вычисляются обычно при нулевых значениях определяющих параметров. Ясно, что удержание в рядах Тейлора только нескольких первых членов ограничивает анализ лишь малыми значениями углов атаки, тангажа и т.п. Обобщая вышесказанное, можно отметить, что вся процедура аэродинамического расчета летательных аппаратов «пронизана» понятием аэродинамических производных, характеризующих степень влияния различных факторов на аэродинамические характеристики.

В заключение подчеркнем, что анализ размерностей и критерии подобия являются фундаментальной основой не только для теоретического анализа явлений в механике жидкостей и газов, но и для представления результатов экспериментальных исследований, которые без такого анализа могут оказаться бесполезными при аэродинамических расчетах.

1.2. Некоторые сведения из кинематики жидкости

Методы описания течения жидкости. Изучать движение жидкости можно с двух точек зрения или, условно, двумя методами: методом Лагранжа и методом Эйлера. Метод Лагранжа состоит в том, что рассматривается большая совокупность – облако

– жидких частиц и исследуется движение этого облака относительно системы отсчета, связанной с наблюдателем (относительно так называемой лабораторной системы отсчета). Координатами в методе Лагранжа являются параметры, идентифицирующие элементарные жидкие частицы в облаке. Например, в качестве таких параметров часто используются декартовы координаты этих частиц в некоторый начальный момент времени. В методе Эйлера также вводится система отсчета, связанная с наблюдателем, однако параметры потока рассматриваются как скалярные или векторные поля (в общем случае эти поля нестационарные), которые и являются предметом изучения. Метод Лагранжа, как видно, близок методу, используемому в теоретической механике, однако в аэрогазодинамике более широкое распространение получил метод Эйлера, который и принят в дальнейшем изложении. В методе Эйлера координатами являются три пространственные координаты и время. В декартовой системе координат это x ,y,z ,t .

114

Траектория и линия тока. Траектория жидкой частицы представляет собой геометрическое место точек, которые частица последовательно занимает в процессе своего перемещения. Другими словами, это след частицы в пространстве.

Линия тока (рис. 1.1) – это такая линия в поле течения жидкости, касательная к которой в каждой точке параллельна вектору

vскорости. Если обозначить элемент этой линии вектором dr , а

	d r		вектор					скорости – через v , то
	Рис. 1.1. Линия тока		dr				v ,	где v =vx i +vy j +vzk ,
			dr = dxi + dyj + dzk . Отсюда
	dx =	dy	= dz .					(1.16)
		vy
	v x		v z

Последнее соотношение называют уравнением линии тока. Изучение течения жидкости неразрывно связано с этим понятием. В установившемся (стационарном) течении траектории и линии тока совпадают.

Полная производная по времени от некоторой физической величины. Пусть A = A(x, y, z, t) – некоторая гидродинамическая

величина (например, плотность, скорость и т.п.), зависящая от координат рассматриваемой точки в пространстве и времени. Возьмем какую-нибудь движущуюся в потоке элементарную жидкую частицу. Ее положение в каждый момент времени характеризуется координатами x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) . Тогда для

нее можно записать A = A(x(t), y(t), z(t), t) . Формально это

есть функция только аргумента t . Дифференцируя ее по t , найдем dA / dt . Эта производная представляет собой скорость изменения величины A в рассматриваемой жидкой частице при ее движении в потоке. С другой стороны, ту же производную можно вычислить исходя из того, что A формально представляет собой функцию нескольких переменных: x , y , z и t , но x , y и z

сами зависят от t . В результате получим

115

dAdt = ∂∂Ax dxdt + ∂∂Ay dydt + ∂∂Az dzdt + ∂∂At .

Поскольку изменение координат и скорость элементарной жидкой частицы связаны кинематическими соотношениями

dxdt =vx ; dydt =vy ; dzdt =vz ,

то последнее соотношение можно переписать так:

dA	=	∂A	+vx	∂A	+vy	∂A	+vz	∂A .	(1.17)
dt		∂t		∂x		∂y		∂z

Формула (1.17) позволяет вычислить скорость изменения гидродинамической величины A в движущейся жидкой частице, если известны поле параметра A = A(x, y, z, t) и компоненты ско-

рости частицы vx , vy и vz . Первое слагаемое в правой части

(1.17), представляющее собой частную производную от A по времени, характеризует скорость изменения A в данной точке (x, y, z) . Ее называют локальной или местной производной. Ос-

тальные три слагаемых обусловлены переносом величины А вследствие движения жидкости, и их называют конвективными членами.

Производная по времени от вектора скорости жидкой частицы в форме Громеки – Лэмба. Это полезное соотношение записывается в виде формулы

dv	=	∂v	+	v2	→	(1.18)
dt		∂t		2	+ Ω×v .

Здесь – символ Набла ( i , j , k – орты декартовой системы координат):

		∂	→		∂	→		∂	→
	=		i	+		j	+		k ,	(1.19)
		∂x			∂y			∂z

квадрат скорости v 2 =vx2 +vy2 +vz2 , ротор скорости (вихрь)

116

	→		→		→
	i		j		k
→	∂		∂		∂
Ω = rotv = ×v =							=
	∂x		∂y		∂z
	vx	vy		vz

		∂v	z		∂vy		→
	=			−			i	+
		∂y			∂z

∂v

x

∂v

z

→

∂vy

∂v

x

→

−

j

+

−

k . (1.20)

∂z

∂x

∂x

∂y

Последнее слагаемое в (1.18) можно записать так:

			→	→
→		=	i	j
Ω×v			Ωx	Ωy
			v	v
			x	y

→
k		=(Ω v		→		→		→
Ω			−Ω v		−Ω v		−Ω v
				)i +(Ω v		) j +(Ω v		)k.
z		y z	z y	z x	x z	x y	y x
vz

В справедливости (1.18) легко убедиться, если указанные выражения подставить в его правую часть и преобразовать. В результате получим в точности левую часть (1.18).

Полезно подчеркнуть физический смысл слагаемых, составляющих правую часть (1.18). Первое слагаемое описывает изменение скорости во времени в той точке, в которой находится данная жидкая частица, второе соответствует поступательному движению частицы, третье характеризует ее вращательное движение.

Физический смысл вектора вихря Ω. Рассмотрим враща-

тельное движение жидкой час-

yтицы конечного размера вокруг неподвижной точки О (рис. 1.2),

ωпредполагая, что она вращается

	r	как абсолютно твердое тело. Ли-
	x	нейная скорость движения лю-
		бой точки	М во вращательном
	z
		движении	относительно точки
	Рис. 1.2. Вращение жидкой частицы	О запишется в виде v = ω×r ,
		где	ω = ωxi + ωy j + ωzk ,

r = xi + yj + zk . Отсюда можно получить соотношения для компонент вектора скорости точки М в виде

117

vx = ωy z − ωz y , vy = ωz x − ωx z , vz = ωx y − ωy x .

Так как рассматриваемая частица движется как твердое тело, то угловая скорость вращения всех ее точек одинакова. Тогда, дифференцируя второе соотношение по z , третье – по y , полу-

чим ∂∂vzy = −ωx и ∂∂vyz = ωx . Отсюда найдем

1

∂v

z

∂vy

1

ω

x

=

−

=

Ω

x

.

2

∂y

2

∂z

Совершенно

аналогично

можно

получить равенства

ωy

=

1

Ωy и ωz

=

1

Ωz . Следовательно,

2

2

Ω = 2ω,

(1.21)

т.е. вектор вихря равен удвоенному значению угловой скорости вращения «затвердевшей» жидкой частицы.

Возвращаясь к формуле Громеки – Лэмба (1.18), отметим, что последнее слагаемое в ней описывает изменение скорости элементарной жидкой частицы вследствие ее вращательного движения. В реальных условиях течения жидкая частица не является твердой, она деформируется. Поэтому возникает необходимость описать ее деформационное движение.

О деформации жидкой частицы. Рассмотрим в пространст-

ве, связанном с системой координат x , y , z , течение жидкости. Возьмем в потоке некоторую малую частицу жидкости с объемом

Vв момент времени t . Выберем в этом объеме некоторую точку

Ои примем ее за полюс (рис. 1.3,а). Обозначим ее радиус-вектор

через r , его проекции – x, y, z . Выберем в этом же объеме дру-

гую точку	М .	Относительный радиус-вектор ОМ	обозначим
через ρ ,	его	проекции – соответственно ξ,η,ζ .	Тогда, если
vo =v(x,y,z ,t)		– скорость точки О , то для того же момента
времени t	скорость точки М запишется так:

vм =v(x + ξ,y + η,z + ζ,t).

118

				б				vx +	∂vx	ξ
	а y				y	v	x
									∂x
		M
					η				vдx
	O ρ								x
	r
			x
	z					ξ
		в	y		vдx
			η			vдy
					ξ	x

Рис. 1.3. Деформация жидкой частицы: а ─ малая частица в поле течения; б ─ деформация растяжения (сжатия); в ─ деформация скашивания прямого угла

Разложим теперь функцию vм в окрестности точки x, y, z в ряд Тейлора и удержим малые слагаемые только первого порядка:

→

∂v

∂v

∂v

vм =v0 +

ξ +

η+

ζ +… .

(1.22)

∂x

∂y

∂z

В частности, в проекции на ось x

vмx =v0x

+

∂vx

ξ +

∂vx

η +

∂vx

ζ +… .

(1.23)

∂x

∂y

∂z

Сдругой стороны, естественно представить скорость точки

Мкак результат сложения скорости vо в поступательном дви-

жении совместно с точкой О , скорости vвр = (ω×ρ) в «квази-

твердом» вращательном движении частицы относительно точки О и, наконец, скорости vд из-за деформационного движения

частицы:

119

vм =vо +vвр +vд .

(1.24)

В проекции на ось x это выражение запишется так:

vмх =v0x +vврx +v дx =v0x + ωy ζ − ωz η +vдx =

1

∂v

x

∂v

z

1

∂vy

∂v

x

=v

0x

+

−

ζ −

−

η +v

дx

.

(1.25)

2

∂z

∂x

2

∂x

∂y

Поскольку (1.23) и (1.25) представляют собой одну и ту же величину, то, проводя их сравнение и выделяя в (1.23) поступательную и вращательную составляющие скорости согласно

(1.25), найдем

∂v

x

1

∂v

x

∂vy

1

∂v

x

∂v

z

v

д.х

=

ξ +

+

η +

+

ς.

∂x

2

∂y

∂x

2 ∂z

∂x

Видно,

что выражение

для

vдx имеет структуру

vдx = εxx ξ+εxy η+ εxzς.

Аналогичные

выражения

можно

полу-

чить для vдy

и vдz , рассматривая составляющие скорости точки

М в проекции на оси

y

и

z . Соотношения для

εij

будут

иметь вид

∂v

x

1

∂v

x

∂vy

1

∂v

x

∂v

εxx =

,

εxy =

+

,

εxz =

+

z ,

2

∂y

2

∂x

∂x

∂z

∂x

ε = 1			∂vy		+		∂vx				,
yx	2		∂x				∂y
ε =	1		∂v	z +		∂v		x			,
zx	2		∂x				∂z

εyy = ∂∂vy , y

εzy = 1 ∂∂vz +

2 y

Совокупность девяти величин тензор скоростей деформаций:

ε

=

1

∂vy

+

∂v

z

,

(1.26)

yz

∂z

∂x

2

∂vy

,

ε = ∂vz .

∂z

zz

∂z

εij

образует так называемый

	εxx εxy εxz
ε =	εyx εyy εyz	=	εij	.	(1.27)
	εzx εzy εzz

120

Легко видеть, что составляющие тензора со смешанными индексами, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Поясним физический смысл компонентов (1.27).

Пусть εxx ≠ 0 , а все остальные εij = 0 , тогда	vдх = εxx ξ и
εxx = υдx /ξ . Отсюда следует, что величина εxx	характеризует

скорость растяжения (сжатия) частицы вдоль оси x , приходящуюся на единицу длины (рис. 1.3,б). Аналогичный смысл имеют εyy и εzz . Следовательно, диагональные элементы тензора ско-

ростей деформации (с одинаковыми индексами) характеризуют относительные скорости равномерного растяжения (сжатия) элементарного объема вдоль координатных осей.

Рассмотрим теперь компоненты со смешанными индексами.

Пусть εxy = εyx ≠ 0 , а остальные εij = 0 , тогда	υдx = εxy η;
υдy = εxy ξ . Отсюда видно, что точки оси η (ξ = 0)	испытывают

сдвиг в направлении оси ξ, пропорциональный расстоянию η, а точки оси ξ – сдвиг в направлении оси η. Таким образом, имеет место скашивание прямого угла (в данном случае между осями ξ

и η ─ см. рис. 1.3,б). Составляющие εxy = εyx = υдx /η = υдy /ξ

имеют смысл скорости скашивания прямого угла. Аналогичный смысл имеют и другие недиагональные компоненты тензора.

В общем случае деформацию элементарного объема можно представить как сочетание деформаций растяжения (сжатия) и деформаций скашивания углов.

Ниже будет показано, что со скоростью деформации жидкой частицы неразрывно связано проявление одного из важнейших свойств жидкости, а именно, ее вязкости.

Вихревые и потенциальные течения жидкости. Если вектор вихря отличен от нуля, т.е. Ω ≠ 0 , то течение жидкости называется вихревым, в противном случае (всюду Ω = 0 ) – безвихревым.

Положим Ω = 0 , т.е. Ωx = Ωy = Ωz = 0 , тогда из (1.20) получим

121

∂v

z

=

∂vy

;

∂v

x

=

∂v

z

;

∂v

x

=

∂vy

.

(1.28)

∂y

∂z

∂z

∂x

∂y

∂x

Последние соотношения называются условиями Коши – Римана. Из этих условий вытекает, что существует такая функция

ϕ = ϕ(x, y, z, t) ,

(1.29)

называемая потенциалом скорости, производные от которой по координатам x, y, z равны проекциям вектора скорости на соот-

ветствующие направления, т.е.

	∂ϕ	=vx ;	∂ϕ	=vy ;	∂ϕ	=vz .	(1.30)
	∂x		∂y		∂z

Последнее означает, что v = ϕ . Течение, в котором поле

скорости имеет потенциал, называется потенциальным. Как только что было показано, безвихревое B течение является потенциальным.

Верно и обратное, что следует из равенства rot ( ϕ) ≡ 0 .

Можно показать, что производ-	ds	v
ная от потенциала скорости, взятая
по любому направлению, например,	A
вдоль контура AB на рис. 1.4, рав-	Рис. 1.4. Циркуляция
на проекции скорости на это на-	скорости

правление. Действительно,

	∂ϕ =	∂ϕ dx		+	∂ϕ dy			+	∂ϕ dz	=vx cos(x,s)+vycos(y,s)+vz cos(z,s)=
		∂x ds			∂y ds				∂z ds
	∂s
								=v s 0 =vs .			(1.31)

Используя (1.31), можно вычислить компоненты вектора скорости в криволинейных системах координат. Например, в полярной системе координат (r , θ) для vr и vθ получаются сле-

дующие соотношения:

vr = ∂∂ϕr ; vθ =vs = ∂∂sϕ = ∂∂ϕθ dsdθ = r1 ∂∂ϕθ .

В последнем выражении множитель 1/ r обусловлен измене-

нием направления единичного вектора θ0 с изменением угла θ при r = const .

122