В заключение приведем без вывода выражения градиента, дивергенции и ротора в произвольной ортогональной системе координат, получаемые по формуле (1.42):

∫∫An dS

1

∂A

1

∂A

1

∂A

S

→

e1+

e2 +

e3 ≡ grad A ≡ A ,

V

V →0

H1

∂q1

H2

∂q2

H3 ∂q3

∫∫nAdS

1

∂A1H2H3

+∂A2H1H3 +

∂A3H1H2

→

S

→

≡div A ≡ A,

V

V→0 H H H

∂q

∂q

∂q

1

2

3

1

2

3

→

∫∫n×AdS

1

∂A3H3

−∂A2H2

e1+

1

∂A1H1

−∂A3H3

e2 +

S

→

V

H H

H H

V→0

∂q

∂q

∂q

∂q

2 3

2

3

1 3

3

1

1

→

+

∂A2H2 −

∂A1H1

e3 ≡rot A ≡ ×A

H H

∂q

∂q

1 2

1

2

2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ КАК СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

В этом разделе рассматриваются уравнения, представляющие собой математическую запись основных законов физики применительно к течению жидкости (газа): закона сохранения массы, закона изменения количества движения и закона сохранения энергии. Система уравнений, выражающая только эти основные физические законы, оказывается незамкнутой, так как содержит больше неизвестных функций, чем число уравнений. Для ее замыкания необходимо привлечь дополнительные соотношения, которые описывают более частные физические закономерности и связаны с теми или иными свойствами конкретной среды.

Уравнения основных законов сначала будут получены в интегральной форме для произвольного конечного движущегося объема жидкости, состоящего из одних и тех же элементарных жидких частиц, а затем преобразованы к дифференциальным уравнениям (это в общем случае будут уравнения в частных про-

134

изводных). Будет получен также вид этих уравнений в конкретных случаях, которые представляют практический интерес. В конце раздела мы обратимся к дополнительным соотношениям, описывающим термодинамические и реологические свойства жидкостей и газов.

2.1. Уравнение закона сохранения массы

Рассмотрим закон сохранения массы, который применительно к движущейся жидкости можно сформулировать следующим образом: масса жидкости в произвольном движущемся объеме V , состоящем из одних и тех же жидких частиц, остается неизменной.

Масса жидкости в элементарном объеме равна: dm = ρdV , а в объеме V m = ∫∫∫ρdV . Согласно только что сформулирован-

	V
	ному закону сохранения массы,	dm	= 0 . Тогда, используя фор-
		dt

мулу (1.34), получаем уравнение этого закона в следующей интегральной форме:

∫∫∫	∂ρdV + ∫∫ρvndS = 0 .		(2.1)
V	∂t	S

I II

Здесь первое слагаемое характеризует изменение массы жидкости вследствие изменения плотности в каждой точке внутри объема, а второе – вследствие деформации объема, причем эти изменения должны быть, очевидно, согласованы, чтобы удовлетворить уравнению (2.1).

Используя формулы (1.35) и (1.42), перейдем от интегральной формы записи (2.1) к дифференциальной. В результате получим

∂ρ

+ divρv = 0 ,

(2.2)

∂t

∂ρvy

или

∂ρ

+

∂ρvx

+

+

∂ρvz

= 0 ,

(2.3)

∂t

∂x

∂y

∂z

или

dρ

+ρdivv = 0 .

(2.4)

dt

Уравнение закона сохранения массы в дифференциальной форме называется уравнением неразрывности. Уравнения

135

(2.2) – (2.4) представляют собой различные равносильные формы записи уравнения неразрывности.

Из приведенных уравнений можно легко получить уравнения неразрывности в некоторых важных частных случаях:

• жидкость несжимаема –
ρ = const,					dρ	= 0 , div v = 0 ;					(2.5)
					dt
• движение жидкости установившееся –
∂ρ = 0 ,				div (ρv ) = 0 ;							(2.6)
∂t
• движение установившееся и плоское –
	∂	=	∂	=vz = 0 ,			∂ρvx	+	∂ρvy	= 0 .	(2.7)
	∂t		∂z				∂x		∂y

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи записи уравнения закона сохранения массы в интегральной форме (2.1).

Установившееся движение жидкости в канале перемен-

ного сечения (течение в трубе). Поскольку течение установив-

	шееся, то	∂	= 0 и уравнение (2.1) принимает вид	∫∫ρvn dS = 0 .
		∂t
				S

Стенки трубы предполагаются непроницаемыми и жесткими. Пусть ось x направлена вдоль трубы в сторону течения жидкости. Площадь поперечного сечения трубы F является заданной функцией координаты x . Выделим объём жидкости, ограниченный двумя произвольно выбранными сечениями 1–1 и 2–2, а также боковой поверхностью w стенки трубопровода (рис. 2.1). Обозначим площадь первого сечения F1 , а второго – F2 . Тогда

уравнение закона сохранения массы можно переписать следующим образом

∫∫ρvndS + ∫∫ρvndS + ∫∫ρvndS = 0 .

F1 F2 w

Так как vn		F	= −vx ; vF = +vx ; vn		w	= 0 , то из последнего
			2
	1

уравнения получим

∫∫ρvxdS = ∫∫ρvxdS ,

F1 F2

136

		n	2
1
		v
n			x
	w		n
1	n		2

Рис. 2.1. Течение газа в трубе

Отсюда ввиду произвольности выбора сечений 1–1 и 2–2 заключаем, что для любого поперечного сечения трубы

∫∫ρvxdS =Q = const .

F

Величина Q представляет собой массовый расход жидкости через поперечное сечение площадью F . Другими словами, Q –

это количество жидкости, протекающей через площадь F за единицу времени. Как видно, расход Q один и тот же для любого

сечения, хотя площадь F может изменяться от сечения к сечению. Если ввести средние по сечению плотность и скорость жидкости ρср и vср , то последнее равенство примет вид

Q =ρсрvсрF = const .

(2.8)

Соотношение (2.8) называют часто условием постоянства расхода.

Скачок уплотнения. В сверхзвуковых течениях газа возможно образование областей сжатия, толщина которых является пренебрежимо малой по сравнению с характерным линейным масштабом задачи. Такое явление называют скачком уплотнения (подробнее об этом см. разд. 4). В газовой динамике скачок уплотнения рассматривается как поверхность разрыва параметров течения. Выделим элементарную площадку на поверхности разрыва. В бесконечно малой окрестности по обе стороны этой площадки течение можно считать плоским.

137

Схема перетекания газа через скачок уплотнения показана на рис. 2.2, где τ и n – касательный и нормальный к поверхности скачка единичные векторы, β – угол поворота потока, σ – угол

наклона скачка. Все параметры потока перед скачком обозначаются индексом 1, а за скачком – индексом 2. Поскольку течение газа через скачок уплотнения установившееся, то, полагая

∂ ∂t =	0 и исходя из интегральной формы записи закона сохра-
нения массы (2.1), получим
ρ1	(−v1n ) 1 + ρ2v2n 1 = 0 , ρ1v1n = ρ2v2n .	(2.9)

Последнее соотношение представляет собой не что иное, как закон сохранения массы при перетекании газа через скачок уплотнения.

а)

	τ	σ
	v2n
v2τ
	v2	β
v1
v1τ	n
v1n
		τ
б)	1
		v2n
	v	2
v1		2τ
		v2
v1n	v1τ	n

1

2

Рис. 2.2. Скачок уплотнения

138