ная сила направлена в сторону, противоположную скорости истечения газов va . Величина реактивной силы равна:

P=Qva +( pa − pн )Fa .

Взаключение заметим, что выражение (2.28) для реактивной силы оказывается не всегда удобным на практике. Например, для укороченных сопел (а именно такие сопла часто используются в ракетных двигателях) поток в выходном сечении не является равномерным и для определения тяги двигателя с требуемой точностью необходимо знать распределение скорости, плотности и давления на срезе сопла. В этом случае более удобно использовать непосредственно формулу (2.27) или же (2.26). Последняя содержит результат суммирования сил давления и сил трения, действующих на стенки камеры и соплового устройства, и ее целесообразно использовать при оценке силы тяги соплового устройства более сложной конструкции, когда весьма затруднительно получить характеристики газового потока в выходном сечении.

2.3. Уравнение энергии

Уравнение энергии представляет собой математическую запись закона сохранения энергии, который можно сформулировать следующим образом. Изменение полной энергии жидкости в движущемся объеме V , состоящем из одних и тех же жидких частиц, происходит за счет работы внешних сил, а также за счет притока тепла извне через поверхность объема и объемного тепловыделения (в результате излучения/поглощения, химических реакций и др.).

Полная энергия равна сумме внутренней и кинетической энергии движущейся жидкости. Во внутреннюю энергию включают кинетическую энергию хаотического поступательного и вращательного движения молекул, колебательную энергию атомов внутри молекул, потенциальную энергию взаимодействия между молекулами, энергию диссоциации и ионизации. Для воздуха диссоциация молекул становится важной, когда его температура превышает 2000ºС, а ионизация атомов – когда температура превышает 6000ºС.

147

Пусть U – внутренняя энергия единицы массы газа или, другими словами, удельная внутренняя энергия. Кинетическая энергия единицы массы движущейся жидкости как сплошной среды

равна v2 / 2 . Тогда	U		+ v2 / 2 – полная энергия едини-
	внутреняя.		кинетич.
	энергия		энергия
				v	2
цы массы жидкости, а
	∫∫∫ρ U +			2		dV – полная энергия жид-
	V

кости в объеме V .

Изменение полной энергии в единицу времени согласно

(1.34) равно:

v

2

+

∂ρ U

2

d

v

2

v

2

dt

∫∫∫ρ U

+

2

dV = ∫∫∫

∂t

dV + ∫∫

ρ U

+

2

υn ds .

V

V

S

Запишем выражения работы внешних сил:

∫∫∫ρF vdV

– работа массовых сил, действующих на жид-

V

кость в объемеV ;

− ∫∫pnvds – работа сил давления, действующих на поверх-

S

ность S , ограничивающую объем V .

∫∫τnvds – работа вязких сил, действующих на поверхность S ,

S

Запишем выражения для притока тепла извне:

− ∫∫qn ds – тепловой поток через поверхность S внутрь объема.

S

qn

Здесь

lim

= qn

–

количество тепла, протекающего через

S

t

S→0

t→0

единичную площадку в единицу времени в направлении внешней

→ →

нормали n к площадке dS . При этом qn = q n ; q = qx i + q y j + q z k . В механике жидкости и газа для описания те-

плового потока часто используется закон теплопроводности Фурье: q = −λT , где λ называется коэффициентом теплопроводности.

148

∫∫∫ρεdV – количество тепла, которое поглощается объемом

	V
	V . Здесь lim	ε		= ε – количество тепла, поглощаемое еди-
		m	t
	m→0
	t→0

ницей массы в единицу времени.

С учетом приведенных выражений уравнение изменения полной энергии в объеме V можно записать в виде

v2

∂ρ U +

2

v2

∫∫∫

∫∫

n

dV +

ρ U +

v

dS

=

(2.29)

∂t

2

V

S

= ∫∫∫ρF vdV − ∫∫ pnvdS + ∫∫τn vdS − ∫∫qndS + ∫∫∫ρεdV .

V

S

S

S

V

Это интегральная форма уравнения энергии. Перейдем теперь к дифференциальной форме записи. Применяя формулы

(1.35) и (1.42), получим

		v2
	∂ρ U +
		2		+div ρ U		+v2		v	=
	∂t										(2.30)
							2
	=ρFv −div( pv ) +				∂τxv	+	∂τyv		+	∂τzv	−divq +ρε.
					∂x		∂y			∂z

Упрощая с помощью уравнения неразрывности левую часть, уравнение энергии можно переписать в другой дифференциальной форме:

		v2					∂τ→y v
	d U +	2		→	∂τ→v				∂τ→v
ρ				=ρF v −div(pv)+	x	+		+	z	−
	dt						∂y
					∂x				∂z

→

divq+ρε . (2.31)

Получим еще две формы записи уравнения энергии. Сначала рассмотрим уравнение энергии в форме первого закона термодинамики. Распространенный вид записи первого закона термодинамики:

dU + pdV = d ' QT ,

(2.32)

где V =1ρ.

149

Эта форма не раскрывает, однако, содержания правой части, характеризующей приток тепла.

Используя уравнение количества движения и уравнение неразрывности, уравнение энергии (2.31) можно привести к виду

(2.32):

dU

d 1

→ dv

→ dv

→ dv

→

d'Q

ρ

+ p

=

τ

x

+τ

+τ

z

−div q+ρε ≡ρ

T ,(2.33)

dt

dt ρ

dx

dy

dz

I

dt

II

′

где

d QT

– количество тепла, которое получает единица массы

dt

жидкости в единицу времени.

( −div q +ρε ) характеризуют

Два слагаемых в правой части

приток тепла извне, т.е. теплопередачу между частицами и объемное поглощение энергии. Если эти два слагаемых равны нулю, то процесс является теплоизолированным и его называют адиабатическим.

→ ∂v		→ ∂v		→ ∂v		характеризует то теп-
Слагаемое Φ = τx	∂x	+ τy	∂y	+ τz	∂z

ло, которое получается в единице объема жидкости в единицу времени вследствие потери (диссипации) механической энергии из-за работы вязких сил. Величину Φ называют диссипативной функцией.

Если вся правая часть (2.33), т.е. d ′dtQT , равна нулю, то про-

цесс называют изэнтропическим. В этом случае изменение эн-

тропии dS = d 'TQT = 0 и, следовательно, S = const .

Запишем уравнение энергии для полного теплосодержания. Теплосодержанием или энтальпией называют величину

	h =U +	p	, а полным теплосодержанием или энтальпией тормо-
		ρ
	жения – величину H =U +			p	+	v 2	. Прибавляя к левой и правой
				ρ		2

частям (2.31) слагаемые вида ρ dtd ρp и преобразуя, получим

150

d

p

v

2

∂p

∂τ

v

∂τ v

∂τ v

y

ρ

+

+

=ρ

+

+

x

+

+

z

−

+ρε .(2.34)

U

F

v

divq

dt

ρ

2

∂t

∂x

∂y

∂z

Из этого уравнения следует, что в изэнтропическом процессе полное теплосодержание будет сохраняться постоянным в каж-

дой элементарной жидкой частице, если ∂∂pt = 0 и F v = 0 , в ча-

стности, если течение установившееся и вектор плотности массо-

вых сил F либо ортогонален вектору скорости v , либо равен нулю. Для установившихся течений величина H сохраняется постоянной вдоль линий тока.

Рассмотрим неподвижное твердое тело или покоящуюся несжимаемую жидкость: ρ = const , v = 0 . Обозначим теплофизиче-

ские характеристики такой среды индексом * и будем считать их постоянными, а также положим ε равным нулю. Тогда

U =c T

и из (2.31) или (2.33) получим ρ c

∂T*

= −div (−λ T ) .

*

*

* *

∂t

λ*

* *

Введем коэффициент температуропроводности a

*

=

, тогда

ρ

c

*

*

∂T*

=a T ,

(2.35)

∂t

*

∂2

∂2

∂2

где

=

+

+

–

оператор Лапласа. Уравнение (2.35)

∂x 2

∂y 2

∂z 2

называется уравнением теплопроводности и широко применяется при решении задач теплопереноса в неподвижных средах.

Укажем некоторые частные случаи уравнения энергии.

Скачок уплотнения. Рассматривая случай перетекания газа через скачок уплотнения, принимая те же допущения, что и ранее при рассмотрении скачка, и проводя те же рассуждения, можно получить уравнение энергии (2.29) в следующем виде (см. рис. 2.2):

2

2

ρ

U

+

v1

(−υ

)+ρ

2

U

+

v2

(+v

2n

)=−[p

(−v

1n

)+ p

2

(+v

2n

)](2.36)

1

1

2

1n

2

2

1

или, преобразуя,

p

1

v 2

p

2

v 2

ρ v

U

+

+

= ρ v

U

+

+

,

ρ

2

ρ

2

1 1n

1

2 2n

2

2

1

151