152

f (p,ρ,T ) = 0 .

откуда, с учетом закона сохранения массы на скачке уплотнения

			p		v 2				p		2		v	2
(2.9), получим U	1	+	1	+	1	=U	2	+				+		2	, что равносильно
			ρ						ρ
					2					2			2
			1
сохранению полного теплосодержания
				H1 = H 2 .											(2.37)

Неустановившееся истечение газа из сосуда конечного объема через малое отверстие (см. рис. 2.3). Используя упрощаю-

щие предположения, изложенные в том же примере в подразд. 2.1 при записи закона сохранения массы (см. соотношение (2.10)), а также пренебрегая теплообменом с окружающей средой, уравнение энергии (2.29) для газа в сосуде можно записать в виде

dρ U

v 2

V

0 0

+ ρ

+

a

= −p

v

F .

(2.38)

dt

U

2

v F

a

a

a a

a

a a

2.4. Уравнения термодинамического состояния

Рассмотренные выше уравнения основных законов механики и физики не образуют замкнутую систему. С физической точки зрения это означает, что они справедливы для очень широкого класса движений сплошных сред: не только для жидкости и газа, но и для деформируемого твердого тела, которое также может рассматриваться как сплошная среда. Для расчета конкретного течения, очевидно, необходимо конкретизировать свойства жидкости или газа. Такая конкретизация связана, прежде всего, с заданием термодинамической и реологической моделей (последняя описывает связь между термодинамическими и деформационными параметрами среды и напряжениями в этой среде), а также модели теплопроводности. Используемые при этом соотношения можно рассматривать как замыкающие систему основных уравнений.

Обратимся сначала к термодинамичекой модели жидкости или газа и рассмотрим термическое уравнение состояния, которое устанавливает связь между плотностью, давлением и температурой. В общем виде оно может быть записано следующим образом:

(2.39)

Для случая несжимаемой среды уравнение состояния можно записать так:

ρ = const .					(2.40)
При небольших изменениях давления для капельной жидко-
сти справедлив закон Гука:			p − p0
	ρ−ρ0	=		,	(2.41)
	ρ0		K ж
где ρ0 – плотность при p0 , Kж			– модуль объемной упругости

жидкости (справочная величина), который при небольших изменениях давления и температуры можно считать постоянным.

Если рассматриваемая cреда представляет собой термодинамически идеальный (совершенный) газ, то для нее справедливо уравнение Клапейрона:

p = ρRT .

(2.42)

Для реальных газов иногда приходится пользоваться уравнениями состояния, полученными при некоторых частных предположениях относительно внутренней структуры газа. Наиболее известным для реальных газов является уравнение Ван-дер- Ваальса:

	1
(p + αρ2 )		−b = RT ,	(2.43)
	ρ

где параметр α характеризует силы взаимодействия между молекулами, b – собственный объем молекул.

Наряду с термическим необходимо задать калорическое уравнение состояния, которое устанавливает связь между удельной внутренней энергией, температурой и давлением. В дальнейшем мы будем использовать модель совершенного газа, для которого термическое уравнение состояния имеет вид U = cVT , и модель

несжимаемой среды, для которой U = cT (c – удельная теплоемкость несжимаемой среды, которая, очевидно, одна и та же при постоянном объеме и постоянном давлении).

2. 5. Вязкие напряжения и теплопроводность

Обратимся теперь к соотношениям, описывающим вязкие напряжения и перенос тепла за счет теплопроводности в жидкостях и газах. Эти соотношения существенно зависят от характера

153

движения жидкости. Течение может быть плавным или, как говорят, ламинарным, когда движущиеся слои жидкости не перемешиваются, а может быть турбулентным, в котором осуществляется интенсивное перемешивание жидкости. Рассмотрим эти два режима.

При ламинарном течении жидкости, когда все линии тока параллельны оси x , напряжение трения определяется соотношением

	τxy = μ	∂vx	,	(2.44)
		∂y

согласно которому трение между слоями жидкости пропорционально интенсивности изменения скорости по нормали к направлению движения. Коэффициент пропорциональности μ называется коэффициентом динамической вязкости. Он не зависит от поля скорости, а определяется лишь физическими свойствами жидкости и ее температурой (влияние давления на величину μ очень слабое). Соотношение (2.44) называется законом трения Ньютона.

Количество тепла, переносимое в рассматриваемом простейшем течении через единичную площадку в направлении оси y в единицу времени, определяется соотношением

q y	= −λ	∂T	.	(2.45)
		∂y

Коэффициент λ называется коэффициентом теплопроводностии. Он, так же как и μ , зависит, главным образом, от температуры. Соотношение (2.45) называется законом теплопроводности Фурье. В ламинарных течениях явления теплопроводности и вязкости связаны с одним и тем же молекулярным механизмом переноса импульса и тепловой энергии. Закон теплопроводности Фурье аналогичен закону трения Ньютона.

В случае пространственного движения жидкости соотношения для компонент тензора вязких напряжений сложнее. Мы приведем их без вывода и, для общности, в произвольной ортогональной системе координат:

154

1

∂v

v

2

∂H

v

3

∂H

μ′ −

2

τ11

= 2μ

1

+

1

+

1

+

3

μ

divv,

H1

∂q1

H1H2 ∂q2

H1H3 ∂q3

1

∂v

v

3

∂H

v

∂H

2

→

τ22

= 2μ

2

+

2

+

1

2

+

μ′ −

3

μ

divv ,

H2 ∂q2

H2H3 ∂q3

H1H2 ∂q1

1

∂v

v

∂H

v

2

∂H

2

→

τ33

= 2μ

3

+

1

3

+

3

+

μ′ −

μ divv ,

3

H3 ∂q3

H3H1 ∂q1

H2H3 ∂q2

(2.46)

1

∂v

1

∂v

1

∂H

∂H

1

τ12 = τ21 = μ

+

2

−

v1

1

+v2

2

,

∂q2

H2

H1 ∂q1

H1H2

∂q2

∂q1

1

∂v

1

∂v

1

∂H

∂H

τ23 = τ32 = μ

2

+

3

−

v2

2 +v3

3

,

H3

∂q3

H2 ∂q2

H2H3

∂q3

∂q2

1

∂v

1

∂v

1

∂H

∂H

τ13 = τ31 = μ

1

+

3

−

v1

1

+v3

3

,

∂q3

H1H

H3

H1 ∂q1

3

∂q3

∂q1

divv =

1

∂v1H2H3 + ∂v2H3H1

+ ∂v3H1H2 .

H1H2H3

∂q1

∂q2

∂q3

Здесь μ′ – так называемый коэффициент второй вязкости. Он

учитывается, например, в случае быстро протекающих процессов с неравновесным возбуждением колебательной энергии молекул. В случае если жидкость движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, то в ней возникают только нормальные напряжения. В обычной гидромеханике и газовой динамике входящие в (2.46) коэффициенты μ и μ′ не зависят от поля скоростей. Соот-

ношения (2.46) иногда называют обобщенным законом Ньютона для вязких напряжений. В случае декартовой системы координат сотоношения (2.46) принимают вид

τxx

= 2μ

∂v

x

+ ζdivv ;

τyy

= 2μ

∂vy

+ ζdivv ;

∂y

∂x

∂vz

∂vx

∂v

y

τzz

= 2μ

+ ζdivv ;

;

(2.47)

∂z

τxy = τyx

= μ

∂y

+

∂x

∂vx

∂vz

∂v

y

∂vz

τxz

= τzx = μ

+

∂x

;

τyz = τzy = μ

∂z

+

∂y

.

∂z

155

где ζ = μ′ − 23 μ (величину ζ называют коэффициентом объемной

вязкости). Из (2.47) видно, что компоненты тензора вязких напряжений τik суть линейные функции компонент тензора скоро-

стей деформаций εik (см. (1.26)).

Закон теплопроводности Фурье (2.45) в случае произвольно-

го ламинарного течения может быть представлен в виде

q = −λ T .

(2.48)

Оператор градиента в криволинейных ортогональных коор-

3

→

ek

∂

динатах выражается следующим образом:

= ∑

, и со-

∂q

=

H

k

k

отношение (2.48)

можно переписать так:

k 1

→

3

→

∂T

e

k

q = −λ∑

.

(2.49)

k=1 Hk ∂qk

Компоненты

вектора

q вычисляются соответственно по

формуле qk = −

λ

∂T

(k = 1,2,3) . В декартовой системе ко-

H k

∂qk

ординат

∂T

∂T

∂T

qx = −λ

;

q y

= −λ

;

qz

= −λ

.

(2.50)

∂x

∂y

∂z

Коэффициент динамической

вязкости

μ для газов (в том

числе для воздуха) в очень широком диапазоне температур и давлений (200 К < T < 2500 К; 103 Па < p < 108 Па) практически не зависит от давления. Для описания зависимости коэффициента μ

от температуры часто используют формулу Сатерленда:

	μ = μ0	273 +C			T		32
							,	(2.51)
		T +C			273
где μ0 – коэффициент вязкости при T0 = 273˚; C – постоянная
Сатерленда; T –	абсолютная		температура. Для					воздуха
μ0 = 1,71 10−5 Н·с/м²	и C =117 К. Иногда зависимость вязкости

воздуха от температуры при небольших перепадах температур вычисляют по более простой формуле:

156

		n
	T		(2.52)
μ = μ0		.
T0
Для температур, близких к обычным, принимают n = 0,76 .
Из коэффициентов динамической вязкости			и теплопровод-

ности λ , а также удельной теплоемкости (обычно берут теплоемкость при постоянном давлении c p ) можно составить безраз-

мерную комбинацию Pr =cpμ / λ , которая называется числом

Прандтля. Это число для газов слабо изменяется в довольно широком диапазоне температур и давлений. Для воздуха обычно принимают Pr ≈ 0,7 . Удельная теплоемкость для воздуха при не

очень больших температурах (T < 600 К) также является практически постоянной величиной. Из определения числа Прандтля можно выразить коэффициент теплопроводности в виде λ = (c p/Pr)μ . Отсюда следует, что при условиях, когда

c p / Pr ≈ const , величина λ фактически пропорциональна μ . Та-

ким образом, для газов коэффициенты вязкости и теплопроводности растут с увеличением температуры.

Перейдем теперь к рассмотрению турбулентного движения жидкости. Развитое турбулентное течение, в отличие от ламинарного, является нестационарным и характеризуется наличием мелкомасштабных неоднородностей в потоке вследствие интенсивного перемешивания слоев жидкости. Трение и тепловой поток в таком течении определяются не столько молекулярным переносом импульса и тепловой энергии, как при ламинарном режиме, сколько перемещением больших групп молекул, что вызывает пульсации параметров потока, т.е. их отклонение от некоторых средних значений в каждой точке. Точные теоретические соотношения для напряжения трения и теплового потока в турбулентных течениях до настоящего времени не установлены, и для моделирования этих величин широко используются различные полуэмпирические гипотезы и предположения, основанные на правдоподобных рассуждениях и опытных данных.

Одна из простейших полуэмпирических моделей турбулентности основана на так называемой теории пути смешения (иногда говорят «пути перемешивания») Прандтля. Эта теория была развита для «сдвиговых» течений, в которых имеется преимуществен-

157

ное направление движения жидкости (вдоль оси x ), а существенное изменение параметров происходит в поперечном направлении (в направлении оси y ). Примерами таких течений могут служить

течения в трубах, в пристеночных пограничных слоях, в струях и т.п. Путь смешения l вводится с помощью соотношения

vy′ = l	∂v	x .	(2.53)
	∂y

Здесь и далее черта сверху обозначает осредненную величину того или иного параметра течения, а штрих – его пульсационную составляющую, т.е. отклонение истинного значения параметра от его средней величины. Путь смешения l представляет собой такое расстояние, отсчитываемое в направлении, перпендикулярном течению, при перемещении на которое скорость изменяется на величину пульсационной составляющей. Аналогичным образом вводится путь смешения lт для температуры:

T ′ =lт	∂T		.	(2.54)
	∂y

Далее напряжение трения и тепловой поток в турбулентном течении определяются соотношениями, аналогичными формулам

(2.44) и (2.45): τxyт = μт ∂∂vyx , qyт = λт ∂∂Ty . Коэффициенты турбу-

лентной вязкости μт и теплопроводности λт в теории Прандтля определяются через пульсационную скорость и пути смешения l и

lт как μт = ρl

vy′

= ρl2

∂v

λт = ρc plт

vy′

∂v

∂yx

и

= ρllтc p

∂yx

.

Подставляя эти соотношения в выражения для τxyт

и qyт , получим

2

2

т

= ρl

∂v

x

(2.55)

τxy

,

∂y

qyт

= ρl lтc p

∂v

x

∂T .

(2.56)

∂y ∂y

Формулы (2.55) и (2.56) можно получить с помощью анализа размерностей либо из физических соображений. Эти формулы представляют собой основные соотношения рассматриваемой полуэмпирической теории турбулентности Прандтля.

158