6.2. Взаимно перпендикулярные плоскости

Частным случаем двух пересекающихся плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости. Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикуляр-

ную другой плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости уже рассмотрена. Напомним, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, а в качестве таких прямых удобнее использовать линии уровня, так как в этом случае справедлива теорема о частном случае проецирования прямого угла.

Рис. 6.7 иллюстрирует построение проекций прямой p, перпендикулярной плоскости α . Если через точку A необходимо провести плоскость, перпендикулярную плоскости α, то такая задача будет иметь бесчисленное множество решений: любая плоскость, которой принадлежит прямая p, будет перпендикулярна плоскости α.

На рис. 6.8 приведено решение задачи на построение плоскости β, перпендикулярной плоскости α и проходящей через прямую l. Здесь решение однозначно. Плоскость β должна прохо-

дить через прямую l и через перпендикуляр к плоскости α, т.е. через прямую р. Таким образом, две пересекающиеся прямые l и p задают искомую плоскость.

Исходные данные следующей задачи приведены на рис. 6.9,а. В этой задаче через точку A необходимо провести плоскость, перпендикулярную как плоскости α, так и плоскости β. Для ре-

шения данной задачи через точку A необходимо провести две прямые, одна из которых будет перпендикулярна плоскости α, а другая – плоскости β. Решение приведено на рис. 6.9,б. Здесь пря-

мая a перпендикулярна плоскости α, а прямая b – плоскости β. Эти две пересекающиеся прямые и задают искомую плоскость.

	f0a		f0a
	A"		A"	l"
	p"		p"
	x
			x
	p'		p'
	h0a		h0a	l'
	A'		A'
	Рис. 6.7		Рис. 6.8
f0a	A"	f0b	f0a	A"	f0b
			a"		b"
x			x
		h0b	a'	b'	h0b
h0a	A'		h0a	A'
	a		Рис. 6.9	á
			73

6.3. Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости. Если плоскости зада-

ны следами (рис. 6.10), то у параллельных плоскостей соответствующие следы тоже параллельны. На рис. 6.11 плоскость α, заданная пересекающимися прямыми a и b, параллельна плоскости β, заданной пересекающимися прямыми c и d. В этом случае прямые a и c и прямые b и d параллельны друг другу.

f0a	f0b
	a"	b"	ñ"	d"
x				d'
		b'	c'
	a'
h0a	h0b

Рис. 6.10

Рис.6.11

На рис. 6.12,а приведены исходные данные для решения задачи на построение следов плоскости β, проходящей через точку A и параллельной плоскости α. Ясно, что следы искомой плоскости β будут параллельны соответствующим следам плоскости α. Для построения следов необходимо определить хотя бы одну точку на следе. Это можно сделать, если вначале построить линию уровня искомой плоскости, например горизонталь (рис. 6.12,б). Горизонтальная проекция горизонтали плоскости β будет параллельна горизонтальному следу плоскости α. В результате мы построили проекции точки 1, принадлежащей фронтальному следу плоскости β. Через эту точку можно провести фронтальный след плоскости β (рис. 6.12,в), а затем и ее горизонтальный след.

Итоги шестого шага

•Вспомнили, что плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она проходит через перпендикуляр к этой плоскости; что плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

•Узнали, как строится линия пересечения плоскостей при разных способах их задания на чертеже.

•Научились строить на чертеже линию пересечения плоскостей, задавать плоскости взаимно параллельные и перпендикулярные.

Решите две задачи. Всё, что Вам нужно для решения, пройдено всего за шесть шагов. Не торопитесь заглядывать в раздел «Помощь на остановках».

74

A"	f0a	1"		A"	f0a
					h"
x		x
		1'
A'	h0a		A'	h'	h0a
				á
	a
	f0b	A"	h"	f0a
	1"
	x
	1'

A' h'	h0a
h0b

â

Рис. 6.12

Ос т а н о в к а 6

1.Построить линию пересечения плоскостей, заданных параллельными прямыми (рис. IX).

2.Провести плоскость β, параллельную плоскости α и отстоящую от нее на 20 мм (рис. X).

c"

d"

a"

b"

c'

d'

a'

b'

Рис. IX

75

f0a

x

h0a

Рис. X

Б О Л Ь Ш А Я О С Т А Н О В К А

Мы сделали шесть важных шагов в направлении постижения «премудростей» основ проекционного моделирования. Надеемся, что совместными усилиями препятствия успешно преодолены. Теперь очень важно закрепить изученное, доказать, в первую очередь себе, что мы понимаем суть трёхмерных задач на ортогональном чертеже (а не просто слепо копируем типовые алгоритмы). Для этого предлагаем ещё четыре задачи, которые чуть сложнее, но вполне Вам по силам. Их разбор также имеется в разделе «Помощь на остановках», но мы рекомендуем не спешить туда заглядывать.

1.Найти фронтальную проекцию точки А, если известно, что расстояние от этой точки до прямой l равно 20 мм (рис. XI).

2.Найти расстояние между двумя параллельными прямыми (рис. XII).

3.Найти центр круговой орбиты, по которой движется спутник, если известны проекции трёх точек – трёх промежуточных положений спутника (рис. XIV).

4.В детали, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, просверлены два отверстия, оси которых АВ и CD (рис. XV). Требуется просверлить третье отверстие из точки М, ось которого пересекала бы оси АВ и CD. Построить проекции оси MN искомого отверстия (точка N – точка выхода отверстия из детали).

a"

b"

a"

a'

A'	a'
	b'
Рис. XI	Рис. XII

76