При анализе видимости на фронтальной проекции необходимо брать пару конкурирующих точек, у которых совпадают фронтальные проекции (точки 5 и 6 на рис. 5.8,а). В данном случае на фронтальной проекции будет видима точка 5, у которой координата y больше. Эта точка принадлежит прямой, следовательно, участок прямой, на котором расположена эта точка (участок ED), будет видимым (рис. 5.8,б).

B"

E"

5" 6"	D"

A"

6' B'

D'

A'

E' 5'

à

Ñ"

F"

F'

C'

Рис. 5.8

B"

E"
5" 6"		D"	Ñ"
A"			F"
	6' B'	D'	F'
A'
	5'		C'
E'

á

B"

E"
5" 6"		D"	Ñ"
A"			F"
	6' B'	D'	F'
A'
			C'
E'	5'

Рис. 5.9

Мы рассмотрели пример определения видимости прямой относительно плоскости при условии, что плоскость бесконечна. На рис. 5.9 показано, как будет выглядеть тот же пример, если рассматривать видимость прямой относительно плоской фигуры, а не плоскости в целом.

5.3. Прямая, перпендикулярная плоскости

Частным случаем пересечения прямой с плоскостью является случай, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

60

Рассмотрим задачу построения прямой, перпендикулярной плоскости, по исходным данным, приведенным на рис. 5.10,а. Необходимо построить прямую линию, перпендикулярную плоскости и проходящую через точку A, принадлежащую этой плоскости.

Поскольку точка A задана лишь фронтальной проекцией, построим горизонтальную проекцию этой точки. Мы помним, что точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Возьмем в качестве такой прямой горизонталь плоскости и с ее помощью определим горизонтальную проекцию точки A (рис. 5.10,б). Какими прямыми в плоскости нужно воспользоваться для построения перпендикуляра?

Вспомним теорему о частном случае проецирования прямого угла. Согласно этой теореме, прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если одна его сторона параллельна этой плоскости проекций. А какие прямые линии, лежащие в плоскости, параллельны плоскостям проекций? Это хорошо нам знакомые горизонталь и фронталь плоскости.

Начнем с горизонтали, тем более, что на чертеже она уже есть. Прямой угол с горизонталью проецируется без искажения на горизонтальную плоскость проекций, следовательно, горизонтальная проекция искомой прямой l будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонта-

ли (рис. 5.10,в).

Для построения фронтальной проекции прямой l необходимо вначале построить фронталь плоскости, а затем провести l′′ перпендикулярно фронтальной проекции фронтали, так как прямой угол с фронталью будет проецироваться без искажения на фронтальную плоскость проекций.

Таким образом, горизонтальная проекция искомой прямой l будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной

проекции фронтали плоскости (рис. 5.10,г).
			f0a				f0a
		A"			1"	A"	h"
x				x	1'	A'
							h'
			h0a				h0a
		à				á
			f0a			l"	f0a
		A"					f"
	1"		h"				h"
x	1'				x		A"
		A'					A' f'
			h'				h'
			h0a
		l'				l'	h0a
		â				ã
				Рис. 5.10

61

На рис. 5.11 приведено построение прямой l, проходящей через точку B и перпендикулярной плоскости α. Здесь соответствующие проекции прямой перпендикулярны соответствующим следам плоскости (поскольку линии уровня плоскости – горизонталь и фронталь – параллельны соответствующим следам).

Построение прямой, перпендикулярной плоскости, заданной треугольником ABC, иллюстрирует рис. 5.12. Здесь перпендикуляр к плоскости проведен через точку A. Обратите внимание на то, что горизонталь плоскости проведена через точку A, а фронталь – через точку C. Это вполне правомочно, так как для построения перпендикуляра достаточно знать лишь направления горизонтали и фронтали плоскости, а не их конкретное положение. В рассматриваемом примере прямая l перпендикулярна плоскости; ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтали плоскости h, а фронтальная проекция – фронтали плоскости f.

Рис. 5.13,а содержит исходные данные для решения обратной задачи: через точку A провести плоскость, перпендикулярную прямой l. Здесь искомую плоскость проще всего задать двумя пересекающимися прямыми частного положения – горизонталью и фронталью плоскости. Решение приведено на рис. 5.13,б и в комментариях не нуждается.

B" f0a

l"

x

l'

B' h0a

Рис. 5.11

l"

A"

A'

l'

à

f"		l" B"
		h"
A"		Ñ"
	l'

A'

f'	C'
	h'
	B'
	Рис. 5.12

f"

l"

h"

A"

A' f'

h'

l'

á

Рис. 5.13

62

5.4. Прямая, параллельная плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Как известно, две прямые параллельны, если параллельны их одноименные проекции.

Рассмотрим задачу, исходные данные которой приведены на рис. 5.14,а. Здесь через точку A необходимо провести прямую l, параллельную плоскости α, заданной следами, при условии, что фронтальная проекция прямой l задана. Для решения задачи необходимо провести вспомогательную прямую, параллельную прямой l, но принадлежащую заданной плоскости. Зная фронтальную проекцию прямой l, проведем фронтальную проекцию вспомогательной прямой n (рис. 5.14,б). Построим горизонтальную проекцию прямой n по точкам 1 и 2, принадлежащим заданной плоскости (рис. 5.14,в). Искомая горизонтальная проекция прямой l будет проходить через точку A параллельно горизонтальной проекции вспомогательной прямой n (рис. 5.14,г).

На рис. 5.15,а приведены исходные данные аналогичной задачи, только плоскость задана двумя пересекающимися прямыми a и b. Здесь вспомогательная прямая n проведена так, что фронтальные проекции прямых n и l совпадают (рис. 5.15,б). Построим горизонтальную проекцию прямой n по точкам 1 и 2, лежащим в плоскости (рис. 5.15,в), а затем проведем горизонтальную проекцию прямой l параллельно ей (рис. 5.15,г). Задача решена.

		f0a		f0a
A"			A"	n"
l"			l"
x			x
A'		h0a	A'	h0a
	a			á
		f0a		f0a
A"	1"		A"
l"			l"
		n"		n"
x	1'	2"	x
		n'		n'
A'		2'	A'
		h0a		h0a
	â			ã
			Рис. 5.14

63