ШАГ 6. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
6.1. Пересечение двух плоскостей
Мы уже говорили о том, что две плоскости пересекаются по прямой, принадлежащей одновременно каждой из плоскостей. Поскольку положение прямой в пространстве однозначно определяется двумя точками, можно сделать вывод, что для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно найти две точки, каждая из которых принадлежит обеим пересекающимся плоскостям.
Рассмотрим задачу построения линии пересечения плоскостей, заданных следами.
На рис. 6.1,а приведены исходные данные этой задачи. В данном случае мы видим, что в пределах чертежа одноименные следы плоскостей пересекаются. Рассмотрим пересечение фронтальных следов (рис. 6.1,б). Оба фронтальных следа (напомним, что они лежат во фронтальной плоскости проекций) пересекаются в точке 1, следовательно, эта точка принадлежит обеим плоскостям. Точка 2 (рис. 6.1,в) – точка пересечения горизонтальных следов. Соединив соответствующие проекции точек 1 и 2, получим проекции линии пересечения плоскостей (прямая l на рис. 6.1,г).
Теперь обратимся к случаю, когда в пределах чертежа пересекается лишь одна пара следов (рис. 6.2,а). Как же получить общую точку? Если мы построим две прямые (одну в плоскости α, а другую в плоскости β) и эти прямые пересекутся в какой-то точке, то это и будет искомая точка,
принадлежащая обеим пересекающимся плоскостям. Самое время вспомнить, что две пересекающиеся прямые должны лежать в одной плоскости.
Давайте зададим эту плоскость сами, причем так, чтобы легко можно было построить линию пересечения этой вспомогательной плоскости с двумя заданными. Пусть это будет плоскость уровня γ , параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 6.2,б).
Плоскость γ пересечется с плоскостью α по горизонтали hα (рис. 6.2,в). Линия пересечения плоскостей β и γ – горизонталь плоскости hβ (рис. 6.2,г). Горизонтали плоскостей α и β пере-
секаются в точке A – это и есть общая точка рассматриваемых плоскостей (рис. 6.2,д). Построив проекции точки B как точки пересечения горизонтальных следов плоскостей α и β, можно по-
строить проекции линии пересечения плоскостей (это прямая AB на рис. 6.2,е).
На рис. 6.3,а приводятся исходные данные задачи, в которой необходимо построить линию пересечения двух плоскостей, одна из которых задана пересекающимися прямыми (плоскость α(a,b)), а другая – параллельными (плоскость β(c,d )). Для построения общей точки введем
вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость γ1 (рис. 6.3,б).
Эта плоскость пересекается с плоскостью α по прямой 1-2, а с плоскостью β – по прямой 3– 4. Точка пересечения этих прямых – точка A – принадлежит обеим пересекающимся плоскостям. Введя вторую вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость γ2 , получим вторую
общую точку – B. Обратите внимание, что вспомогательные плоскости параллельны, следовательно, параллельны и их линии пересечения с плоскостями α и β, поэтому для построения проек-
ций точки B понадобились всего две точки: 5 и 6. Полученная прямая AB – искомая линия пересечения плоскостей.
Во всех рассмотренных задачах общие для двух плоскостей точки определялись как точки пересечения двух прямых, одна из которых лежит в первой плоскости, а другая – во второй. Но ведь общую для двух плоскостей точку можно построить и как точку пересечения прямой, принадлежащей одной плоскости, с другой плоскостью. Рассмотрим задачу на построение линии пересечения плоскостей по исходным данным, приведенным на рис. 6.4,а (это исходные данные, аналогичные исходным данным рассмотренной ранее задачи).
Построим проекции точки встречи прямой c, принадлежащей плоскости β, с плоскостью α,
заданной двумя пересекающимися прямыми (рис. 6.4,б). Для этого заключим прямую c во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ , построим проекции линии пересечения
вспомогательной плоскости с плоскостью α (это прямая 1–2) и получим проекции искомой точки A. Аналогично может построена и точка B как точка встречи прямой d с плоскостью α (рис. 6.4,в). Таким образом, мы получили две точки, принадлежащие обеим пересекающимся плоскостям. Соединив одноименные проекции этих точек, получим проекции линии пересечения двух плоскостей (это прямая AB).
66
f0b f0a
x
h0b h0a
à
f0b f0a 1"
x |
2" 1' |
|
h0b |
2' |
h0a |
|
|
â
f0a f0b
x
h0b h0a
à
f0b f0a 1"
x 1'
h0b h0a
|
á |
|
|
f0b |
f0a |
|
|
|
|
1" |
|
|
l" |
|
x |
2" 1' |
|
|
l' |
|
h0b |
2' |
h0a |
|
|
|
|
ã |
|
Рис. 6.1
f0a f0b
f0g
x
h0b h0a
á
Рис. 6.2
67
f0a f0b f0a f0b
|
1" |
f0g |
h"a |
1" |
2" f0g h"a h"b |
|
|
|
|
||
x |
1' |
|
x |
1' |
2' |
|
|
h'a |
|
h'a |
h'b |
h0b |
|
h0a |
|
h0b |
h0a |
|
|
|
â |
ã |
|
|
|
f0a |
f0b |
|
1" |
A" |
2" f0g h"a h"b |
x |
1' |
|
2' |
|
h'a |
À' |
h'b |
h0b h0a
ä
|
|
f0a |
f0b |
|
1" |
A" |
2" f0g |
x |
1' |
B" |
2' |
|
|
À' |
|
|
h0b |
B' h0a |
|
|
|
e |
|
Рис. 6.2 (окончание)
68
b"
b'
2"
b"
b' 2'
2"
b"
5" b' 5' 2'
a"
a'
à
A"
1"
a" |
|
|
a' |
A' |
|
1' |
||
|
||
|
á |
|
|
A" |
|
1" |
B" |
|
|
||
a" |
|
|
a' |
B' |
|
1' |
A' |
|
|
||
|
â |
c" d"
c' d'
3" c" 4" d"
3' 4'
c' d'
3" c" 4" d" 6"
6' |
h0g 2 |
|
3' 4'
c' d'
h0g 1
h0g 1
Рис. 6.3
69
b"
b'
1"
b"
b' 1'
b"
1"
3'
3"b' 1'
a"
a'
à
2"
a"
a'
2'
á
2"
4"
a"
a'
4'
2'
â
Рис. 6.4
c" d"
c'
A" c"
d"
A' c' A" c"
A' c'
d'
f0g
d'
f0g
f0g1
d"
B"
B'
d'
70
Аналогичным приемом можно воспользоваться для построения проекции линии пересечения плоских фигур (рис. 6.5,а). Здесь плоскость α задана треугольником ABC, а плоскость β – тре-
угольником DEF. Точка M на линии пересечения этих плоскостей получена как точка встречи прямой DE с плоскостью треугольника ABC, а точка N – как точка пересечения прямой BC с плоскостью треугольника DEF (рис. 6.5,б). На рис. 6.5,в показана видимость на проекциях непрозрачных треугольников ABC и DEF.
Для определения видимости на горизонтальной проекции была использована пара конкурирующих точек 5 и 6, причем точка 5 принадлежит стороне AB треугольника ABC, а точка 6 – стороне EF треугольника DEF. Проанализировав координату z указанных точек, можно сделать вывод, что на горизонтальной проекции видима точка 5. Видимость на фронтальной проекции определена с помощью конкурирующих точек 7 и 8, причем анализируется координата y. Координата y точки 7 больше, следовательно, на фронтальной проекции видима именно эта точка.
B" D" |
B" |
2"
A" |
|
F" A" |
M" |
|
1" 3" |
||
|
|
|
|
E" |
C" |
|
E" |
A' |
D' |
A' |
|
1' |
|
|
|
|
|
|
|
|
C' |
|
|
M' |
|
|
|
|
|
|
|
|
E' |
F' |
E' |
|
2' |
|
B' |
3' |
|||
|
B' |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
h0b |
|
|
à |
|
|
á |
|
|
|
B" |
D" |
|
|
|
|
5" |
|
|
|
|
|
7" |
8" |
F" |
|
|
A" |
M" |
N" |
||
|
E" |
6" |
|
C" |
|
A' |
|
|
D' |
|
M' |
8' |
C' |
|
|
||
|
|
N' |
|
E' 5' |
|
|
|
6' |
7' |
F' |
|
|
B' |
|
|
â
f0a
D"
4"
N" F"
C"
D'
C'
4'
N'
F'
Рис. 6.5
71
Отметим, что для определения видимости на каждой из проекций достаточно взять всего по одной паре конкурирующих точек, однако для проверки правильности определения видимости (и для тренировки) можно взять большее количество таких пар.
Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, заданных следами, причем фронтальные следы этих плоскостей параллельны друг другу (рис. 6.6,а). Воспользовавшись вспомогательной горизонтальной плоскостью γ , можем построить точку A, принадлежащую обе-
им плоскостям (рис. 6.6,б). Точка B построена как точка пересечения горизонтальных следов плоскостей (рис. 6.6,в) и таким образом определены проекции линии пересечения плоскостей – прямой AB.
Обратимся к рис. 6.6,г. Здесь вспомогательная фронтальная плоскость проведена через точку B. Плоскость α пересекается со вспомогательной плоскостью по фронтали fα , а плоскость β – по
фронтали fβ . Проекции этих фронталей совпадают, следовательно, каждая из них и является линией пересечения плоскостей α и β.
|
f0a |
f0b |
|
f0a |
|
f0b |
|
|
|
1" |
A" |
2" |
f0g h"a h"b |
x |
|
x |
1' |
|
2' |
|
|
|
|
|
A' |
|
|
h0b |
h0a |
h |
|
h'b |
h'a |
|
|
h0a |
|
|
|||
|
0b |
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
á |
|
|
|
|
f0a |
|
|
f0b |
|
f0a |
f"a f"b |
f0b |
|
1" |
A" |
|
2" |
f0g h"a |
h"b |
|
|
|
x |
B" |
1' |
|
2' |
x |
B" |
|
|
|
|
|
A' |
|
|
|
|
|
h0g f'a |
f'b |
|
B' |
h'b |
h'a |
|
|
B' |
|
||
h0b |
|
h0b |
h0a |
|
|
||||
|
h0a |
|
|
|
|
|
|||
|
|
â |
|
|
|
|
ã |
|
|
Рис. 6.6
72