Циркуляция скорости. Циркуляцией скорости по некоторой кривой АВ (рис. 1.4) называется вычисленный вдоль этой кривой интеграл

		B		B
ΓAB = ∫v ds = ∫vxdx +vydy +vzdz ,							(1.32)
		A		A
где ds – элемент кривой;				v ds – скалярное произведение.
Если кривая замкнута, т.е. точка В стремится к точке А
( B → A ), то Г = ∫vds .				Направление обхода должно быть ука-
зано. Если течение жидкости потенциальное, т.е. v = ϕ , то
B ∂ϕ			∂ϕ		∂ϕ	B
ΓAB = ∫		dx +		dy +		dz = ∫dϕ = ϕB − ϕA .	(1.33)
			∂y		∂z
A ∂x						A

Отсюда следует, что, во-первых, циркуляция скорости ΓAB в

потенциальном течении не зависит от вида кривой, соединяющей точки A и B , и во-вторых, циркуляция по любой замкнутой кривой равна нулю (так как в этом случае ϕA = ϕB ).

1.3. Дифференцирование по времени интеграла, взятого по объему, который движется вместе с жидкостью

Система уравнений движения жидкости представляет собой математическую запись основных законов физики (так называемых законов сохранения) применительно к сплошной среде. Эта система может быть записана как в интегральной, так и в дифференциальной форме.

Вывод уравнений мы будем производить для конечного объема V , который содержит одни и те же элементарные жидкие частицы и движется вместе с потоком жидкости. Его поверхность обозначим S . Отличительной особенностью этого объема является то, что он не обменивается массой с окружающей его жидкостью.

Отметим, что интегральная форма записи уравнений позволяет получить выражения основных законов без обращения к той или иной конкретной системе координат, что придает этой форме несколько большую общность в сравнении с записью законов в дифференциальной форме и допускает возможность непосредственного применения к ряду важных практических задач. Кроме

123

того, интегральная форма допускает, в отличие от дифференциальных уравнений, существование поверхностей разрывов в поле течения, а в сверхзвуковой аэродинамике появление таких разрывов (например, ударных волн) является скорее правилом, чем исключением.

Для получения исходных уравнений в интегральной форме полезно вывести вспомогательное соотношение, характеризующее скорость изменения любой интегральной характеристики жидкости в объеме V . Пусть имеется произвольная функция f (q1, q2 ,q3 ,t) , зависящая от координат точек пространства

q1,q2 ,q3 и от времени t . Рассмотрим интеграл от этой функции

∫∫∫ f (q1, q2 , q3 ,t)dV по подвижному объему V (рис. 1.5). Здесь

V (t)

существенно, что и подынтегральная функция, и область интегрирования зависят от времени t . Производная по времени от этого интеграла может быть вычислена следующим образом:

d

∫∫∫ f

(q1 ,q2 ,q3 ,t )dV =

dt

V

f (q1 ,q2 ,q3 ,t +

t )dV − ∫∫∫ f (q1 ,q2 ,q3 ,t )dV

∫∫∫

= lim

V +ΔV

V

=

t

t

→0

1

2

3

3

∫∫∫

1

2

3

∫∫∫

1

2

f

(q ,q

,q ,t +Δt)− f (q

,q

,q

,t) dV +

f (q

,q

,q

,t +Δt)dV

= lim

V

V

=

t

t→0

∫∫∫

∂f

∫∫ f ( q1 ,q2,q3 ,t +

t ) vn

t ds

∂t

t dV

= lim

V

t+θΔt

+ lim

S

=

t

t

t

→0

t→0

I

II

= ∫∫∫∂f dV

+ ∫∫ fvnds,

(1.34)

V

∂t

S

I

II

где 0 ≤ θ ≤1;

vn =v n ,

n – единичная нормаль к поверхности

S , внешняя по отношению к объему V . При выводе этой формулы используются формула конечных приращений Лагранжа и теорема о среднем.

124

V
S
dV
f (q1 ,q2 ,q3 ,t)		v
dS
v n	t	n
V

Рис. 1.5. Произвольный подвижный объем жидкости постоянной массы

Из полученной формулы видно, что производная по времени от интеграла, взятого по движущемуся вместе с жидкостью объему, складывается из двух слагаемых, первое из которых характеризует изменение подынтегральной функции вследствие изменения ее во времени в каждой точке внутри рассматриваемого объема, а второе – изменение интегральной характеристики вследствие деформации движущегося объема (фактически вследствие перемещения поверхности S ).

1.4. О записи уравнений движения в различных системах координат

Для многих задач газовой динамики, наряду с интегральной формой записи основных физических законов, более удобна дифференциальная – в виде дифференциальных уравнений. Поэтому получим соотношения, позволяющие осуществить переход от интегральной формы записи к дифференциальной. Заметим также, что этот переход будет выполняться для произвольной ортогональной системы координат, что в нашем выводе не представляет сложности и вместе с тем расширяет возможности использования получающихся уравнений.

В уравнениях сохранения, записанных в интегральной форме, встречаются слагаемые двух видов: интегралы по объему V и по поверхности S , ограничивающей этот объем.

125

Переход к дифференциальной форме мы будем осуществлять следующим образом:

1)рассмотрим малый объем V ;

2)разделим все слагаемые преобразуемого уравнения на V ;

3)перейдем к пределу при условии, что V стремится к ну-

лю.

Используя теорему о среднем при вычислении интеграла по объему, получим

	∫∫∫BdV		BсрV
	V	=		→ B ,	(1.35)
	V		V
				V →0

т.е. в результате предельного перехода получаем подынтегральное выражение.

Иначе обстоит дело с преобразованием интеграла по поверхности S . Именно здесь проявляется специфика выбираемой для изучения системы координат. Остановимся на этом вопросе более подробно. Нам требуется найти предел

		∫∫AndS
	lim	S	.	(1.36)
		V
	V →0
	Здесь величина An может быть как скаляром, так и векто-
	ром или тензором. Индекс	n означает лишь, что рассматривае-

мая величина связана с элементарной площадкой dS , которая характеризуется внешней нормалью n .

Обратимся к общему случаю криволинейных ортогональных координат q1,q2 ,q3 . Введем единичные векторы e1,e2 ,e3 , на-

правленные по касательным к соответствующим координатным

линиям

(q1,q2 ,q3 )

в направлении возрастания координат. Вве-

дем радиус-вектор

r = r(q1,q2 ,q3 ) ,

определяющий

положение

рассматриваемой точки в области течения. Очевидно, что

∂r

= H

1

e

,

∂r

= H

2

e

2

,

∂r

= H

3

e

3

.

(1.37)

∂q1

1

∂q2

∂q3

.

Дифференциал радиуса-вектора r

126

dr =

∂r

dq

+

∂r

dq

+

∂r

dq

.

(1.38)

∂q

∂q

∂q

1

2

2

3

3

С другой стороны,

1

dr = dr1e1 + dr2e2 + dr3e3 .

(1.39)

Из сравнения двух последних выражений и с учетом (1.37) можно записать:

dr1 = H1dq1 ;

dr2 = H 2 dq2 ;

dr3 = H 3dq3 .

(1.40)

Соотношение (1.40) позволяет понять смысл коэффициентов H1, H2 , H3 . Каждый коэффициент Hi устанавливают связь меж-

ду приращением координаты dqi и соответствующего ему линейного приращения dri . Их называют метрическими коэффи-

циентами или масштабными множителями, но чаще коэффициентами Ламе.

Формулы (1.40) могут служить для определения коэффициентов Ламе. Действительно, если составить выражение для квадрата длины элементарного отрезка dL , то получим соотношение

(dL)2 = (H	1	dq )2	+(H	2	dq	2	)2 +(H	3	dq	3	)2	,	(1.41)
		1

используя которое, легко можно получить выражения для коэффициентов Ламе в различных системах координат.

Примеры. Декартова система координат (рис. 1.6): q1 ≡ x ; q2 ≡ y ; q3 ≡ z ;

(dL)2 = (dx)2 +(dy)2 +(dz)2 ; H1 = H2 = H3 =1 .

	y				y
	y				ϕ
	x				r
	z			z	x
z	x				x
Рис. 1.6. Декартова система
				Рис. 1.7. Цилиндрическаясистема
	координат				координат
		127

Цилиндрическая система координат (рис. 1.7): q1 ≡ x ; q2 ≡ r ; q3 ≡ ϕ;

(dL )2 = (dx )2 + (dr )2 +(r dϕ)2 ;

Система координат, связанная с поверхностью осесимметричного тела, или так называемая «погранслойная» система координат (рис. 1.8):

q1 ≡ x ; q2 ≡ y ; q3 ≡ ϕ;

H1 =1; H 2 =1 ; H 3 = r .

y

x

r (x,y)

R(x ) rw (x)

						dx			2
	(dL)2	=	(R + y)						+(dy)2 +(rdϕ)2 ;	Рис. 1.8. «Погранслойная» система
						R
				y						координат
	H1 =1+				; H 2 =1 ; H 3 = r .
				R

Если контур тела выпуклый (как на рисунке), то его кривизна 1/ R > 0 , если вогнутый, то 1/ R < 0 .

Локальная система координат, связанная с линией тока в осесимметричном течении (рис. 1.9). Пусть ось s направлена вдоль рассматриваемой линии тока, n – по нормали к s , r и ϕ – по-

лярный радиус и азимутальный угол в плоскости перпендикулярной оси симметрии, как на рис. 1.7. Примем q1 ≡ s ; q2 ≡ n ;

q3 ≡ ϕ.

Из рис. 1.9 видно, что линейные приращения вдоль координатных линий s и n и близких к ним координатных линий равны:

ds = Rs d s ϑ;

dn = Rn dnϑ ;

ds

d

ϑ

n

d s

=H ds=(R

−n)d ϑ=

−n d ϑ=ds−nd

ϑ= 1−n

s

ds= 1−

ds ;

n

s

s

s

d ϑ

s

s

ds

R

s

s

dsn = Hn dn = (Rn +s)dn

dn

ϑ =

+s dn ϑ = dn +sdn ϑ =

dn ϑ

d

n

ϑ

s

= 1+s

+

dn = 1

dn .

dn

Rn

128

Rs	dsϑ
n		dns	dsn s
		ϑ+d ϑ
		n	ϑ + dϑ
		ds
	dn
dn ϑ			ϑ
Rn		r

Рис. 1.9. Локальная система координат

Отсюда с учетом dl = rdϕ получим выражения для коэффициентов Ламэ:

H s =1−	n	;	H n =1+	s	; H ϕ = r .
	Rs			Rn

Вернемся теперь к вычислению предела (1.36). Рассмотрим малый объем V в произвольной криволинейной ортогональной системе координат (рис. 1.10). Его величина равна:

q1+ q1 q2		+ q2 q3	+ q3	= (H1H 2 H3 )cp q1 q2 q3 .
V =	∫	∫	∫H1dq1H2dq2 H3dq3
	q1	q2	q3

Рассмотрим также интеграл по поверхности S , подробно расписывая лишь выражения для заштрихованных граней, перпендикулярных направлению q1 :

			q2	+Δq2		q3	+Δq3	+ q1,q2 ,q3,t )H2 (q1	+ q1,q2 ,q3 )dq2
∫∫AndS =				∫			∫ A1 (q1			×
S				q2			q3
							× H3 (q1 + q1,q2 ,q3 )dq3 −
q2	+Δq2	q3	+Δq3		(q1,q2 ,q3,t)H2 (q1,q2,q3 )dq2H3 (q1,q2 ,q3 )dq2dq3 +... =
−	∫		∫	A1
	q2		q3
								129

q 2

e 2

q2

		q1	e1
	q3		q1

e3 q 3

Рис. 1.10. Элементарный объем в произвольной ортогональной системе координат

Знак «минус» перед вторым слагаемым необходим ввиду того, что внешняя нормаль к левой заштрихованной грани направлена в сторону, обратную положительному направлению оси q1

( A−1 = −A1 ):

q2 + q2 q3 + q3

∂A H

2

H

3

=

∫

∫

1

q1

+.... =

∂q

dq2 dq3

q

2

q

3

1

q1+θ

q1

=

∂A1H2H3

+

∂A2H1H3

+

∂A3H1H2

q q

q

.

∂q

∂q

2

∂q

3

1

2

3

1

ср1

ср2

ср3

Здесь в ходе преобразований мы последовательно использовали формулу конечных приращений Лагранжа (0 ≤ θ ≤1) и тео-

рему о среднем. Используя полученные выражения и переходя к пределу, окончательно получаем

∫∫An dS			1					∂A H		H			∂A H		H			∂A H		H
S									2		3					3					2
	→							1				+	2 1				+	3 1					.(1.42)
V		H	H		H			∂q
	V →0			2		3							∂q	2				∂q	3
		1							1
									130

Рассмотрим частные случаи формулы (1.42) для различных физических величин An . В декартовой системе координат

q1 ≡ x ,	q2 ≡ y ,	q3 ≡ z ,
e1 = i ,	e2 ≡ j,	e3 ≡ k ,

H1 = H2 = H3 =1 .

а) Пусть An = ρvn – масса жидкости, которая перетекает в единицу времени через единицу поверхности, тогда

∫∫ρvndS

S

V

б) Пусть An

→	∂ρv	x +	∂ρvy	+	∂ρv	z	≡ div (ρv ) .
	∂x		∂y		∂z
V →0

= ρvvn – количество движения жидкости, кото-

рая перетекает за единицу времени через единицу поверхности:

∫∫ρυυndS		∂ρυυx +	∂ρυυy		∂ρυυz .
S	→			+
V
	V →0	∂x	∂y		∂z

→

в) Пусть An = p n , где p – давление, n – внешняя нормаль:

→

∫∫pn dS

∂p →

∂p →

∂p →

S

→

i +

j

+

k

≡ p ≡ grad

p .

V

∂x

∂y

∂z

V →0

г) Пусть

An = τ→n – сила, обусловленная вязкостью жидкости

→

(на сто-

и действующая на единичную площадку с нормалью n

рону площадки, обращенную к концу вектора

→

n ), тогда

→

∫∫τn dS

→

→

→

S

→

∂ τ

x

+

∂ τy

+

∂ τ

z

.

∂x

∂y

V

V

→0

∂z

д) Пусть An = τn v – работа вязких сил в единицу времени, тогда

131

∫∫τ vdS		∂τ	v		∂τy v		∂τ	v
S
	→	x		+		+	z		.
V					∂y
	V →0	∂x					∂z

Рассмотрим теперь цилиндрические координаты как пример криволинейной ортогональной системы координат. Имеем

q1 ≡ x ,

q2 ≡ r ,

q3 ≡ ϕ,

H1 = H2 =1,

H3 = r .

В этом случае из формулы (1.42) получим

∫∫ρvndS

1

∂ρv

r

∂ρvyr

∂ρvϕ

≡ div (ρv ).

S

→

x

+

+

V

r

∂y

∂ϕ

V →0

∂x

Последний пример, который мы здесь рассмотрим, – локальная система координат, связанная с данной линией тока. В этом случае получим

∫∫ρvnds →∂ρvr +ρvr			∂ϑ	= div (ρv ) .
V	V →0	∂s	∂n
При применении формулы (1.42) к векторной величине в
			→	→	→	→
криволинейной	системе	координат	An	= A1 e1	+ A2 e 2	+ A3 e 3

возникает необходимость дифференцировать единичные векторы

ei (i =1, 2, 3)	по координатам q j (j =1, 2, 3) , т.е. вычислять
производные	∂ei	. Согласно теореме Дюпена, линии пересече-
	∂q j

ния трижды ортогональной системы поверхностей представляют собой линии кривизны. Следовательно, кривые, вдоль которых изменяются или координата q1 , или координата q2 , являются

линиями кривизны поверхности q3 = const. Нормали к поверхности в смежных точках линии кривизны пересекаются, поэтому когда мы движемся вдоль q1 , нормаль e3 + de3 пересекает нормаль e3 . Отсюда следует, что вектор de3 перпендикулярен век-

132

торам e	2	и e , т.е. параллелен вектору	e , а вектор ∂e3		парал-
		3	1	∂q1

лелен вектору e1 . Аналогично можно показать, что ∂e3 парал-

∂q2

лелен вектору e2 , и получить еще четыре аналогичных результата. Используя соотношения (1.34), можно записать

∂H1e1 = ∂H 2e2 ,

откуда

∂q2

∂q1

∂e1

∂e2

= ∂H2

− ∂H1 e .

H

− H

e

1 ∂q

2

2 ∂q

∂q

2

∂q

1

1

1

2

Но вектор

∂e1

параллелен e

2

, а

∂e2

параллелен e . Сле-

∂q2

∂q1

1

довательно,

∂e1

=

1

∂H2

e 2 ,

∂e 2 =

1

∂H1 e1 .

∂q

2

H

1

∂q

∂q

H

2

∂q

2

1

1

Используя далее равенство e1 = e2 ×e3 , получаем

∂e1

=

∂e 2

×e3 + e 2 ×

∂e 3

= −

1

∂H1

e 2

−

1

∂H1

e 3 .

∂q1

∂q1

∂q1

H2 ∂q2

H3 ∂q3

Обобщая полученные выражения, можно записать для

∂ei

=

1 ∂H j

e j ,

∂q j

Hi ∂qi

e σ + 1

для i = j

∂e i

= −∑ 1

∂Hi

∂Hi

e i .

3

∂qi

σ H σ ∂qσ

Hi

∂qi

i ≠ j :

(1.43)

(1.44)

Формулы (1.34), (1.35), (1.42) – (1.44) позволяют весьма эко-

номно записать законы сохранения в различных системах ортогональных координат.

133