, легко находим все остальные параметры течения в этой области.

Представляет интерес предельный случай, при котором достигается максимальный угол поворота потока (рис. 4.6). Из соот-

ношения (4.5)	следует,		что β2			→βmax ,			если одновременно
M2 → ∞ и M1	→1 , т.е.			βmax = ω(∞) −ω(1) . Подставляя сюда
выражение для ω(M), получаем
	β			γ +1			π	.	(4.9)
		max	=		−1
				γ −1			2

198