Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Начертательная геометрия

Файл:

начертательная геометрия шаг за шагом.pdf

Скачиваний:

2967

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ШАГ 5. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Прямая по отношению к плоскости может занимать всего два возможных положения: либо прямая пересекает плоскость, либо параллельна ей. Рассмотрим сначала случай, когда прямая пересекает плоскость и на чертеже необходимо построить проекции точки этого пересечения.

5.1. Точка встречи прямой с плоскостью общего положения

Итак, мы должны найти точку, принадлежащую одновременно как прямой, так и плоскости. Нам уже известно, что точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой, а точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, задача сводится к нахождению общей точки двух прямых: заданной и принадлежащей плоскости. Заданная прямая у нас есть, а где же взять прямую, принадлежащую плоскости? Причем нам нужна такая прямая, чтобы она пересекалась с заданной. Две прямые линии пересекутся только в том случае, если они лежат в одной плоскости. Вот эту плоскость (вспомогательную) мы и должны задать.

Как мы уже выяснили из предыдущего шага, легче всего оперировать с проецирующими плоскостями. Поэтому в качестве вспомогательной плоскости мы возьмем плоскость проецирующую, причем такую, в которой лежит заданная прямая.

Обратимся к рис. 5.1,а, где содержатся исходные данные для определения точки встречи прямой l с плоскостью α , заданной следами. Введем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость β так, чтобы прямая l лежала в ней. Это сделать очень просто, так как проецирующая плоскость обладает свойством собирательности и в данном случае фронтальная проекция прямой и фронтальный след вспомогательной плоскости совпадут (рис. 5.1,б). Построим линию пересечения плоскости общего положения α и вспомогательной проецирующей плоскости β (кто забыл, как это делается, см. шаг 4). По точкам 1 и 2 ,принадлежащим обеим плоскостям, можно построить линию пересечения плоскостей – это прямая k (рис. 5.1,в). Заключительный этап – нахождение искомой точки A как точки пересечения прямых l и k.

l" f0a

l'		h0a
	à
l" f0b	k"	f0a
l" f0b	k"
	1"
x	1'	2"

l'	2'h0a

â k'

l"	f0b	f0a

l'		h0a
	á
l" f0b	k"	f0a
l" f0b	k"
	1"	A"
x	1'	A"
x	1'	2"
		A'

l' 2' h0a

ã k'

Рис. 5.1

Таким образом, алгоритм нахождения точки встречи прямой с плоскостью методом вспомогательной проецирующей плоскости можно сформулировать следующим образом:

1.Заключаем заданную прямую l во вспомогательную проецирующую плоскость .

2.Определяем проекции линии пересечения заданной плоскости со вспомогательной плоскостью (прямая k).

3.Ищем общую точку прямых l и k. Это искомая точка A.

Проиллюстрируем рассмотренный алгоритм примером, исходные данные которого приведены на рис. 5.2,а. Здесь требуется найти точку пересечения прямой l с плоскостью, заданной двумя пересекающимися прямыми a и b, т.е. α (a,b). Заключаем прямую l во вспомогательную фронтальнопроецирующую плоскость β (рис. 5.2,б). Строим проекции прямой k – линии пересечения двух

плоскостей (рис. 5.2,в). Определяем искомую точку A как точку пересечения прямых l и k.

l"	a"	l"	a"
	a"		a"
			f0b
			f0b
	b"		b"
	b"		b"
	a'		a'

l'		b'	l'	á	b'
	à			á
	à
l"	f0b k"	a"	l"	f0b k"	a"
l"	f0b k"		l"	f0b k"
	1"	2"		1" A" 2"	b"
x		b"	x		b"
x			x
		a'			a'
	1'			1'
		2' b'		A'
l'		2' b'	l'	2'	b'
	â	k'		ã	k'
	â		Рис. 5.2	ã

Еще один пример показан на рис. 5.3. Здесь определяется точка встречи прямой l с плоскостью, заданной треугольником ABC. В данном случае прямая l заключена во вспомогательную го- ризонтально-проецирующую плоскость β. Линия пересечения заданной плоскости со вспомога-

тельной – прямая 1-2 (обозначать эту прямую отдельным символом не обязательно). Искомая точка пересечения – точка D. На рис. 5.3,а приведена аксонометрическая иллюстрация алгоритма, а на рис. 5.3,б – само решение на ортогональном чертеже.

Рассмотрим еще один метод построения точки встречи прямой с плоскостью – метод конкурирующих прямых. Обратимся к чертежам предыдущих примеров. Взгляните на рис. 5.1,г и 5.2,г. Прямые l и k конкурирующие, их фронтальные проекции совпадают. Прямая l задана, а прямая k конкурирует с l, но принадлежит заданной плоскости α . Мы знаем, что две конкурирующие прямые задают проецирующую плоскость, но не всегда при решении задач эта плоскость используется явно.

	B			p2			B"
				p2	l"			2"
l b
			2
	1 D		2				D"	C"
				C		1"	D"
					A"
A
A
A'	B'	D'					B'	l h0b
A'		D'	2'	C'	p1		B'	l h0b
	1'		2'				D'
								2'
l h0b					A'
					A'
						1'		C'
						1'		C'
		à			Рис. 5.3		á

Давайте решим задачу на построение точки встречи прямой l с плоскостью α (рис. 5.4,а), не используя вспомогательную проецирующую плоскость в явном виде. Введем вспомогательную прямую k, конкурирующую с прямой l. Поскольку эти прямые конкурирующие, одна из их проекций совпадает. В данном случае мы выбрали прямую k так, чтобы совпали фронтальные проекции прямых k и l (рис. 5.4,б), но в общем случае можно задать конкурирующую прямую так, чтобы совпали любые из заданных проекций. Прямая k принадлежит плоскости α. Мы знаем ее фронтальную проекцию. По точкам 1 и 2, принадлежащим плоскости α, построим горизонтальную проекцию прямой k (рис. 5.4,в). Там, где прямые l и k пересеклись, будет лежать искомая точка A (рис. 5.4,г).

f0a		l"	f0a		l"	k"
x			x
h0a		l'	h0a		l'
h0a			h0a
		à			á
f	0a	l"	k"	f0a	l"	k"
f				f0a	l"	k"
		2"			2"
x	1"	2'	x	1"	A"
x	1"	2'	x	1"	2'
		k'			k'
		k'			A'
					A'
h0a	1'	l'	h0a	1'		l'
h0a	1'	â		1'	ã
		â	Рис. 5.4		ã
			Рис. 5.4
			56

Таким образом, алгоритм построения проекций точки встречи прямой с плоскостью методом конкурирующих прямых можно сформулировать следующим образом:

1.Вводим вспомогательную прямую, конкурирующую с заданной и принадлежащую заданной плоскости (прямая k).

2.По двум точкам, принадлежащим заданной плоскости, определяем недостающую проекцию вспомогательной прямой (точки 1 и 2).

3.Ищем общую точку заданной и вспомогательной прямых (точка A – точка пересечения прямых l и k).

Если Вы разобрались в сути двух алгоритмов, то наверняка поняли, что они различаются лишь формально, а по существу одинаковы. Какой алгоритм использовать? Тот, который Вам понятней.

Учтите, что правильно решенная – это не только правильно начерченная, но и правильно объясненная задача. Вы должны (на занятии, зачёте, экзамене) продемонстрировать понимание сути применяемого алгоритма, пространственнойидеи решения задачи, уметь доказатьправильностьрешения.

Допустим, Вам предложено доказать правильность решения только что рассмотренной задачи (см. рис. 5.4,г), т.е. доказать, что точка A – действительно точка встречи прямой с плоскостью. Давайте докажем.

Итак, точка встречи прямой с плоскостью – это точка, принадлежащая как прямой, так и плоскости. Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат соответствующим проекциям

прямой. A′ лежит на l′, а A′′ – на l′′, следовательно, точка A принадлежит прямой l. Точки 1 и 2 принадлежат плоскости α, поэтому прямая k, проходящая через эти две точки, тоже принадлежит плоскости α. A′′ лежит на k′′, A′ – на k′, значит, точка A принадлежит прямой k, а следовательно, и плоскости. Таким образом, найденная точка A принадлежит и прямой l, и плоскости, а следовательно, является точкой встречи прямой с плоскостью.

Рассмотрим задачу на определение точки встречи прямой l с плоскостью α (рис. 5.5,а). В этом случае метод конкурирующих прямых является более доходчивым. Вводим вспомогательную прямую k, конкурирующую с прямой l (рис. 5.5,б). Прямая k принадлежит плоскости α. Обратите внимание, что фронтальная проекция прямой k параллельна фронтальному следу плоскости. Следовательно, k – фронталь плоскости α.

Для построения горизонтальной проекции этой прямой не надо брать две точки в плоскости, достаточно только одной (рис. 5.5,в), так как хорошо известно, что горизонтальная проекция фронтали параллельна оси X. Искомая точка пересечения прямой с плоскостью найдется как точка пересечения прямых l и k (точка A на рис. 5.5,г).

Для тренировки попробуйте решить эту же задачу, только в качестве вспомогательной прямой, конкурирующей с прямой l, возьмите горизонталь плоскости. На рис. 5.6 приведено такое решение для тех, кто не справился самостоятельно.

5.2. Определение видимости прямой относительно плоскости

Вернемся к задаче о построении точки встречи прямой с плоскостью, представленной на рис. 5.3. Считая, что в пространстве заданы прямая и непрозрачная плоскость (треугольник ABC), определим на проекциях видимые и невидимые части прямой l при условии, что плоскость бесконечна.

Прямая пересекает плоскость в точке D. Нанесем на эту прямую для удобства рассуждения две точки E и F, расположенные по разные стороны от точки D, и рассмотрим видимость на горизонтальной проекции. На рис. 5.7,а приведено аксонометрическое изображение задачи, на рис. 5.7,б – ортогональный чертеж. Совершенно ясно, что видимость прямой относительно плоскости изменится в точке их встречи. Следовательно, на горизонтальной проекции будет виден либо отрезок DE, либо отрезок DF.

Возьмем две вспомогательные конкурирующие точки 3 и 4, горизонтальные проекции которых совпадают, одна из которых (точка 3) принадлежит прямой, а другая (точка 4) – плоскости. Следовательно, фронтальная проекция точки 3 будет на фронтальной проекции прямой l, а фронтальная проекция точки 4, принадлежащей плоскости, – на фронтальной проекции стороны AC треугольника ABC (рис. 5.7,в и г).

Определим, какая из этих двух точек будет ближе к наблюдателю, т.е. у какой из них координата z будет иметь большее значение. У точки 3 координата z больше, следовательно, на горизонтальной проекции участок ED прямой l будет видимым. Совершенно очевидно, что при этом участок DF невидим (рис. 5.7,д и е).