на поверхности тела (см. график изменения функций q(M) и π(M) в окрестности значения M =1), что создает не только воз-

растание сопротивления летательного аппарата, но и появление нестационарных нагрузок.

3.6. Установившееся истечение газа из сосуда через отверстие

Будем считать, что площадь поперечного сечения отверстия

Fa мала в сравнении с площадью
поперечного сечения сосуда и в				pн
сосуде поддерживаются постоян-		v0	≈ 0
ные параметры. Процесс истече-				a
ния рассматривается как стацио-		p0
нарный. При этих условиях мож-				va
но полагать, что газ внутри сосу-		ρ0
да неподвижен и его параметры				a
являются параметрами торможе-		T0
ния для	истекающего газа, т.е.
v0 = 0,	p0 , ρ0 , T0 (рис. 3.8).
Предположим также, что процесс		Рис. 3.8. Истечение газа из со-
истечения не сопровождается те-			суда через отверстие

плообменом газа со стенками сосуда и с окружающей средой. Выясним, как зависят характеристики истечения (секундный

расход газа через отверстие, скорость истечения и др.) от отношения давления в окружающей среде ( рн ) к давлению в сосуде ( p0 ). Весь изучаемый диапазон режимов истечения лежит в пре-

делах 0 ≤ рн / р0 ≤ 1.

Для решения поставленной задачи используем следующие уравнения.

Уравнение расхода, выражающее его величину через параметры газа в отверстии:

Q = ρavaFa .

(3.49)

Уравнение Бернулли, дающее связь между параметрами газа в сосуде и в отверстии:

v2

+

γ p

=

γ

p

0

.

(3.50)

a

a

γ −1 ρ

γ −1

ρ

2

0

a

182

Уравнение адиабатичности:

	pa	=	p0	.	(3.51)
	ρaγ		ρ0γ
Наконец, уравнение Клапейрона:
	pa = ρa RTa .				(3.52)

Исходная система четырех уравнений содержит пять неизвестных величин: Q, va , pa , ρa ,Ta . Недостающее условие мы

сформулируем позже, исходя из физических особенностей изучаемого процесса.

Из уравнения Бернулли с учетом условия адиабатичности получаем формулу для определения скорости газа в отверстии (в сечении a − a на рис. 3.8):

γ−1

va

2γ

p0

pa

2γ

p0

pa

γ

=

−

=

1

−

.

(3.53)

γ −

1

ρ

ρ

γ −1

ρ

p

0

a

0

0

Соотношение (3.53) называют иногда формулой Сен-Венана. Из (3.53) следует, что величина скорости истечения определяется не только свойствами газа и параметрами торможения в сосуде, но и отношением давлений в отверстии pa и в сосуде

р0 . Подставив (3.51) и (3.53) в (3.49), можно получить формулу для определения величины секундного расхода:

p

2

p

γ+1

2γ

a

γ

a

γ

Q =

p0

F

,

γ −1

ρ0

p0

−

p0

a

которую можно преобразовать к виду

	2			γ+1	γ	p	F
				2( γ−1 )
Q =							0 a q(M	a	).	(3.54)
	γ +1				R		T0

Из (3.54) явствует, что при заданных параметрах газа в сосуде величина секундного расхода определяется только значением функции q(M).

Анализ зависимости q(M) (рис. 3.9) и приведенных выше формул с учетом особенностей дозвуковых и сверхзвуковых те-

183

чений позволяет получить недостающее условие, замыкающее исходную систему уравнений. Это условие оказывается различным для большого перепада давлений в сосуде и в окружающей среде (в этом случае имеем так называемый критический режим истечения) и для небольшого перепада давлений (докритический режим истечения). В первом случае число Маха в отверстии равно единице, во втором давление истекающего газа в отверстии равно наружному давлению.

1 q(M )

0	1	М
Рис. 3.9. Газодинамическая функция q(M)

Итак, в зависимости от отношения давлений в окружающей среде и в сосуде можно наблюдать два режима истечения газа.

Критический режим (иногда его называют сверхкритическим, имея в виду сверхкритическое отношение давлений pн p0 ).

Этот режим реализуется в диапазоне отношений давлений

γ

0 ≤ pн ≤ 2 γ−1 . p0 γ +1

Число Маха в отверстии Ma =1 . Давление в отверстии равно критическому значению:

γ

2

p

γ −1

p

= x

p

a

=

0

0

.

γ +1

Скорость газа в отверстии равна критической:

	va =aкр	=	2γ	p0	.
			γ +1	ρ0

Расход газа через отверстие равен максимально возможному значению:

184

			2			γ+1		γ	p	F
						2(γ−1)
Q = Q		=								0 a .
	max		γ +1					R		T0

Параметры истечения в этом режиме не зависят от давления в окружающей среде pн.

Докритический режим. Этот режим имеет место в диапазоне давлений:

				γ			p
	2
				γ −1
						<	н	≤ 1 .
	γ +1
							p0

Давление в отверстии при этом режиме равно наружному pa = pн . Число Маха определяется с помощью изэнтропическо-

го соотношения

						−	γ−1
	2			pн			γ
Ma =								−1 .
				p0
	γ −1

Скорость звука в отверстии

						γ −1				−	1
a		=a			+				2		2	.
				1				M
						2
	a		0						a

Скорость газа в отверстии va = Maaa . Ее можно определить и по формуле (3.53) при условии pa p0 = pн p0 .

Расход газа через отверстие меньше максимально возможного и определяется по формуле (3.54), в которой принимается

γ +1

γ+1

2( γ−1 )

2

q(Ma )= Ma

.

γ −1

γ+1

+

2

2( γ−1 )

1

Ma

2

Параметры истечения на этом режиме существенно зависят

от отношения давлений pн

p0 .

Сказанное наглядно

иллюстрируется тремя графиками

(рис. 3.10), характеризующими изменение давления в отверстии

185

pa p0 , числа Маха в отверстии ( Ma ) и секундного расхода

газа через отверстие

Q Qmax в зависимости от отношения дав-

лений в окружающей среде и в сосуде pн

p0 .

а)

б

)

ра

М

Mаa

р0

1

x

p

н

pн

0

x

p

0

0

x

1

p0

Q

в)

QmaxQ Qmax

1

	0		pн
		x	p0

Рис. 3.10. Зависимость давления в отверстии pa (а), числа Маха в отверстии Ма (б) и расхода через отверстие Q (в) от давления

вокружающей среде pн

За м е ч а н и е. Если истечение из сосуда происходит через расширяющийся насадок, то расходная характеристика может существенно отличаться от случая истечения через обычное отверстие. На рис. 3.11 кривая 1 описывает истечение газа через обычное отверстие, кривая 2 – одномерное изэнтропическое дозвуковое истечение газа через расширяющийся насадок, кривая 3 соответствует действительному течению через насадок.

186