Q

Qmax

3

1

2

1

	0					pн
		x		x	1 p0
					перехода

Рис. 3.11. Влияние расширяющегося насадка на расход газа при истечении его из сосуда

Поведение действительной зависимости связано с тем, что в расширяющейся части насадка возникает развитое турбулентное течение с профилем скорости типа струйного. Ход кривой 3 существенно зависит от угла раствора насадка и степени его расширения. Уменьшение угла раствора и увеличение степени расширения приводит к смещению расходной характеристики в направлении кривой 2.

Опыты свидетельствуют, что затягивание критического режима в "горле" насадка при максимальном расходе становится возможным до высоких докритических отношений (pH / p0 )перехода = 0,8 ÷ 0,9 , что существенно отличается от крити-

ческого отношения (pH / p0 )* , которое для воздуха равно 0,528.

3.7. Неустановившееся истечение газа из сосуда (опорожнение сосуда)

Рассмотрим задачу о неустановившемся истечении газа из сосуда конечного объема V через малое отверстие площадью Fa .

Как и в предыдущей задаче, площадь отверстия предполагается малой в сравнении с поперечным сечением сосуда, скорость

187

газа в сосуде равной нулю, соответственно параметры газа в со-

суде можно считать параметрами
торможения (рис. 3.12).		V
Объем сосуда	считаем по-		pн
		υ0 = 0
стоянным. Начальные параметры				na
газа в сосуде, соответствующие		p0	а υa
началу процесса	опорожнения,	ρ0
обозначим индексом “ 00 ”, те-		T0
кущие мгновенные их значения –
индексом “ 0 ”, параметры газа в		Рис. 3.12. Опорожнение сосуда
отверстии – “ a ”,	а параметры

окружающей среды – “ н ”. Таким образом, для расчета процесса опорожнения сосуда будем основываться на положениях так называемой “нульмерной” теории, согласно которой все газодинамические параметры внутри сосуда осредняются по объему и их считают одинаковыми в данный момент времени во всех точках сосуда. Поэтому давление, плотность, температура газа внутри

сосуда	являются	функциями	только	времени,	т.е.
p0 = p0	(t); ρ0 = ρ0 (t); T0 =T0 (t); v0 = 0 .
Рассмотрим систему уравнений,			определяющих изучаемый

процесс. Закон сохранения массы переписывается в виде (см. (2.10))

V	dρ0	= −Q ,	(3.55)
	dt
причем Q представляет собой секундный массовый расход:
Q = ∫∫ρvndS =ρava Fa ,			(3.56)
Fa

где предполагается, что параметры газового потока в выходном сечении a −a распределены равномерно.

Закон количества движения для описания процесса изменения параметров газа в сосуде записывать не следует в силу нульмерной постановки, поскольку скоростью газа внутри сосуда мы пренебрегаем и этот закон тождественно удовлетворяется.

Закон сохранения энергии для невязкого газа в предположении об отсутствии теплообмена дает изэнтропическую связь параметров газа в сосуде для любого момента времени (см. (2.38)):

p0	=	p00	.	(3.57)
ργ
		ργ
0		00
		188

Для дальнейшего упрощения задачи полагаем процесс истечения квазистационарным. Это значит, что нестационарный процесс истечения рассматривается как непрерывная последовательность стационарных состояний, т.е. в каждый момент времени считаются справедливыми соотношения, полученные для стационарного режима. Это дает возможность использовать уравнение Бернулли:

	va2	+	γ		pa	=	γ		p0	,	(3.58)
2
			γ −1 ρa				γ −1 ρ0

связывающее параметры газа в отверстии и в сосуде в один и тот же момент времени и записанное в предположении о постоянстве энтропии для частиц газа, вытекающих из сосуда:

	pa	=	p0		.	(3.59)
	ρaγ		ρ0γ
Для определения температуры газа в сосуде используется
уравнение Клапейрона:
p0 = ρ0 RT0 .						(3.60)
Таким образом, мы получили шесть уравнений (3.55)–(3.60),
содержащие семь неизвестных:			p0	, ρ0,		T0, va , pa , ρa , Q .

Последнее замыкающее соотношение вытекает из условий течения газа в выходном сечении F a . При этом, как уже отмеча-

лось, в зависимости от соотношения давлений в окружающей среде рн и в сосуде p0 следует различать два режима истечения.

Первый режим – критический (сверхкритический) – характеризуется диапазоном отношения давлений 0 ≤ рн р0 ≤ х , где

γ

x = 2 γ −1 представляет собой критическое отношение дав-

γ +1

лений, соответствующее движению газа со скоростью звука. Скорость истечения при этом равна местной скорости звука. Давление газа в отверстии равно критическому:

γ

pa = 2 γ −1 p0 = x p0 . (3.61)

γ +1

189

pa = pн .

Расход газа является максимально возможным и определяется его параметрами в сосуде.

Второй режим истечения – докритический – характеризуется диапазоном отношения давлений х < рн р0 ≤1. Скорость исте-

чения через отверстие при этом меньше скорости звука. Давление газа в отверстии равно наружному давлению:

(3.62)

Расход газа меньше максимально возможного. Все характеристики истечения зависят не только от параметров газа в сосуде, но и, весьма существенно, от давления окружающей среды.

Соотношения для нахождения числа Маха Ma (на первом режиме) и давления pa (на втором режиме) определяют недос-

тающие условия и замыкают задачу.

Задача опорожнения сосуда может решаться следующим образом. Из уравнения (3.58) с учетом (3.59) получаем выражение для скорости va (формула Сен-Венана), затем из (3.59) выража-

ем плотность в отверстии ρa . Подставляя их выражения в (3.55), получаем уравнение, которое используется для нахождения давления газа в сосуде p0 как функции времени:

V d ρ00 p0

dt p00

1

p

1

p

1

p

γ−1

γ

2γ

0

γ

a

γ

a

γ

.(3.63)

= −F

p

0

ρ

1−

a

γ−1

00

p00

p0

p0

Значение pa в этом уравнении следует принимать по формуле (3.61) или (3.62) в соответствии с режимом истечения. Поскольку эти формулы, определяющие давление газа в отверстии, оказываются различными, то различны и расчетные соотношения. Рассмотрим последовательно оба режима.

Критический (сверхкритический) режим. Интегрирование уравнения (3.63) с учетом (3.61) позволяет получить следующую

формулу для расчета изменения давления внутри сосуда:

p0

= (1+ Bt)−

2γ

,

(3.64)

γ−1

p00

γ+1

γ −1

2

F

2(γ−1)

где

B =

a

γRT00 .

2

γ +1

V

190

Тогда, учитывая (3.57) и (3.60), а также выражение для скорости звука a = γRT , текущие плотность, температуру и скорость звука внутри сосуда можно рассчитать по формулам

ρ

p

1

T

p

γ−1

a

p

γ−1

0

0

γ

;

0

0

γ

;

0

0

2γ

.

=

=

=

ρ00

p00

T00

p00

a00

p00

Скорость

газа

в

отверстии равна

скорости звука:

va =aa =aкр

=

2

a0 . Число Маха в отверстии:

Ma =1 .

γ +1

Секундный массовый расход

p

F

2

γ+1

γ

2(γ−1)

Q =

f (γ, R)

0 a

, где f

(γ, R)=

.

T0

γ +1

R

Критический режим истечения газа из сосуда сохраняется до того момента времени t , при котором давление в баллоне p0

станет равным: p0 = pн x , т.е. пока обеспечивается сверхкритический перепад давлений p0 pн . Значение t определяется из (3.64), если положить p0 = p0 :

p

γ−1

1

00

2γ

t

=

−

1 .

B

p0

С этого момента начинается докритический режим истече-

ния.

Докритический режим. Из основной зависимости для дав-

ления (3.63) при условии (3.62) можно получить уравнение

d

(p0 )= −Af (po ),

(3.65)

dt

3(γ−1)

γ−1

γ−1

2γ RT00

Fa

(pн )

1

где

f (p0 )= p

2γ

1−(pн )

(p0 )−

;

A = γ

;

0

γ

γ

γ

γ −1

V

p0

=

p0

; pн =

pн

; p00 = ρ00 RT00 .

p00

p00

191

Дифференциальное уравнение (3.65) решается численно. Поступая несколько иначе, после формального интегрирова-

ния его можно переписать так:

t =t +

1

J (p0 ,γ ),

(3.66)

c

F

γ−1

−

γ+3

γ−1 −0,5

2γ

p

2γ

J (p, γ)=

где c = γ

RT

н

;

2γ

1− x

γ dx .

a

∫

x

γ −1

00

V

p00

Для некоторых газов (в зависимости от γ ), например для воздуха, интеграл J (p, γ) берется аналитически. Уравнение (3.66) можно использовать для определения давления p0 .

Скорость газа в отверстии и расход можно вычислить по формулам

2γ

p

p

γ −1

0

н

γ

va =

1

,

γ −1

ρ

−

0

p0

1

p

2γ

p

p

н

γ

0

н

Q = F

ρ

0

1

−

a

γ −1 ρ0

p0

p0

Плотность, температура и скорость звука:

γ −1γ .

1

p

н

γ

p

н

ρa

;

Ta

=

;

aa = γRTa .

= ρ00

p00

ρa R

Отметим, что значения ρa ,

Ta

и aa

не изменяются на про-

тяжении докритического режима истечения. Зная va и aa , число Маха в отверстии можно вычислить, исходя из его определения, по формуле M a = va /aa .

Приведенные формулы позволяют рассчитать значения параметров истечения в любой момент времени. На рис. 3.13 приведены графики изменения основных параметров истечения в функции времени.

192