F

Fкр

1
0	1	М
Рис. 3.3. Газодинамическая функция ϕ =		1		=	F
		q(M)			Fкр

Выражение секундного расхода газа удобно записать через газодинамические функции:

	2			γ+1	γ	p		F
				2( γ−1 )			0		q(M).
Q =
	γ +1				R	T0

Эта формула часто используется в расчетах, поскольку выражает расход через параметры торможения ( p0 , T0 ) и

число	Маха				в			данном	сечении.	Множитель
		2			γ+1		γ
					2(γ−1)
Γ(γ, R)≡								= const зависит лишь от сорта газа.
		γ +1					R

3.5. Некоторые примеры применения уравнения Бернулли

Истечение жидкости из резервуара под действием сил тяжести (рис. 3.4). Жидкость капельная несжимаемая. Параметры жидкости в сечениях 1–1 и 2–2 свяжем уравнением закона

сохранения массы:

ρ1v1F1 = ρ2v2F2 ;

ρ1 = ρ2 = ρ

и уравне-

p

v 2

p

2

v 2

нием Бернулли:

gz1 +

1

+

1

= gz2 +

+

2

.

Поскольку

ρ

2

ρ

2

178

p1 = p2 = pн , где pн – давление окружающей среды, то при F2 << F1 v1 <<v2 , откуда получим v2 = 2g(z1 − z2 ) .

F1 v1

z1

F2 v2

z 2

Рис. 3.4. Истечение тяжелой жидкости из резервуара

Последняя формула была установлена впервые в 1644 г. опытным путем итальянским ученым Торичелли.

Определение скорости потока с помощью трубки Пито– Прандтля (рис. 3.5). Рассмотрим течение несжимаемого газа ( ρ = const ). С помощью трубки Пито–Прандтля измеряется пере-

	пад давлений в коленах манометра					p = p0 − p∞ . В этом случае
	из уравнения Бернулли	v∞2		+	p∞	=	p0	определим величину
			2		ρ		ρ
	скорости потока: v∞ =	2 p .
		ρ

p∞

p∞ v∞

p0

Рис. 3.5. Измерение скорости потока с помощью трубки Пито

179

Рис. 3.6. Температура торможения

TA = T0

Оценка влияния сжимаемости на давление торможения в дозвуковом потоке. Сравним две формы записи уравнения Бер-

нулли: для несжимаемой жидкости

v

2

+

p

=

p0

и для сжимае-

2

ρ

ρ

мой

v 2

+

γ

p

=

γ

p0

. Из первого уравнения найдем

2

γ −1

ρ

γ −1

ρ0

p0 − p

=

ρv 2

2p ,

(3.46)

p

а из второго

ρv2

p

0

− p

=

+

1

M2

+

.

(3.47)

1

...

p

4

2p

Из сравнения (3.46) и (3.47) видим, что

ε =

1 M2 + ...

(3.48)

4

представляет собой поправку на сжимаемость.

Если положить, например,

ε = 0,01 , то

M = 0,2

и, принимая

значение скорости звука

a = 340м / с

для воздуха при нормаль-

ных атмосферных условиях, получаем

v 70м/с ; если положить

ε = 0,05 , то соответственно получаем M = 0,45 и

v 150м/с. От-

сюда видно, что с ростом числа Маха и, соответственно, скорости потока разница в давлении торможения при расчете по формулам для несжимаемой и сжимаемой жидкости возрастает. Обычно газ считают несжимаемым, если M ≤ 0,3 .

Температура торможения в лобовой точке быстро ле-

	тящего тела. Рассмотрим обте-
	кание затупленного тела (рис. 3.6).	v∞ , T∞
	Возьмем на его поверхности точ-
	ку, в которой скорость газа равна	vA = 0
	нулю (точка А на рисунке), т.е.	А
	v A = 0 . Эту точку называют точ-
	кой торможения. Температура газа
	в ней максимальна и является
	температурой торможения, т.е.

TA = T0 . Определим повышение температуры газа в точке

180

T0

А.

v2

Из уравнения Бернулли T = T0 −T∞ = ∞ . Для воздуха γ =1,4 , 2c p

c p ≈1000 Дж/(кг К) , и в системе единиц измерения СИ получим

	T	v∞2	. Отсюда, например,	при v∞ =100 м/с получим
		2000
	T = 5 К , при v∞ =1000 м/с –			T = 500 К, а при v∞ = 2000 м/с

T = 2000 К . Расчет температуры торможения при очень больших скоростях (v∞ > 2000 м/с) дает завышенное значение. Фак-

тическая температура в точке торможения получается ниже, чем по приведенной формуле, ввиду того, что при высоких температурах в газе протекают физико-химические реакции с поглощением энергии, что приводит к уменьшению температуры. Этот эффект в данной теоретической оценке не учитывается.

О проблеме "звукового барьера". При приближении скоро-

сти полета летательного аппарата к скорости звука ( M∞ ≈ 0,7 − 0,8 ) в окрестности тела возникают области перехода

через скорость звука и местные сверхзвуковые зоны (рис. 3.7). Даже из простых соотношений одномерной газодинамики (см. приведенные выше формулы для газодинамических функций

M =1

M >1 M <1

M < M ∞ <1

Рис. 3.7. К вопросу о “звуковом барьере”

q(M),π(M)) видно, что околозвуковой поток весьма чувствите-

лен к малому изменению площади проходного сечения. Это означает, что даже незначительные колебания тонкой обшивки летательного аппарата могут вызывать заметные колебания местного значения числа Маха, и, соответственно, величины давления

181