Сравнение результатов опытов по сверхзвуковому симметричному обтеканию тел вращения и плоских контуров с расчетом по формуле Ньютона показало, что лучшее совпадение расчетных и экспериментальных данных имеет место, если ее видоизменить, представив в виде

cp = cp0		sin2 β	.	(4.69)
		sin2 β0
Здесь c p0 – значение	c p при угле β = β0, а β0			– угол при

вершине обтекаемого тела (рис. 4.26). Если β0 = π2 , то величина c p0 при сверхзвуковом обтекании определяется с использованием формулы Рэлея.

β

v∞

β0

Рис. 4.26. Пояснение видоизмененной формулы Ньютона

4.7. Метод характеристик

Многие задачи газовой динамики в математическом отношении сводятся к системе двух дифференциальных квазилинейных уравнений первого порядка в частных производных с двумя независимыми переменными. Это, в частности, относится к установившимся плоскому или осесимметричному течениям газа.

В этих случаях систему уравнений, описывающую движение газа, можно представить так:

L

≡ A

∂u

+ B

∂u

+C

∂v + D

∂v + E

= 0,

1

1 ∂x

1 ∂y

1 ∂x

1 ∂y

1

(4.70)

∂u

∂u

∂v

∂v

L

≡ A

+ B

+C

+ D

+ E

= 0,

2

2 ∂x

2 ∂y

2 ∂x

2 ∂y

2

221

где Ai , Bi , Ci , Di , Ei – функции не только независимых переменных x и y , но и искомых функций u и v . Такие уравне-

ния называются квазилинейными. Все функции непрерывны и имеют столько производных, сколько нужно. Если коэффициенты зависят только от x и y , то уравнения называются линейны-

ми с переменными коэффициентами. Если E1 = 0 и E2 = 0 , то

уравнения являются однородными.

Аналитическое решение квазилинейной системы (4.70) в общем случае отсутствует. На практике ее приходится решать численно. Для численных расчетов сверхзвуковых установившихся плоских или осесимметричных течений исторически первым и весьма эффективным является метод характеристик. Познакомимся с ним применительно к системе (4.70).

Сущность метода характеристик заключается в том, что уравнения в частных производных заменяются уравнениями в обыкновенных производных, с которыми иметь дело значительно проще.

Прежде всего отметим, что любая функция двух переменных, скажем v =v( x ,y ) , определенная в некоторой области S, может

быть рассмотрена в этой области на любой кривой. Предположим, что эта кривая задана параметрически: x = x(t) и y = y(t) .

В этом случае на ней	v =v[x(t ),y(t )]			становится сложной функ-
цией одного переменного t . Тогда
dv	= ∂v dx	+ ∂v	dy	(4.71)
dt
	∂x dt	∂y dt

дает нам производную от v вдоль рассматриваемой кривой.

В частности, в выражении (4.71) дифференциальный двучлен

	∂v dx	+	∂v dy			есть производная от функции v =v( x ,y ) вдоль
	∂x dt		∂y dt

направления dydx = dydt dxdt .

Исходя из этого каждое уравнение системы (4.70) может быть представлено в виде

∂u

∂u

∂v

∂v

+ Bi

+ Di

+ Ei = 0

(4.72)

Li ≡ Ai

∂x

∂y

+ Ci

∂x

∂y

222

и каждый дифференциальный двучлен							в (4.72)		представляется
как производная от функции u или v						вдоль определенного на-
правления. В частности, A			du		+ B du			есть	производная от
		i	dx		i dy
u = u(x, y) вдоль направления					dy =	Bi		.
					dx	A
						i
Если бы оказалось, что в (4.72) выполняется равенство
	Bi	=	Di		,				(4.73)
	A		C	i
	i

то можно было бы говорить, что здесь производные от u и v берутся в одном направлении, и смотреть на (4.72) как на уравнение с обыкновенными производными. Только эти производные вычисляются вдоль определенных кривых, касательные в каждой

точке которых определяются равенством	dy	=	Bi	=	Di		. Но, к
	dx		A
					C	i
			i

сожалению, обычно равенство (4.73) не имеет места. А нельзя ли получить его искусственно, путем несложных преобразований? Часто оказывается можно. Покажем, какие для этого должны быть проделаны преобразования. Умножим второе уравнение (4.70) на некоторый, пока неопределенный множитель λ и сложим второе уравнение с первым: L* = L1 +λL2 = 0 . Тогда

L* =A* ∂∂ux +B* ∂∂uy +C* ∂∂vx +D* ∂∂yv +E* =0 .

В последнем уравнении коэффициенты, обозначенные индексом " " , имеют вид A* = A1 + λA2 ; ..... . В этом уравнении

производные от u и v будут вычисляться в одном и том же направлении, если, как показывалось выше, будет выполнено условие (4.73). Для этого нужно воспользоваться множителем λ и

считать указанное условие уравнением для определения			λ . Пе-
репишем его в следующем виде:
	B*	= D* = y*′ .	(4.74)
	A*
		C*
		223

Следовательно, этот множитель будет функцией коэффициентов исходной системы (4.70), т.е. функцией от x,y,u,v , если

исходная система квазилинейная.

Если условие (4.74) выполнено, то получается обыкновенное дифференциальное уравнение:

A du	+C	dv	+ E		= 0 ,	(4.75)
* dx		* dx		*

где производные от u и v вычисляются вдоль направления

(4.74).

Уравнения (4.74) назовем характеристическими. Интегрируя их можно получить уравнения характеристик, (4.75) являются условиями на характеристиках.

Выполним некоторые преобразования:

B* − A*y*′ = 0, D* −C* y*′ = 0,
(B1 + λB2 )− (A1 + λA2 )y*′ =		0
			,
(D1 + λD2 )− (C1 + λC2 )y*′ = 0
B1 − A1 y*′ + (B2 − A2 y*′ )λ = 0				,
D1 − C1 y*′ + (D2 − C2 y*′ )λ =
			0
	B1 − A1 y*′		=	D1 − C1 y*′	= −λ .	(4.76)
	B2 − A2 y*′			D2 − C2 y*′

Найдем отсюда y*′:

B1D2 − A1D2 y*′ − B1C2 y*′ + A1C2 y*′2 = B2D1 − B2C1y*′ − A2D1y*′ + A2C1y*′2 ,

y*′2(A1C2 − A2C1) + y*′(B2C1 −B1C2 + A2D1 − A1D2) +(B1D2 −B2D1) =0 .(4.77)
Обозначим [XY ]= X1Y2 − X 2Y1 , тогда
[AC]y*′2 −{[BC]+ [AD]}y*′ + [BD]= 0 ,
a = [AC], 2b = [BC]+[AD], c = [BD],				(4.78)
ay*′2 − 2by*′ + c = 0 .
Характеристические направления запишутся в виде
y*′ =	b ±	b2 − ac	.	(4.79)
		a
При этом необходимо выполнение условия
b 2 −ac		> 0 .		(4.80)
		224

Интегрируя (4.79), можно получить уравнение характеристик. Запишем условия на характеристиках:

A = A +λA = A −

B1 − A1 y*′

A =

* 1

2

1

B2 − A2 y*′

2

=

A1 B2 − A1 A2 y*′

− A2 B1

+ A1 A2 y*′

[AB]

=

,

B2 − A2 y*′

B2 − A2 y*′

C* = C1 +λC2 = C1

−

B1 − A1 y*′

C2 =

B2 − A2 y*′

=

C1B2 −C1 A2 y*′ − B1C2 + A1C2 y*′

=

[CB]+[AC]y*′

,

B2 − A2 y*′

B2 − A2 y*′

E

*

=

E

+ λE

2

=

[EB]+ [AE]y*′′

.

1

B2 − A2 y*′

Подставим A*, C*, E* в (4.75):

[AB ]dudx + {[CB ] + [AC ]y*′}dxdv + [EB ] + [AE ]y*′ = 0 . (4.81)

Таким образом, вместо уравнений (4.70) мы получили (4.79) и (4.81) при условиях (4.80) для определения величин u, v , x , y . Эти четыре уравнения нужно использовать по-

парно при разных значениях y*′ : “+” – первое семейство, “-” – второе.

Применение метода характеристик к расчету двумерных сверхзвуковых течений газа. Запишем уравнения газовой динамики.

Уравнение неразрывности

∂ρvx yk + ∂ρvyyk = 0 , ∂x ∂y

где k=0 – плоский случай; k=1 – осесимметричный случай, удобно переписать в виде

	∂ρvx	+	∂ρvy	+k	ρvy	= 0 .	(4.82)
	∂x		∂y		y

Уравнение количества движения

225

ρvx

∂vx

+ ρvy

∂vx

= −

∂p

,

(4.83)

∂x

∂y

∂x

ρvx

∂vy

+ ρvy

∂vy

= −

∂p

,

(4.84)

∂x

∂y

∂y

a2 =

dp

.

dρ

Преобразуем (4.82):

∂vy

ρvy

ρ

∂v

x

+vx

∂ρ

+ ρ

+vy

∂ρ

+k

= 0 ,

∂x

∂x

∂y

∂y

y

∂p

= dp ∂ρ

,

∂p

=

dp

∂ρ

,

∂x dρ ∂x

∂y dρ ∂y

∂v

x

−v

1

ρvx

∂v

x

+ ρvy

∂v

x

∂vy

ρ

+ ρ

−

x a2

∂x

∂y

∂x

∂y

− vy

1

ρvx

∂vy

+ ρvy

∂vy

+kρ

vy

= 0

a2

∂x

∂y

y

Домножая на

a 2 и деля на ρ,

получаем уравнение, связы-

вающее величины vx

и vy :

(a

2

2

)

∂v

x

∂v

x

∂vy

(a

2

2

)

∂vy

vya2

=0.(4.85)

−vx

−vxvy

+

+

−vy

+k

∂x

∂y

∂x

∂y

y

Здесь a 2

определяется соотношением

vx

2 +vy

2

+

a 2

= H = const .

2

γ −1

Второе уравнение, устанавливающее связь vx

и vy , получа-

ем из выражения для вихря:

i

j

k

Ω =

∂

∂

∂

,

∂x

∂y

∂z

vx

vy

vz

226

откуда для плоских или осесимметричных течений можно полу-

чить, что Ωx ≡ 0 ,

Ωy ≡ 0

и отличной от нуля может быть только

Ωz . Опуская у последней компоненты индекс

z , запишем для

нее выражение

∂vy

Ω =

−

∂v

x .

(4.86)

∂x

∂y

Соотношения (4.85) и (4.86) имеют вид уравнений в системе

(4.70). Из их сравнения следует:

A =a 2

−v

2

;

A = 0 ,

B

1

= −v

x

v

y

;

B

2

=1 ,

1

x

2

C

1

= −v

x

v

y

;

C

2

= −1,

D

1

=a 2 −v

2

;

D = 0 ,

y

2

E1

=k

vya 2

;

E2 = Ω .

y

y

Получим

уравнение харак-

Iтеристического направления

(рис. 4.27). Рассмотрим (4.79).

	υ	Коэффициенты a,b,c можно
	α	записать в виде
	θ

−α		a = [AC]= −a 2 +vx			2 ,
II
	x	2b = [BC]+ [AD]= 2v xvy ,
Рис. 4.27. Характеристики		c = [BD]= −a	2	+vy	2	,
в сверхзвуковом потоке

b 2 −ac =vx 2vy 2 − (a 2 +vx 2 )(−a 2 +vy 2 )=a 2 (v 2 −a 2 )> 0 .

В правой части последних выражений и всюду далее а – скорость звука. Из последнего соотношения следует, что должно выполняться неравенство v >a , т.е. дальнейшие рассуждения применимы только для сверхзвуковых течений. Обозначая

vx =vcosΘ; vy =vsinΘ; av = sinα , получим выражение для характеристического направления:

227

y*′ =

vxvy ±a v 2 −a 2

=

vx

2 −a 2

1

1

tgΘ

± tgα

cosΘsinΘ

± sinαcosα

1 + tg2Θ

+ tg2α

=

=

1

=

cos2Θ

− sin2α

1

−

tg2α

1 + tg2Θ

+ tg2α

1

=

tgΘ(1 + tg2α) ± tgα(1 + tg2Θ)

=

(tgΘ ± tgα) + tgΘtgα(tgα ± tgΘ)

=

1 + tg2α − tg2α − tg2Θtg2α

(1 + tgΘtgα)(1 − tgΘtgα)

=

(tgΘ ± tgα)(1 ± tgΘtgα)

=

tgΘ ± tgα

= tg (Θ ± α).

(4.87)

(1 ± tgαtgΘ)(1 tgΘtgα)

1 tgΘtgα

Отсюда следует, что мы имеем два характеристических направления:

y1′	dy						= tg(Θ + α),
	=
	dx 1						(4.87´)
	dy
y2′							= tg(Θ - α).
	=
	dx					2

Рассмотрим теперь условия на характеристиках (4.81). Коэффициенты этого уравнения:

[AB]=a 2 −vx 2 ; [CB]= −2vxvy ; [AC]= −a 2 +vx 2 ;

[EB]=k

vya 2

+ Ωvxvy ; [AE ]= Ω(a 2 −vx 2 ).

y

Тогда (4.81) запишется в виде

(a2 −vx

2 )

dv

2vxvy + (−a2 +vx

2 )

vxvy ±a v

2

−a

2

x

dvy

+

−

2

+

dx

v

−a2

dx

x

+k vya

2

+ (a2 −v

2 )vxvy ±a v

2

−a

2

+ Ω v

v

y

x

=0 .

y

x

v

2

−a2

x

228

Выполним некоторые преобразования:

dvx

−vxvy ±a v

2

−a

2

vya

2

a v2

−a2

+

dvy

+k

±Ω

=0,

dx

−vx 2 +a2

dx

(a

2 −vx 2 )y

a2 −vx 2

{....}= vxvy a

v 2 −a 2

= tg(Θ α),

vx

2 −a 2

dvx =d(vcosΘ)= cosΘdv − sinΘvdΘ ,

dvy =d(vsinΘ)= sinΘdv + cosΘvdΘ ,

cosΘdv

− sinΘdΘ + tg (Θ ± α) sinΘdv + cosΘdΘ

+

v

v

+ k

vya2

± Ω

a

v2 −a2

dx = 0,

(a2 −vx 2 )vy

(a2 −vx 2 )v

(tgΘ − tg (Θ ± α))dΘ = (1 + tgΘtg (Θ ± α))

dv

v +

+ k

vya2

dx

a v2 −a2

y

± Ω (a2 −vx

2 )vcosΘ ,

(a2 −vx

2 )vcosΘ

1+ tgΘtg(Θ α)

1

1

1

=

=

=

= ±ctgα.

tgΘ− tg(Θ α)

tg[Θ−(Θ α)]

tg[± α]

± tgα

Тогда условие на характеристиках перепишется как

dv

(a 2 −vx

vya 2

dx

dΘ = ± ctgα

v

+k

2 )vcosΘ[tgΘ − tg(Θ α)] y

±

I

II

(4.88)

a

v 2 −a 2

dx

± Ω

.

(a 2 −vx

2 )vcosΘ[tgΘ − tg(Θ α)]

III

Если в слагаемом II

k=1, то течение осесимметричное, если

в слагаемом III

Ω≠0 – вихревое. Если же в (4.88) положить k=0

и Ω=0, то течение плоское и безвихревое.

229

В случае вихревого течения требуется знать выражение Ω. Будем исходить из уравнения количества движения в форме Громеки – Лэмба:

Ω ×v = − v 2 − 1 p . 2 ρ

Спроецируем его на ось x . И далее

− Ωvy = −

∂ v 2

−

1 ∂p

,

∂x

2

ρ ∂x

p = ϑρ

γ

,

∂p

=

∂ϑ

ρ

γ

+

ϑγρ

γ−1

∂ρ

,

∂x

∂x

∂x

v 2

+

a 2

= H ;

∂ v

2

=

∂H

−

1 ∂a 2

,

2

γ −

1

∂x 2

∂x

γ −1 ∂x

a 2

= γϑργ−1 ;

∂a 2

= γ

∂ϑ

ργ−1 + γϑ(γ −1)ργ−2 ∂ρ

,

∂x

∂x

∂x

−Ωvy = −

∂H

1

∂ϑ

γ−1

+ γϑ(γ −1)ρ

γ−2 ∂ρ

∂x

+

γ

∂x

ρ

∂x

−

γ −1

−

1

∂ϑ

ρ

γ

+ γϑρ

γ−1 ∂ρ

= −

∂H

+

ργ−1 ∂ϑ

,

∂x

∂x

∂x

γ −1 ∂x

ρ

∂ρvx yk

+

∂ρvyyk

= 0 ;

ρvx y

k

=

∂ψ

; ρvyy

k

= −

∂ψ

;

∂x

∂y

∂y

∂x

ψ – функция тока;

H = H (ψ);

ϑ = ϑ(ψ).

dϑ

= 0 :

v x

∂ϑ

+vy

∂ϑ

= 0;

dx =

dy

;

dt

∂x

∂y

vx

vy

dϑ

dx +

dϑ

dy = dϑ = 0 ;

dx

dy

1

dH ∂ψ

ρ

γ−1

dϑ dψ

dH

y

k

ρ

γ

dϑ

∂ψ

=−

+

;

Ω=ρy

k

−

+

.

−Ω −

k

ρy

dψ ∂x γ−1 dψ dx

dψ γ−1 dψ

∂x

230

Если

H = const ,

то

Ω =

y k

ργ

dϑ

;

s =c

lnϑ+ const;

γ −1

dψ

V

Ω =

ykργ

ds dn

где n

– нормаль к линии тока.

dn dψ ,

(γ −1)c

v

Можно показать, что

dψ

= ρvyk :

dn

dψ =

∂ψ dx +

∂ψ dy

=

(−ρvyyk )(−sinΘ) + ρvxykcosΘ =

dn

∂x dn

∂y dn

= ρ(vx cosΘ +vysinΘ)yk = ρvyk ,

Ω =

ykργ

ds

1

γ

= υ

1 ds

dn

dn .

(c p / cV −1)cV

ρvyk

γ

M2Rγ

Последнее выражение представляет собой удобную форму

записи для Ω.

Рассмотрим отдельные слагаемые в (4.88).

Слагаемое I :

± ctgα dv

;

v

ctgα =

M 2 −1 = z ;

M2 −1 = z 2 ;

1 + z 2 = M2 ;

v2

a

2

2

1

1

1

+

= H = const ;

v

+

= H ;

2 γ −1

2

γ −1 M 2

v

2

=

2H

=

2H (1 + z 2 )

=

2H

(1 + z

2 )

.

1 +

2

1

1 + z

2

+

2

γ +1

γ −

1

z 2

1

+

2

γ −1 1 + z

γ −1

γ −1

γ +

1

Прологарифмируем это выражение:

lnv 2 = ln

2H

+ ln(1 + z 2 )

γ −1

− ln 1 +

z 2

γ +1

γ +1

γ −1

и дифференцируем его:

231

2

γ −1

zdz

2vdv

2zdz

=

−

γ +1

.

v 2

γ −1

1 + z 2

1 +

z

2

γ +1

z 2dz

γ −1

z

2

dz

dv

Тогда

γ +1

ctgα

=

−

=

v

1 + z 2

1 +

γ −

1

z

2

γ +1

γ −1

d

z

γ +1

=

γ +1

−

dz

=d[ω(M)];

γ −1

γ −1

2

1

+ z 2

1 +

z

γ +1

ω(M)=

γ +1arctg

γ −1

(M 2 −1)− arctg M 2 −1 .

(4.89)

γ −1

γ +1

Последнее соотношение называется функцией Прандтля – Майера.

Слагаемое II :

k

vya2

dx

=

(

a2

−v

2

)

vcosΘ

tg Θ − tg

(Θ

α) y

x

= k

vsinΘv2sin2α

dx

=

v2sin2α −v2cos2Θ

)

vcosΘ

sin (Θ − Θ ± α)

y

(

cosΘcos (Θ α)

= k

v3sinΘsin2α

dx

=

v3 (sin2α − cos2Θ)sin (±α) cos (Θ α)

y

sinΘsinα

dx

sinΘsinα

dx

= ±k

y = k

y .

(sin2α − cos2Θ) cos (Θ α)

cos (Θ ± α)

Слагаемое III :

232

Ω

a v2 −a2 dx

=

(

a2

−v

x

2

)

v cosΘ tgΘ − tg (Θ α)

= Ω

v sinα v2 −v2sin2α dx

=

(v sin2α −v2cos2Θ) v cosΘ tgΘ − tg (Θ

α)

= Ω

v sinα cosα dx

= Ω

cosα dx

.

v

2

(

sin2α − cos2Θ

)

cosΘ

tgΘ − tg (Θ α)

v cos (Θ ± α)

В результате приведенных преобразований уравнение (4.88)

можно записать в окончательном виде:

dΘ = ±d ω(M) k

sinΘ sinα

dx +

Ω

cosα

dx ; (4.90)

v cos (Θ ± α)

I

cos (Θ ± α)

y

II

III

v

ds .

Ω =

γRM 2 dn

Плоский случай.

Безвихревое течение ( k = 0;

Ω = 0 ). Из

(4.87′) и (4.90)

dy

= tg(Θ ± α)

,

dx

dΘ = ±d[ω(M)],

dy		= tg(Θ + α);
т.е. I dx
Θ = ω(M)+C			1	;

IIdx = tg(Θ − α);Θ = −ω(M)+C2 .dy

	Здесь первая пара уравнений соответствует характеристике
	y	первого семейства, а вторая – вто-
		рого;	M,Θ,x ,y – неизвестные;

a

1

b

x

Рис. 4.28. Пересечение характеристик разных семейств

α = arcsin M1 .

Рассмотрим три простейшие задачи.

1. Требуется определить точку

1, лежащую на характеристиках разных семейств, и параметры в этой точке (рис. 4.28).

233

	а–1 – характеристика 2-го семейства:
1	1
∫dy = ∫tg(Θ − α)dx ;
a	a
y1 −ya = tg(Θa − αa )(x1 − xa );
Θ1 + ω(M1 )= Θa + ω(Ma );
	b–1 – характеристика 1-го семейства:
	y1 − yb = tg(Θb − αb )(x1	− xb );
	Θ1 + ω(M1 )= Θb + ω(Mb ).

Неизвестные величины здесь x1 ,y1 ,Θ1 ,M1 . Более точное

решение можно найти, если записать

y1 − ya = tg(Θ1 −α1 )+2tg(Θa −αa )(x1 − xa );

y1 − yb = tg(Θ1 + α1 )+ tg(Θb + αb )(x1 − xb ). 2

Это соответствует представлению характеристики в виде параболы. Убедимся в этом на примере последнего соотношения

y − yb = a(x − xb )2 + b(x − xb )+ c .

Дифференцируем его:			dy = 2a(x − xb )+ b .
			dx
Используя граничные условия, получаем
c = 0; b	= tg(Θb + αb );			a =	tg(Θ1 + α1 )− tg(Θb + αb )		.
					2(x1 − xb )
Тогда уравнение характеристики приобретает вид
y1	− yb =	tg(Θb + αb )+ tg(Θ1 + α1 )				(x1 − xb ).
				2

Аналогично можно записать уравнение характеристики второго семейства на участке а-1.

2. Задана точка а в поле течения вблизи твердой стенки. Найти точку пересечения характеристики, проходящей через точку а, со стенкой и параметры в этой точке (рис. 4.29, а).

Для характеристики а–1

y1 −ya = tg(Θa − αa )(x1 − xa ), Θ1 + ω(M1 )= Θa + ω(Ma ).

234

а)		б)
y		y
a		a
b	1	b	1
		•

x

x

Рис. 4.29. Пересечение характеристики с твердой стенкой (а), со свободной границей потока (б)

Уравнение стенки y1 = f (x1 ). Касательная к стенке в точке 1 f ′(x1 )= tgΘ1 .

Эти четыре уравнения позволяют определить x1 ,y1 ,Θ1 ,M1 .

3. Задана точка а около границы потока. Найти точку 1 пересечения характеристики, проходящей через точку а, с границей потока и параметры в этой точке (рис. 4.29,б).

	Для характеристики а–1
		y1 − ya = tg(Θa −αa )(x1 − xa ),
		Θ1 + ω(M1 ) = Θa + ω(M a ).
	Скорость в точке 1 направлена вдоль границы, которая явля-
ется линией тока.
	y1 − yb = tgΘb (x1 − xb ),			либо	более	точно:
y1	− yb =	tgΘb + tgΘ1	(x1 − xb ), где точка b лежит на границе.
	2

Замыкающим соотношением является условие постоянства давления на свободной границе потока, которое определяет число Маха на границе:

p

p

γ −1

−

γ

н

M12

γ−1

1

=

= 1

+

, где M1

= Mb = const .

p0

p0

2

Эти четыре уравнения позволяют определить x1, y1, Θ1, M1 .

Используя три простейшие задачи, можно решить методом характеристик четыре основные задачи: Коши, Гурса, течения около твердой стенки, течения около свободной границы потока.

235

Задача Коши. Задана линия АВ, не являющаяся характеристикой (рис. 4.30). Значения всех параметров на ней предполагаются известными. Требуется определить параметры течения в области АВС, ограниченной заданной линией АВ и характеристиками противоположных семейств ВС и АС, проведенными соответственно из точек В и А. Естественно, положение характеристик ВС и АС заранее неизвестно.

	y
	A	A1			y				B
	M1	N 1	C		M 22
	М2	N 2						N	1 N 2	D
M 2					M 21	K1
		N 3
	M 3				A			K 2
			x		M11		M12		C	x
		B
	Рис. 4.30. Задача Коши					Рис. 4.31. Задача Гурса

Для решения поставленной задачи поступаем следующим образом. Делим линию АВ на маленькие отрезки. Из двух соседних точек этой линии, например из точек M1 и M 2 , проводим отрезки

характеристик M1 N1 и M 2 N 2 противоположных семейств до их пересечения в точке N1 . Теперь решается рассмотренная ранее

первая простейшая задача о пересечении характеристик противоположных семейств, позволяющая рассчитать положение точки N1 и все параметры течения в ней. Аналогично производится рас-

чет всех точек этого ряда и, далее, всей области течения АВС. Задача Гурса. Заданы гидродинамические параметры на ха-

рактеристиках АВ и АС (рис. 4.31). Требуется определить гидродинамические параметры в области АВDС, где СD и ВD – характеристики разных семейств. Аналогично предыдущей задаче разбиваем линии АВ и АС на ряд отрезков. Проводим из точки M11

отрезок характеристики первого семейства и из точки M 21 отрезок характеристики второго семейства до пересечения в точке K1 . Решая теперь, как и в предыдущем случае, первую простейшую задачу о пересечении характеристик противоположных се-

236

мейств, найдем положение точки K1 и значения гидродинамиче-

ских параметров в ней и т.д.

Задача обтекания стенки (рис. 4.32). Около обтекаемой по-

током стенки АС известной геометрии задана характеристика АВ. Значения гидродинамических параметров на ней считаются известными. При расчете течения здесь используются две простейшие задачи: о пересечении характеристик и о пересечении характеристики со стенкой. Так, точку P1 , находящуюся на твердой стенке,

рассчитываем согласно второй простейшей задаче. Далее рассчитываются точки N1, N2,… в соответствии с первой простейшей задачей. Затем определяется точка P2 по аналогии с точкой P1 и да-

лее весь ряд точек K1 , K2 ,... . Расчет заканчивается построением

характеристики ВС, включая точку С, расположенную на стенке. y

B

M 3	N2 KK 2			C	y			B
						M	2
M 2	N 1	1
М1		P	3		M1
	P
	2							C
A	P1			x	A		P2
						P1		x
Рис. 4.32. Задача обтекания стенки					Рис. 4.33. Задача расчета течения
						вблизи границы потока

Задача расчета течения вблизи свободной границы пото-

ка (рис. 4.33). Значения всех гидродинамических параметров на характеристике АВ предполагаются известными. Точка А принадлежит свободной границе потока. Требуется рассчитать поле течения в области, ограниченной заданной характеристикой АВ, характеристикой другого семейства ВС и свободной границей потока АС. Положение свободной границы потока АС, а также характеристики ВС определяется в ходе расчета.

Данная задача решается аналогично предыдущей. Отличие состоит лишь в том, что при расчете точек P1 , P2 ,... вместо за-

дачи пересечения характеристик со стенкой следует решать задачу пересечения характеристик со свободной границей потока.

237