ШАГ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ. ТОЧКА

1.1. Метод проекций

Вы узнали, что начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором пространственные объекты изучаются по их изображениям.

Как же получается изображение?

Прежде всего надо иметь плоскость, на которой это изображение будет получено. В начертательной геометрии такая плоскость называется плоскостью проекций, а само изображение – проекцией. На рис. 1.1,а изображены плоскость проекций (ее обозначили как π1 ) и произвольная точка А.

Если через точку А провести луч (этот луч называют проецирующей прямой) до пересечения

	с плоскостью проекций, то	мы получим проекцию	точки, что иллюстрируется рис. 1.1,б.
	В этом и заключается суть метода проекций.		′
	Итак, если А – точка, а π1	– плоскость проекций, то		– проекция точки А на плоскость	π1 .
			A

В общем случае таких точек может быть несколько. В зависимости от того, как проведены проецирующие прямые, различают несколько видов проецирования. На рис. 1.2 все проецирующие прямые проходят через точку S – центр проецирования. Такое проецирование называют централь-

ным.

Если все проецирующие прямые параллельны друг другу – это параллельное проецирование (рис. 1.3). Частным случаем параллельного проецирования является прямоугольное (его еще называют ортогональным). При этом проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций. Такое проецирование мы и будем рассматривать в дальнейшем.

На предыдущих иллюстрациях точки располагались по одну сторону плоскости проекций. В общем же случае они могут располагаться по обе стороны и даже находиться на самой плоскости проекций. Посмотрите на рис. 1.4. Здесь точка A расположена по одну сторону плоскости проекций, а точка B – по другую. Точка C лежит в плоскости проекций (можно еще сказать, что она принадлежит плоскости проекций). В этом случае через нее даже не надо проводить проецирующую прямую, так как сама точка и ее проекция совпадают.

В рассмотренных примерах мы обозначали плоскость проекций как π1 ( π – принятое обозначение плоскостей проекций). Обозначение плоскостей при этом будет различным. Для нашей плоскости обозначение проекции даётся со штрихом ( А′).

Закончив рассмотрение метода проекций, предлагаем Вам ответить на несколько вопросов:

1.Что такое проекция и плоскость проекций?

2.Что такое проецирующая прямая?

3.В каком случае на чертеже может быть показана не только проекция, но и сама точка?

4.Что такое ортогональное проецирование?

A	проецирующая	A
	прямая

A

p1 p1

à	á
	Рис. 1.1

5

	S
	A	C	B	A
C
	B
C	A	C		A
B		B
	p1		p1
Рис. 1.2		Рис. 1.3
	A

C C

A

B

p1

B

Рис. 1.4

1.2. Система координат и плоскостей проекций

Как известно из геометрии, положение точки в пространстве однозначно определяется тремя декартовыми (прямоугольными) координатами.

На рис. 1.5 три взаимно перпендикулярные оси Х, Y и Z пересекаются в начале координат. Стрелками показаны положительные направления осей, являющихся бесконечными прямыми.

Для получения проекций обычно используются три плоскости проекций, связанные с осями системы координат. Это горизонтальная плоскость проекций (ее положение задают оси X и Y), фронтальная (оси X и Z) и профильная (оси Z и Y).

На рис. 1.6 показано проецирование точки A при условии, что все три значения ее координат положительны. Обратите внимание, что координата точки есть не что иное, как удаление точки от плоскости проекций. Так, координата x задает удаление точки от профильной плоскости проекций ( π3 ), y – от фронтальной плоскости ( π2 ), z – от горизонтальной ( π1 ).

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций бесконечны и делят все пространство на восемь частей, называемых октантами (рис. 1.7).

Известно, что координаты точек могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. В зависимости от значения каждой из координат точка может находиться или в каком-

6

либо октанте, или на границе октантов,					т.е. в плоскости проекций. Если,					например x=0, y > 0,
a z < 0, то точка лежит в профильной плоскости проекций на границе IV и VIII октантов.
	Можно составить таблицу знаков координат для различных октантов:
	Координаты						Октанты
		1	2		3	4		5	6	7		8
	x	+	+		+	+		-	-	-		-
	y	+	-		-	+		+	-	-		+
	z	+	+		-	-		+	+	-		-

	p2		A(xA ,yA ,zA )
	z		z
	A"
	yA	A	A"' p3
	x		xA
x			zA
	p1	A'

y

y

Рис. 1.5

Рис. 1.6

z

	p2
II	VI
	p
	3

I

x

III

IV

V

VII

p1

y VIII

Рис. 1.7

7

1.3. Проецирование точки на плоскости проекций

Рассмотрим проецирование точки на фронтальную, горизонтальную и профильную плоскости проекций.

Положение фронтальной проекции точки определяется координатам x и z.

На рис. 1.8 приводится пример изображения на чертеже фронтальных проекций точек E, F, G, N. У точки E координаты x и z положительны, следовательно, она может находиться либо в I, либо во II октанте (см. рис. 1.7). Очевидно, что, поскольку одна проекция задает лишь две из трех координат, однозначно определить положение точки в пространстве она не может. У точки F x < 0, а z > 0, следовательно, она может находиться либо в V, либо в VI октанте, точка G (x < 0, z < 0) – либо в VII, либо в VIII октанте, а точка N (x > 0, z < 0) – в III или IV октанте.

Рассмотрим построение горизонтальной проекции. В этом случае плоскость проекций не совпадает с плоскостью чертежа. Получив проекции точек на горизонтальную плоскость проекций, мы должны совместить ее с плоскостью чертежа. Это можно сделать путем поворота горизонтальной плоскости проекций вокруг оси X до совмещения с фронтальной плоскостью проекций, являющейся плоскостью чертежа.

Поворот осуществляется так, чтобы после него положительное направление оси Y было направлено вниз (рис. 1.9). Пример горизонтальных проекций точек приводится на рис. 1.10. Точка A (x > 0, y > 0) может находиться либо в I, либо в IV октанте. У точки B x > 0, a y < 0, поэтому она может быть во II или III октанте, точка C (x < 0, y < 0) – либо в VI, либо в VII октанте, а точка

D (x < 0, y > 0) – в V или VIII.

z

E"

	z		F
			z
	E
x	xE			xF
	xN		G	xG
	N		z
	z
	N"		(-z)
		Рис. 1.8

p2 A"

A

A'	p
	1
A'
	yp1
Рис. 1.9

F"

(-x)

G"

y

8

			(-yp1 )
B'					C'
			C
		B	y
	xB	y		xC
x					(-x)
	xA	A		xD
		y	D
			y
A'					D'
			yp1
			Рис. 1.10
			Z
M"'
					K"'
		M
		z
	yM		K	yK
(-yp3 )			z		yp3
	yQ	Q		yL
		z
			L
Q"'			z
					L"'
			(-Z)
			Рис. 1.11
Проецирование на профильную плоскость проекций иллюстрируется рис. 1.11. Такое направ-
ление осей получается, если профильную плоскость проекций совместить с чертежом путем пово-
рота вокруг оси Z так, чтобы после поворота ось Y была направлена вправо. Здесь у точек M и K
координата z положительна, а у точек Q и L отрицательна. Координата y положительна у точек K
и L и отрицательна у точек	M и Q. Точка M может быть расположена либо во II, либо в VI октан-
те, точка K – в I или V октанте, точка L – в IV или VIII, а точка Q – либо в III, либо в VII октанте
(см. рис. 1.7).
			9