Например, для воздуха (γ = 1,4) максимальный угол поворота потока равен: βmax ≈ 130°. При β = βmax все параметры потока стремятся к своим предельным значениям:

	ρ2 → 0, p2	→ 0, T2 → 0, a2 → 0, v2	→vmax =	2γ	p0	.
				γ −1	ρ0

y

M1 =1

	A	0
		x
	p2 = 0	βmax
		βm
	v	maxmax
	B

D

Рис. 4.6. Предельный угол поворота потока βmax

4.3. Основы теории ударных волн

Исходные соотношения теории ударных волн. В разд. 2

было показано, что, применяя уравнения законов сохранения массы, изменения количества движения и сохранения энергии к жидкости, заключенной в элементарном цилиндре с основаниями 1–1 и 2–2 (см. рис. 2.2), параллельными скачку уплотнения, можно получить простые соотношения, связывающие параметры газа по обе стороны скачка:

ρ1v1n = ρ2v2n ,					(4.10)
ρ v 2	−ρ v 2	= p − p	2	,	(4.11)
2 2n	1 1n	1
v1τ =v2τ		=vτ ,			(4.12)
	H1 = H 2 ,				(4.13)
		199

Напомним, что индексами n и τ отмечены нормальная и касательная к поверхности скачка компоненты вектора скорости газа. Выражение для полного теплосодержания H согласно соотношениям, приведенным в разделе 3, можно представить в различном виде:

H = u +

p

+

v 2

= c pT0

=

γ p0

=

v 2

+

a 2

=

v 2

+

γ

p

=

ρ

2

γ −1

ρ0

2

γ −1

2

γ −1 ρ

γ +1

γ

1

γ−1

=

aкр2 =

ϑγ p0 γ .

2(γ −1)

γ −1

Используя эти формулы, получим некоторые полезные формы уравнения энергии:

T01 = T02 ,

(4.14)

p01

=

p02

,

(4.15)

ρ01

ρ02

v 2

γ

p v 2

γ

p

2

γ +1

2

1

1

2

+

=

+

=

aкр ,

(4.16)

2

γ −1 ρ

2

γ −1

ρ

2

2(γ −1)

1

1

γ−1

1

γ−1

ϑγ

p

γ

= ϑ

γ

p

γ .

(4.17)

1

01

2

02

Если

принять

во

внимание,

что

v12

=v12n +vτ2 , v22 =v22n +vτ2 ,

то (4.16) можно переписать в виде

v2

γ

p

v2

γ

p

2

γ+1

v2

γ+1

1n

+

1

=

2n

+

=

a2

−

τ

=

b2

. (4.18)

γ−1 ρ

2

γ−1 ρ

2(γ−1)

2

2(γ−1)

2

2

кр

кр

1

К полученным трем уравнениям следует добавить уравнение Клапейрона:

	p1	= ρ1RT1	,	(4.19)
	p2 = ρ2RT2 .

Таким образом, мы имеем теперь основные соотношения, которые связывают параметры потока по обе стороны скачка уплотнения, в том числе скорость, давление, плотность и температуру.

200

Если скачок уплотнения прямой, то σ = π / 2 , β = 0 , vτ = 0 , vn =v . Для случая косого скачка будет установлена связь между

σ, β и M1 .

Ударная адиабата. Исключая из уравнений (4.10), (4.11) и (4.18) значения v1n и v2n , можно получить связь между отношениями давления и плотности на скачке:

1

1

2γ

p

2

p

1

(p

2

− p

1

)

+

=

−

,

(4.20)

ρ1

ρ2

γ −1

ρ2

ρ1

p2

γ +1 ρ2

−1

откуда

=

γ −1 ρ1

(4.21)

p1

γ +1

−

ρ2

p2

γ −1

ρ1

γ +1

+1

p2 − p1

p2 + p1

либо

ρ2

=

γ −1 p1

,

или

= γ

.

ρ1

γ +1

+

p2

ρ2 −ρ1

ρ2 +ρ1

γ −1

p1

Последние три формулы представляют собой различные формы записи ударной адиабаты (или, как ее еще называют, адиабаты Рэнкина – Гюгонио). Полезно сравнить ударную адиа-

	p	2		ρ	2		γ
бату (4.21) и полученную ранее адиабату Пуассона			=			.
	p1			ρ1

Сравнение графиков обеих адиабат приведено на рис. 4.7.

p2
p1	Гюгонио
	Пуассон

	1						ρ2
	0	γ −1		1	γ + 1		ρ1
					γ − 1
		γ +1

Рис. 4.7. Ударная адиабата

201

Соотношение Прандтля. Введем дополнительные вспомогательные обозначения, удобные для дальнейшего использования:

Mn	= vn ,	M*n	=	vn	,	(4.22)
	a		bкр
где bкр определено уравнением (4.18). Величину Mn						до и после

скачка можно выразить через обычное число Маха и углы наклона скачка σ и отклонения потока на скачке β по формулам (см.

рис. 2.2,б): M1n = M1sinσ; M2n = M2 sin(σ −β) .

Установим связь между Mn

и

Mn .

Запишем

уравнение

энергии в виде

vn2

+

a 2

=

γ +1

b 2 .

2

γ −1

2(γ −1)

кр

Поделив его на vn2 и затем выражая Mn

через Mn , найдем

γ +1

(γ +1)M 2

M*n2 =

2(γ −1)

=

n

.

(4.23)

1

1 1

2

+ (γ −1)Mn2

2

− γ −1 Mn2

Получим теперь соотношение, устанавливающее связь между скоростями газового потока до и после скачка уплотнения. Исключая из (4.10), (4.11), (4.12) и (4.18) давление и плотность, получим

γ +1 bкр2

2γ

p

γ +1 bкр2

2γ

p

2

v1n =

−

1

, v2n

=

−

,

γ −1

v

γ −1

ρ v

γ −1

v

2n

γ −1

ρ v

1n

1 1n

2

2n

v1n −v2n =

γ +1

bкр2

v2n −v1n

−

2γ

(v2n −v1n ),

γ −

γ −1

v1nv2n

1

−

1 =

γ +1

bкр2

−

2γ

,

γ −1 v1nv2n

γ −

1

отсюда

v1nv2n =bкр2 .

(4.24)

Это соотношение, переписанное для приведенных скоростей, принимает в случае vτ = 0 следующий вид:

202

M*1 M*2 =1.

(4.25)

Последнее известно как соотношение Прандтля для прямого скачка уплотнения.

Из (4.25) следует, что при переходе через прямой скачок уплотнения сверхзвуковой поток становится дозвуковым, и наоборот. Как будет показано ниже, из этих двух вариантов возможен только первый.

Для косого скачка уплотнения из (4.24) вовсе не следует, что поток за ним должен быть дозвуковым. Более того, легко показать, что он может оставаться сверхзвуковым. Действительно,

если число	M1 велико	(M1>>1) и при этом угол σ мал, то
v1n <<vτ и	v2n <<vτ .	Тогда v1 vτ и v2 vτ , т.е. скорость

газа на косом скачке изменяется незначительно, а значит, и остальные параметры газового потока меняются слабо, поэтому v2

останется сверхзвуковой. В дальнейшем будет показано, что при обтекании заостренных тел с приоединенным скачком уплотнения скорость газа v2 за косым скачком является, как правило,

сверхзвуковой.

Формулы для расчета изменения параметров газа на скачке уплотнения. При практических расчетах часто оказывается удобным связать изменение параметров газа на скачке уплотнения с числом Маха набегающего потока. Получим ряд таких соотношений.

Изменение скорости газового потока на скачке, используя

(4.24), (4.22) и (4.23), можно получить в виде

v2n

v2nv1n

bкр2

1

2 + (γ −1)M12n

=

=

=

=

.

(4.26)

v1n

v12n

M1n2

(γ +1)M12n

v12n

Изменение плотности на скачке, используя уравнение неразрывности (4.16) и (4.26), запишем в виде

ρ	2			v	1n		(γ +1)M 2
		=				=	1n	.	(4.27)
ρ1
			v2n				2 + (γ −1)M12n
							203

Эта зависимость приведена на рис. 4.8. Отметим, что в пре-

	деле при M1n → ∞ получим	ρ2	→	γ +1		, т.е. при бесконечном
				γ −1
		ρ1

возрастания скорости потока плотность газа за скачком может

	увеличиться лишь в несколько раз. Для γ = 1,4					γ +1		= 6 .
						γ −1
		ρ2
				γ + 1γ −1		γ +1 γ −1
		ρ1

1

1	M1n

Рис. 4.8. Изменение плотности на скачке уплотнения

Найдем изменение давления на скачке уплотнения. Будем исходить из уравнения количества движения (4.17) с учетом уравнения неразрывности (4.16) и соотношения (4.26). Тогда

p2

=1 +

2γ

(M12n −1)=

2γ

M12n

−

γ −1

.

(4.28)

p1

γ +1

γ +

1

γ +1

Эта зависимость

пред-

p2

ставлена на рис. 4.9. В отли-

чие от плотности, давление за

p1

скачком с увеличением скоро-

сти потока

неограниченно

возрастает.

1

Изменение

температуры

0

M 1n

на скачке получаем, исполь-

1

зуя два предыдущих соотно-

шения:

Рис. 4.9. Изменение давления

на скачке уплотнения

204

T2

p2 ρ1

2γ

2

γ −1

2 + (γ −1)M12n

=

=

M

1n

−

. (4.29)

T1

p1 ρ2

γ +1

γ +1

(γ +1)M12n

Отсюда видно, что температура газа за скачком по мере роста скорости потока также неограниченно возрастает.

Найдем значение числа Маха за скачком уплотнения. Исходя,

например, из (4.24) и (4.23), получаем

1

+

γ −1

M12n

2

=

2

.

(4.30)

M 2n

2

γ −

1

γM1n −

2

Рассмотрим теперь изменение энтропии на скачке. Применив

формулы (4.27) и (4.28), получим

p

/ ργ

2γ

γ−1

2

+(γ−1)M2

γ

s =s

−s

=c ln

2

2

=c

ln

M2

−

1n

. (4.31)

p

/ ργ

(γ+1)M2

2

1

V

V

γ+1 1n

γ+1

1

1

1n

График этой зависимости приведен на рис. 4.10.

	S > 0
	S > 0
M 1n < 1	M 1n > 1
	S < 0

S < 0

Рис. 4.10. Изменение энтропии на скачке уплотнения

Согласно второму началу термодинамики энтропия в изолированной системе убывать не может. Это позволяет утверждать, что из двух описанных вариантов скачка физически возможен только скачок, сопровождающийся ростом энтропии. Из (4.31) следует, что это должен быть скачок уплотнения, на котором давление, температура и плотность возрастают, а скорость газа и число Маха убывают. Скачков разрежения не бывает, так как в

205

этом случае изменение параметров газа ведет к убыванию энтропии. Данное утверждение известно как теорема Цемплена.

Получим изменение давления торможения на скачке уплотнения. Из (4.17) следует, что это давление изменяется, поскольку изменяется энтропия:

p

ϑ

−

1

p

−

1

ρ

−

γ

02

2

γ−1

2

γ−1

1

γ−1

=

=

=

p

ϑ

p

ρ

01

2

1

1

−

1

(γ −1)M2

−

γ

2 +

2γ

γ −1

γ−1

γ−1

=

M

2

−

1n

.

(4.32)

γ +

1

1n

γ +1

(γ +1)M1n

Используя выражение для энтропии, последнее соотношение можно записать в виде

	p02	= e −	S
			R	.	(4.33)
	p01

Весьма показательным является график на рис. 4.11, характеризующий изменение давления торможения на скачке уплотнения в функции числа Маха потока перед скачком (для примера взято γ = 1,4). Из графика следует, что увеличение числа Маха (т.е. скорости потока, если прочие параметры фиксированы) приводит к увеличению потерь давления торможения на скачке.

	p02
1	p01
			0,72
					γ =1,4
			0,33
0					0,14	M1n
1		2	3	4		5

Рис. 4.11. Изменение давления торможения на скачке уплотнения

Часто оказывается полезной формула, устанавливающая связь давления торможения за прямым скачком со статическим давлением набегающего потока (формула Рэлея):

206

γ −1

(γ +1)2

γ

M 2

p

02

p

02

p

01

γ−1

.

(4.34)

1

p1

=

p01

p1

= γ +1

2(γ −1)

1

2γ

1

γ−1

γ −1

−

2

M1

При γ = 1,4 эта формула примет вид
	p	02			166.7M 2
			=					1	.
	p1						1	2.5
					7	−
							2
							M1

Вид зависимости (4.34) представлен на рис. 4.12.

p02

p1

	γ + 1		γ
			γ−1
	2
			0	1	M 1

Рис. 4.12. Cвязь p02 , p1 ,M1 на скачке уплотнения (согласно формуле Рэлея)

Связь между углом поворота сверхзвукового потока и положением фронта косого скачка. Установим связь угла наклона скачка σ с углом поворота потока β и числом Маха M1 набе-

гающего потока для косого скачка уплотнения. Используя очевидную геометрическую связь

tgσ =

v1n

и tg(σ − β )=

v2n

,

v1τ

v2τ

получаем

tg(σ −β)

=

v2n

=

2 + (γ −1)M12sin 2σ

.

(4.35)

tgσ

v1n

(γ +1)M12sin 2

σ

207

		sin 2σ −			1
Отсюда tgβ = ctgσ						M12				.	(4.36)
	γ +1						1
				− sin 2	σ −
							2
2
							M1

Рассмотрение графика полученной зависимости (рис. 4.13) позволяет отметить качественные и количественные особенности возникновения ударных волн, подчеркнуть различие косого и прямого скачков уплотнения и указать области их существования. В частности, на основании этого графика либо формулы (4.36) можно отметить следующее.

1. Каждому значению числа Маха M1 набегающего по-

тока соответствует определенная зависимость между значениями углов β и σ.

2. Каждому значению угла поворота потока β соответст-

вуют два значения угла наклона скачка уплотнения (точки b и e ).

3. Для каждого значения числа Маха набегающего потока M1 можно указать мак-

симальное значение угла поворота потока β. Например, в

Рис. 4.13. Зависимость угла наклона скачка уплотнения от угла поворота

потока при различных значениях M1

случае воздушного потока ( γ =1,4 ) получаем следующее: при

M1=1,5 βmax =12° ; при M1=2,0 βmax = 23°; при M1=3,0

βmax = 34° ; при M1=∞ βmax = 46° . Косого скачка уплотнения, обеспечивающего угол поворота потока больший указанного значения βmax , не существует.

208

4. Если обтекаемое тело имеет в головной части угол полураствора клина больший значения βmax , то возникает отсоединенный скачок уплотнения (рис. 4.14).

	f	σ=α
	β = 0 v =v1
	e
	β
	d
	βmax
	c
M1 >1	bβ
	β > β max
a	v

M 2 <1

M 2 >1

Рис. 4.14. Отсоединенный скачок уплотнения перед заостренным телом

5. В случае обтекания клина с присоединенным скачком уплотнения поток за ним остается практически всегда сверхзвуковым.

4.4.Некоторые примеры применения теории ударных волн

итечений разрежения

Скорость распространения ударной волны. Пусть ударная волна перемещается со скоростью N по среде, движущейся со скоростью v2 (рис. 4.15, а). Скорость потока за ударной вол-

ной обозначим через v1 . Если представить себе движение газа

209

относительно фронта ударной волны (рис. 4.15, б), то поток в области 2, движущийся со скоростью (v2 − N ) , будет набегающим,

а поток в области 1, движущийся со скоростью (v1 − N ) , пред-

ставляет собой поток, прошедший ударную волну. Тогда по аналогии с (4.26) запишем

	v1 −N		2			a22		γ −1
	v2 −N	=					+		.	(4.37)
			γ +1			(v2 −N )2		γ +1
								N
а)	v1
							v2 , a2
б)	v1 − N					v2 − N , a2

Рис. 4.15. Распространение ударной волны: а ─ относительно неподвижной системы отсчета; б ─ относительно движущейся ударной волны

Из этого уравнения можно получить выражение, определяющее скорость распространения ударной волны N :

N −v2	=	γ +1		(v1 −v2 )+		γ +1		2	(v1 −v2 )2 +a22 .	(4.38)
		4				4

В частном случае, если ударная волна перемещается по неподвижной среде (v2 = 0 ),

N =	γ +1	v1 +		γ +1 2		2	2	(4.39)
	4			4		v1	+a2 .

Отсюда видно, что N >a2 . Если ударная волна очень сильная, т.е. N >>a2 , то скорость спутного потока за ней стремится к

значению vсп =v1 γ 2+1 N . Если ударная волна слабая, т.е. v1 = 0 , то N = a2 .

210

Отражение ударной волны от стенки. Не останавливаясь на выводе, приведем формулу, определяющую величину давления р3 (в области 3), возникающего в результате отражения ударной волны от стенки (рис. 4.16):

1 +

γ −1

p3 − p2

γ +1

=1 +

.

(4.40)

p

− p

2

p2

+

γ −1

1

p

γ +1

1

Из этого выражения следует, что при р1/р2 >>1

p3 − p2

2 +

γ +1

.

p

− p

2

γ −1

1

a )

б )

v1

N

p2

v1 N 3

p3

р1

v2 = 0

p1

v3 = 0

Рис. 4.16. Взаимодействие прямой падающей ударной волны со стенкой: а ─ первая фаза; б ─ вторая фаза

Для γ =1,4 величина возрастания давления в отраженной волне в сравнении с перепадом давления в падающей волне при-

ближается к восьми. При

p1

, близких к единице,

p3 − p2

≈ 2 ,

p

2

p − p

2

1

что соответствует отражению звуковой волны.

Пластинка

в

сверхзвуковом

потоке

под малым

углом

атаки (рис. 4.17).

Используя соотношения для косого скачка

(см. подразд. 4.3), получаем

2

2

tg(σ-β)

2

2

v2n

ρ1v1 sinσsinβ

.(4.41)

p2 − p1 = ρ1v1n 1

−

=ρ1v1 sin

σ 1−

tgσ

=

cos(σ−β)

v

1n

211

N

	M ∞ > 1	σ
		β

σ

Рис. 4.17. Пластинка в сверхзвуковом потоке под малым углом атаки

	Если β – мал, то sinσ=	1	=sinα,	sinβ≈β,	cos(σ −β) ≈ cosα .
		Μ
	Тогда	1
			ρ v 2
	p2 − p1 ≈			β .	(4.42)
			1 1
			M12 −1

Следовательно, избыточное давление в области, расположенной под пластиной, составляет:

pн − p1 ≈	ρ	v 2	(4.43)
		∞ ∞ β.
	M∞2 −1

Предположим, что избыточное давление в области, расположенной над пластиной, в силу малости угла β равно:

	pв − p1 ≈ −			ρ		v 2	β.	(4.44)
					∞	∞
				M∞2 −1
Тогда N = (p	− p )S =		2ρ v2S
				∞ ∞			β,	(4.45)
н	в			M∞2		−1
Сила лобового сопротивления X и подъемная сила Y равны:
	X = N sinβ ≈ Nβ ,							(4.46)
	Y = N cosβ ≈ N ,							(4.47)
		212

а коэффициенты лобового сопротивления Cx и подъемной силы Cy равны:

Cx =	2X	=		4β2
						,	(4.48)
	ρ∞v∞2S
				M∞2 −1
Cy =	2Y	=		4β	.		(4.49)
	ρ∞v∞2S
				M∞2 −1
Последние две формулы, определяющие Cx							и Cy для пла-

стины, установленной в сверхзвуковом потоке под малым углом атаки, называют формулами Аккерета.

Если вместо пластинки рассмотреть тонкий профиль, то

Cx =	4( β2	+ ϕ2 )	,	Cy =	4β		,
	M∞2 −1				M∞2
						−1

где ϕ – поправка, учитывающая форму профиля.

Пластинка в сверхзвуковом потоке под произвольным уг-

лом атаки. Рассмотрим лишь случай присоединенного косого скачка уплотнения (рис. 4.18). Для определения параметров течения в нижней области используются соотношения на скачке уплотнения, а для определения параметров течения в верхней области – соотношения для течения разрежения:

pн	=	2γ		2	2	σ −	γ −1
				M∞sin					,	(4.50)
p∞		γ +	1				γ +1

N

M ∞ > 1

β

σ

Рис. 4.18. Пластинка в сверхзвуковом потоке под произвольным углом атаки

213

						sin 2σ −					1
tgβ = ctgσ											M∞2							,	(4.51)
				γ +1												1
							− sin 2			σ −
																2
					2
														Μ∞
ω(Μв ) = ω(Μ∞ )+β ,																			(4.52)
						γ −1						γ
									2			γ−1
	pв	1			+				Μ∞
							2
		=								.									(4.53)
	p∞					γ −1
					+				2
		1					2		Μв
Тогда
		N = ( pн − pв )S .																	(4.54)

Если угол атаки β > βmax, то перед пластинкой возникает отошедший скачок уплотнения и такая задача уже не имеет простого решения.

Регулярное отражение скачка уплотнения от плоской стенки. Если в сверхзвуковом потоке, текущем параллельно плоской стенке, возникает скачок уплотнения, который падает на стенку, то возникает отраженный скачок. При определенном соотношении параметров потока и наклона падающего скачка отраженный скачок выходит из той же точки, в которой падающий пересекается со стенкой. В этом случае говорят, что имеет место регулярное отражение скачка от стенки (рис. 4.19). Отраженный скачок обеспечивает такое изменение параметров потока за ним, что газ после него течет параллельно стенке.

M1 > 1		2
M 2	> 1	M 3	> 1

1

β <βmax

Рис. 4.19. Регулярное отражение скачка уплотнения от плоской стенки: 1 − падающий скачок; 2 − отраженный скачок

214

Нерегулярное отражение скачка уплотнения от плоской стенки. Если отраженный от стенки скачок не может развернуть поток из области 2 так, чтобы после скачка в области 3 он был параллелен стенке, как в предыдущем примере, возникает более сложная конфигурация скачков (рис. 4.20): наряду с падающим и отраженным появляется еще маховский скачок, который называют также волной Маха или «ножкой Маха». В этом случае говорят, что имеет место нерегулярное или маховское отражение скачка от стенки. При таком отражении всегда возникает поверхность тангенциального разрыва, которая отделяет поток, прошедший через падающий и отраженный скачки, от потока, прошедшего через один скачок Маха. Поток за скачком Маха всегда дозвуковой.

			2
M 1	> 1	M 2	> 1
		1	M3′′ >1	4
		3	M 3′ < 1

β >β βmβmax

Рис. 4.20. Нерегулярное отражение скачка уплотнения от плоской стенки: 1 − падающий скачок; 2 − отраженный скачок; 3 − волна Маха; 4 − линия тангенциального разрыва

Структура сверхзвуковой недорасширенной струи. Сверх-

звуковая струя, истекающая из сверхзвукового сопла, называется недорасширенной, если давление в выходном сечении сопла больше, чем в окружающей среде. В этом случае за срезом сопла наблюдается интенсивное расширение потока (рис. 4.21), что создает в центральной части струи (перед скачком 3) область пониженного давления. В результате происходит искривление границы струи 1. В свою очередь искривление границы вызывает образование "висячего" скачка 2, который может нерегулярно отражаться от оси симметрии с образованием скачка Маха 3, который в теории сверхзвуковых струй называют диском Маха.

215

1

4

2

3 5

Рис. 4.21. Структура сверхзвуковой недорасширенной струи: 1− граница струи; 2 − висячий скачок; 3 − диск Маха; 4 − отраженный

скачок; 5 − линия тангенциального разрыва

Структура сверхзвуковой перерасширенной струи

(рис. 4.22). Если давление в сверхзвуковом потоке на срезе сверхзвукового сопла меньше, чем в окружающей среде, то вытекающая струя называется перерасширенной. В этом случае непосредственно на выходной кромке сопла возникает скачок уплотнения, восстанавливающий давление в потоке до давления окружающей среды. Отражение этого скачка от оси струи может быть как регулярным, так и нерегулярным. В практических ситуациях чаще происходит нерегулярное отражение (рис. 4.22).

1

4

2

3

5

Рис. 4.22. Структура сверхзвуковой перерасширенной струи: 1− граница струи; 2 − скачок; 3 − диск Маха; 4 − отраженный скачок;

5 − линия тангенциального разрыва

216