A"
A"	M"
		D"
B"
		B"
Ñ"
C"
	M'	B'
C'
B'		D'
C'
A'	A'
Рис. XIII	Рис. XIV

ПОМОЩЬ НА ОСТАНОВКАХ

Раздел «Помощь на остановках» состоит из двух подразделов. Первый – «Подсказка» – помогает нащупать идею решения задачи и советует обратить внимание на некоторые обстоятельства, второй – «Решение» – содержит подробное объяснение решения.

Если Вы не справляетесь с решением, не торопитесь обращаться к подразделу «Решение». Возможно, Вы обойдётесь и подсказкой.

Подсказка

Остановка 1.

Две проекции точки на ортогональном чертеже позволяют определить все три декартовы координаты с учётом знаков.

Остановка 2.

1.Определить, в каких октантах находятся точки A и B.

2.Разность координат концов отрезка прямой линии относительно плоскости проекций не зависит от расположения осей.

3.Прямая линия а является фронталью.

Остановка 3.

1.Следы плоскости связаны со следами прямых линий, лежащих в этой плоскости. Множество точек, равноудалённых от плоскости проекций, представляет собой плоскость, параллельную плоскости проекций.

2.Линия наибольшего наклона к профильной плоскости проекций перпендикулярна к профильной прямой заданной плоскости.

Остановка 4.

Линия пересечения плоскостей, заданных следами, проходит через точки пересечения следов.

Остановка 5.

В данном случае следует действовать по стандартному алгоритму.

Остановка 6.

1.Задачу на построение линии пересечения плоскостей, заданных параллельными прямыми, целесообразно свести к задаче на пересечение прямой линии с плоскостью (решить дважды).

2.Перпендикуляр к плоскости общего положения будет прямой общего положения. Для того чтобы отложить на нём 20 мм, придётся использовать способ прямоугольного треугольника.

77

Большая остановка.

1.Знание теоремы о частном случае проецирования прямого угла позволяет найти горизонтальную проекцию расстояния.

2.На плоскости легко провести перпендикуляр между параллельными прямыми. В трёхмерном пространстве таких перпендикуляров множество. Это множество представляет собой плоскость, перпендикулярную заданным прямым.

3.Центр орбиты – центр окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются заданные точки.

4.Следует учесть, что точка М и две любые другие точки, являющиеся точками входа и выхода отверстий, представляют собой плоскость, взаимодействие которой с отверстием (прямой), не лежащим в этой плоскости, открывает путь к решению.

Решение

Остановка 1.

Известно, что если на ортогональном комплексном чертеже заданы две любые проекции точки, то положение этой точки в пространстве однозначно определено, т.е. известны все три её декартовы координаты. Эти координаты показаны фигурными скобками. Для построения профильной проекции точки нужны координаты у и z (рис. Iр). Отложим их с учётом того, что они отрицательны. Заметим, что и координата х у нашей точки тоже отрицательна. Такое может быть только в том случае (можно обратиться к таблице октантов), если точка А лежит в VII октанте.

z

VII октант

		-xA	A'	yp3
x	0		A
			-y

-zA

A"' A" yp1

Рис. Ip

Остановка 2.

1. Проанализируем исходные данные и определим, как и через какие октанты проходит отрезок АВ. Точка А имеет отрицательные координаты х и у и положительную координату z. Значит, она лежит в VI октанте.

У точки В отрицательна только координата z . Значит, она расположена в IV октанте. Обратим внимание на то обстоятельство, что горизонтальная проекция отрезка АВ проходит

через начало координат. Это значит, что прямая проходит через названные нами октанты, пересекая ось z (рис. IIр). В этой точке пересечения прямой линии и оси лежат её фронтальный и профильный следы. Кроме того, прямая проходит через I октант.

Теперь осталось вспомнить алгоритм нахождения горизонтального следа прямой линии и найти его проекции.

A

				A"
Pl	Fl Fl "	Pl	Pl "
	Fl	l"
l				A'
		Hl
Hl	B"	Hl		l' Fl ' Pl '
	B'			Hl '
B

Рис. IIp

78

2. Надеемся, что Вы поняли суть правила треугольника и согласитесь, что для нахождения уг-
ла наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций надо построить прямоугольный тре-
угольник, у которого одним катетом			обязательно будет фронтальная проекция этого отрезка
(рис. IIIр). Тогда вторым катетом будет разность координат концов отрезка относительно фрон-
тальной плоскости проекций. Напротив этого катета и будет лежать искомый угол. Гипотенуза –
истинная величина.
		y		è.â.ÀÂ
	x	A"
				B'
		y	b	B"
		A'
			Рис. IIIp
1'		a'	3. Расстояние от точки до прямой линии – это
			длина перпендикуляра от заданной точки до точки
x	2"	a"	его пересечения с прямой. Согласно теореме о ча-
			стном случае проецирования прямого угла, мы уви-
z	2'		дим его	истинную величину на горизонтальной
			плоскости проекций (ведь прямая а – это горизон-
1"	z		таль) (рис. IVр). Построив проекции искомого рас-
			стояния, применим правило треугольника для на-
è.â.1-2			хождения его истинной величины.
	Рис. IVp

Остановка 3.

1. Очевидно, что соответствующие следы плоскостей и следы прямой линии совпадают. На вопрос, сколько следов заданных прямых надо построить, ответим: три. След плоскости – прямая линия. Для её проведения надо иметь две точки. Допустим, что мы нашли горизонтальные следы прямых. Значит, мы можем провести горизонтальный след плоскости и получим точку схода следов. Для построения фронтального следа достаточно найти ещё одну точку – фронтальный след одной из пересекающихся прямых (рис. Vр).

Решая вторую часть задачи, отметим, что множество точек, равноудалённых от фронтальной плоскости проекций и лежащих в заданной плоскости, есть фронталь плоскости. Соответственно, множество точек, равноудалённых от горизонтальной плоскости проекций, – горизонталь плоскости. Для того чтобы построить в плоскости точку, равноудалённую от упомянутых плоскостей, очевидно, надо найти точку пересечения фронтали и горизонтали плоскости, у которых координаты у и z равны. Если такую точку соединить с началом координат (у =0; z=0), то получим искомое множество (рис. Vр) .

79

f0a

f0a

	b"	a"
	Fb	1"
						a"
							h"
						1"
x Ha "	Fb '		Hb " x
Ha		1'
		a'				1'	f'
		b'					a'
				h0a			h'
		a	Hb			á	h0a
				Рис. Vp
2. Линия наибольшего наклона к профильной плоскости проекций – перпендикуляр к про-
фильной прямой, лежащей в плоскости АВС. Согласно теореме о частном случае проецирования
прямого угла, истинную его величину мы увидим на профильной плоскости проекций. Далее на-
ходим искомый угол, пользуясь правилом прямоугольного треугольника (рис. VIр).
		B"			x	B"'
			2"C"	C"' 2"'
	A"	1"			g
				1"'	A"'
	x	x
		1'	C'
	A'
		B'
				Рис. VIp
Остановка 4.

Линия пересечения плоскостей – это прямая, соединяющая две общие точки этих плоскостей. Если плоскости заданы следами, то это точки пересечения следов. Остальное ясно из чертежа

(рис. VIIр).

80

Остановка 5.

Для решения задачи заключим прямую линию во вспомогательную горизонтальнопроецирующую плоскость. Линию пересечения плоскостей, заданных следами (одна из которых проецирующая), мы научились находить на предыдущем шаге. Теперь осталось найти общую точку заданной прямой и полученной линии пересечения (рис. VIIIр).

	f0b	f0a		f0b		f0a
						K"
	2'	1"				a"
	x	1'	x	2'	1"
	2"				1'	K'
	h0a
			h0a
		h0b		2"		a'
						h0b
	Рис. VIIр					Рис. VIIIр

Остановка 6.

1. Данную задачу целесообразно свести к задаче на построение точки пересечения прямой линии с плоскостью. Найдём точки пересечения прямых с и d с плоскостью, заданной другой парой прямых. Для этого используем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости. Соединив построенные точки, получим линию пересечения плоскостей (рис. IXр).

	c"
d"		a"	b"
	K"
		1"
	L"	2"
		3"
	K'
c'		1'
	L'
d'		3'	a'
		2'	b'

Рис. IXр

81

2. Расстояние между плоскостями отсчитывается по перпендикуляру к ним. Проведём проекции перпендикуляра к плоскости через точку схода следов. По теореме о частном случае проецирования прямого угла горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальному следу. Фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна фронтальному следу. Построенный перпендикуляр – прямая общего положения. Отложить на этой прямой линии расстояние в 20 мм можно, используя правило треугольника. Искомую плоскость лучше всего задать горизонталью и фронталью (рис. Xр).

a"			f"		f0a
		1"
	z	A"		h"
x
	20
			f'
		A'		h'	h0a
z		1'
		a'
			Рис. Xр
Большая остановка

1. Расстояние от точки до прямой линии – перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. Так как наша прямая – горизонталь, то, по теореме о частном случае, проецирования прямого угла прямой угол спроецируется в истинную величину на горизонтальную плоскость проекций. Таким образом, мы получим горизонтальную проекцию искомого расстояния. Истинная величина расстояния известна. Теперь мы можем построить прямоугольный треугольник, из которого найдём разность координат концов искомого отрезка относительно горизонтальной плоскости проекций. Получены все данные для построения фронтальной проекции точки А (рис. XIр).

A"

z

B" a"

R20

z

A' B'

B'

a'

A'

Рис. XIp

82

2. Расстояние между параллельными прямыми определяется величиной перпендикуляра между ними. Возьмём произвольную точку 1 на прямой b и построим всё множество перпендикуляров к нашим прямым, проходящих через эту точку. Означенное множество – плоскость, перпендикулярная заданным прямым. Её удобно задать горизонталью и фронталью. Теперь из этого множества надо выбрать один единственный перпендикуляр, лежащий в плоскости, заданной параллельными прямыми. Для этого надо найти точку пересечения прямой a с плоскостью, заданной горизонталью и фронталью. Пользуясь известным алгоритмом, заключаем прямую во фронтальнопроецирующую плоскость, строим линию пересечения заданной плоскости и вспомогательной и находим общую точку прямой и полученной линии пересечения. Отрезок 1-К – искомое расстояние. Его истинная величина найдена с применением способа прямоугольного треугольника

(рис. XIIр).

a" f0a

f"	K"		b"
			è.â.
2"
h"			y
3"		1'
		K'	h'
y			a'
f'
	2'	1'
			b'

3'

Рис. XIIp

3. Три точки, не лежащие на одной прямой, позволяют найти параметры окружности, проходящей через эти точки. Как известно из школьного курса геометрии, речь идёт об окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются заданные точки. Центр окружности лежит на пересечении перпендикуляров, проведённых через середины сторон треугольника.

Возможны два подхода к решению задачи. Первый заключается в том, чтобы свести пространственную задачу к плоской: построить истинную величину треугольника; найти центр описанной окружности; нанести на чертёж проекции центра, пользуясь условием его принадлежности плоскости треугольника. Второй подход позволяет работать непосредственно с проекциями геометрических образов. Множество серединных перпендикуляров – плоскость, перпендикулярная стороне треугольника (и проходящая, конечно, через его середину). Линия пересечения двух таких плоскостей перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр описанной окружности.

Первый способ представляется более простым по построениям. Его и разберём. Предлагаем Вам самостоятельно решить задачу и вторым способом.

С помощью способа прямоугольного треугольника найдём истинные величины сторон. Затем определим расположение центра описанной окружности. Искомая точка лежит на пересечении двух перпендикуляров. Положение точек 1 и 2 на чертеже найдём с применением того же способа прямоугольного треугольника (рис. XIIIр).

83